Innledende og terminale objekter - Initial and terminal objects

I kategorien teorien , en gren av matematikken , et første objekt av en kategori $C$ er en gjenstand $I$ i $C$ slik at for hver gjenstand $X$ i $C$ , eksisterer nøyaktig en morphism $I \to X$ .

Den doble oppfatningen er at fra en terminal objekt (også kalt koblingselement ): $T$ er terminal hvis for hvert objekt $X$ i $C$ der finnes nøyaktig en morphism $X \to T$ . Første objekter kalles også coterminal eller universal , og terminalobjekter kalles også final .

Hvis et objekt er både initialt og terminal, kalles det et nullobjekt eller nullobjekt . En spiss kategori er en med et objekt uten null.

En streng innledende gjenstand $I$ er en som hver morfisme til $jeg$ er en isomorfisme .

Eksempler

Det tomme settet er det unike startobjektet i sett , kategorien sett . Hvert enkeltelementsett ( singleton ) er et terminalobjekt i denne kategorien; det er ingen null objekter. På samme måte er det tomme rommet det unike startobjektet i toppen , kategorien topologiske mellomrom og hvert ettpunktsrom er et terminalobjekt i denne kategorien.
I kategorien Rel av sett og relasjoner er det tomme settet det unike startobjektet, det unike terminalobjektet, og derav det unike nullobjektet.

Morfismer av spisse sett. Bildet gjelder også algebraiske nullobjekter

I kategorien spisse sett (hvis objekter er ikke-tomme sett sammen med et fremtredende element; en morfisme fra $(A, a)$ til $(B, b) som$ er en funksjon $f : A \to B$ med $f (a) = b$ ) , hver singleton er et nullobjekt. Tilsvarende, i kategorien med spisse topologiske rom , er hver singleton et nullobjekt.
I GRP , kategorien av grupper , er enhver triviell gruppe et nullobjekt. Det trivielle algebra er også en null objekt i Ab , er kategorien av abelsk gruppe , RNG den kategori av pseudo-ringer , R -Mod , den kategori av modulene over en ring, og K -Vect , den kategori av vektorrom over et felt . Se Null objekt (algebra) for detaljer. Dette er opprinnelsen til begrepet "null objekt".
I Ring , kategorien ringer med enhet og enhetsbevarende morfismer, er ringen av heltall Z et første objekt. Den null-ring som bare består av et enkelt element 0 = 1 er en terminal objekt.
I Rig , kategorien rigger med enhet og enhetsbevarende morfismer, er riggen til naturlige tall N et første objekt. Nullriggen, som er nullringen , som bare består av et enkelt element 0 = 1 er et terminalobjekt.
I felt , feltkategorien , er det ingen innledende eller terminale objekter. Imidlertid, i underkategorien av felt med fast karakteristikk, er hovedfeltet et første objekt.
Ethvert delvis ordnet sett $(P, \leq)$ kan tolkes som en kategori: objektene er elementene i $P$ , og det er en enkelt morfisme fra $x$ til $y$ hvis og bare hvis $x \leq y$ . Denne kategorien har et innledende objekt hvis og bare hvis $P$ har minst element ; den har et terminalobjekt hvis og bare hvis $P$ har det største elementet .
Katt , den kategori av små kategorier med funktorer som morphisms har den tomme kategori, 0 (med ingen objekter og ingen morphisms), som opprinnelig objekt og terminal kategori, 1 (med et enkelt objekt med en enkelt identitet morphism), som terminal objekt .
I kategorien skjemaer er Spec ( Z ), hovedspektrumet til ringen av heltall, et terminalobjekt. Det tomme skjemaet (lik primærspektret til nullringen ) er et innledende objekt.
En grense av et diagram F kan karakteriseres som en terminal objekt i kategorien av kjegler til F . Likeledes kan en colimit av F kan karakteriseres som en første objekt i kategorien av co-kjegler fra F .

Egenskaper

Eksistens og unikhet

Start- og terminalobjekter er ikke påkrevd i en gitt kategori. Imidlertid, hvis de eksisterer, er de egentlig unike. Spesielt, hvis $I 1$ og $I 2$ er to forskjellige innledende objekter, så er det en unik isomorfisme mellom dem. Dessuten, hvis $jeg$ er et innledende objekt, så er ethvert objekt som er isomorf for $jeg$ , også et innledende objekt. Det samme gjelder terminalobjekter.

For komplette kategorier er det en eksistenssetning for første objekter. Spesifikt, en ( lokal liten ) fullstendig kategori $C$ har en initial objekt hvis og bare hvis det finnes et sett $I$ ( ikke en riktig klasse ) og en $I$ - indeksert familie $(K- i)$ av gjenstander av $C,$ slik at for en hvilken som helst gjenstand $X$ av $C$ , er det minst ett morphism $K i \to X$ for noen $i \in i$ .

Tilsvarende formuleringer

Terminal objekter i en kategori $C$ kan også defineres som begrensninger av den unike tom diagrammet $0 \to C$ . Siden den tomme kategorien er vakuum en diskret kategori , kan et terminalobjekt betraktes som et tomt produkt (et produkt er faktisk grensen for det diskrete diagrammet ${X i}$ , generelt). Dualalt er et innledende objekt en kolumitt av det tomme diagrammet $0 \to C$ og kan betraktes som en tom koprodukt eller en kategorisk sum.

Det følger av dette at en hvilken som helst funktor som bevarer grenser vil ta terminal gjenstander til terminal objekter, og en hvilken som helst funktor som bevarer colimits tar initielle objekter for å initielle objekter. For eksempel vil det opprinnelige objektet i en hvilken som helst konkret kategori med gratis objekter være det frie objektet som genereres av det tomme settet (siden gratisfunksjonen , som blir stående sammen med den glemsomme funksjonen til Set , bevarer kolimittene).

Start- og terminalobjekter kan også karakteriseres i form av universelle egenskaper og tilgrensende funksjoner . La 1 være den diskrete kategorien med et enkelt objekt (betegnet med •), og la $U : C \to 1$ være den unike (konstante) funksjonen til 1 . Deretter

En innledende objekt $I$ i $C$ er en universell morphism fra • til $U$ . Den funktor som sender • å $jeg$ er igjen adjoint til U .
Et terminalobjekt $T$ i $C$ er en universell morfisme fra $U$ til •. Den funktor som sender • til $T$ er riktig adjoint til $U$ .

Forhold til andre kategoriske konstruksjoner

Mange naturlige konstruksjoner i kategoriteori kan formuleres i forhold til å finne et innledende eller terminal objekt i en passende kategori.

En universell morfisme fra et objekt $X$ til en funksjon $U$ kan defineres som et første objekt i komma-kategorien $(X ↓ U)$ . Dualalt er en universell morfisme fra $U$ til $X$ et terminalobjekt i $(U ↓ X)$ .
Grensen på et diagram $F$ er en terminal objekt i $membran (F)$ , den kategorien av kjegler til $F$ . Dually, en colimit av $F$ er en første gjenstand i kategorien av kjegler fra $F$ .
En representasjon av en funktor $F$ til Set er en første gjenstand i kategori av elementer av $F$ .
Begrepet sluttfunksjon (henholdsvis innledende funksjon) er en generalisering av begrepet sluttobjekt (henholdsvis innledende objekt).

Andre egenskaper

Den endomorphism monoid av en innledende eller terminal gjenstand $I$ er trivielt: $Slutt (I) = Hom (I, I) = {id I}$ .
Hvis en kategori $C$ har en null objekt $0$ , deretter for et hvilket som helst par av gjenstander $X$ og $Y$ i $C$ , den unike sammensetningen $X \to 0 \to Y$ er en null morphism fra $X$ til $Y$ .

Referanser

Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990). Abstrakte og konkrete kategorier. Gleden til katter (PDF) . John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6 . Zbl 0695.18001 .
Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, red. (2004). Kategoriske fundament. Spesielle emner i rekkefølge, topologi, algebra og skiveteori . Encyclopedia of Mathematics and its Applications. 97 . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-83414-7 . Zbl 1034.18001 .
Mac Lane, Saunders (1998). Kategorier for arbeidsmatematikeren . Graduate Texts in Mathematics . 5 (2. utg.). Springer-Verlag . ISBN 0-387-98403-8 . Zbl 0906.18001 .
Denne artikkelen er delvis basert på PlanetMath 's artikkel om eksempler på startpunktet og ende gjenstander .

Languages

In other projects