Supermodulær funksjon - Supermodular function

I matematikk , en funksjon

${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} ^ {k} \ to \ mathbb {R}}$

er supermodulært hvis

${\ displaystyle f (x \ uparrow y) + f (x \ downarrow y) \ geq f (x) + f (y)}$

for alle , der betegner den componentwise maksimale og den componentwise minimum av og . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y \ in \ mathbb {R} ^ {k}}$${\ displaystyle x \ uparrow y}$${\ displaystyle x \ downarrow y}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$

Hvis - f er supermodulært, kalles f submodulært , og hvis ulikheten endres til en likhet, er funksjonen modulær .

Hvis f er to ganger kontinuerlig differensierbar, tilsvarer supermodularitet tilstanden

${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial z_ {i} \, \ partial z_ {j}}} \ geq 0 {\ mbox {for all}} i \ neq j.}$

Supermodularitet i økonomi og spillteori

Begrepet supermodularitet brukes i samfunnsvitenskapene til å analysere hvordan en agents beslutning påvirker andres insentiver.

Tenk på et symmetrisk spill med en jevn gevinstfunksjon definert over handlinger fra to eller flere spillere . Anta at handlingsområdet er kontinuerlig; for enkelthets skyld antar at hver handling er valgt fra et intervall: . I denne sammenheng innebærer supermodularitet at en økning i spillerens valg øker den marginale gevinsten for handling for alle andre spillere . Det vil si at hvis noen spillere velger en høyere , har alle andre spillere et insentiv til å øke valgene sine . Etter terminologien til Bulow, Geanakoplos og Klemperer (1985) kaller økonomer denne situasjonen for strategisk komplementaritet , fordi spillernes strategier er komplement til hverandre. Dette er den grunnleggende egenskapen som ligger til grunn for eksempler på flere likevekt i koordineringsspill . ${\ displaystyle \, f}$${\ displaystyle \, z_ {i}}$${\ displaystyle i \ i {1,2, \ dots, N}}$${\ displaystyle z_ {i} \ i [a, b]}$${\ displaystyle \, f}$${\ displaystyle \, i}$${\ displaystyle \, z_ {i}}$${\ displaystyle df / dz_ {j}}$${\ displaystyle \, z_ {j}}$${\ displaystyle \, j}$${\ displaystyle \, i}$${\ displaystyle \, z_ {i}}$${\ displaystyle \, j}$${\ displaystyle \, z_ {j}}$

Det motsatte tilfellet av submodularitet tilsvarer situasjonen med strategisk substituerbarhet . En økning i senker marginalutbetalingen til alle andre spilleres valg , så strategier er erstatninger. Det vil si at hvis de velger en høyere , har andre spillere et insentiv til å velge en lavere . ${\ displaystyle \, f}$${\ displaystyle \, z_ {i}}$${\ displaystyle \, z_ {j}}$${\ displaystyle \, i}$${\ displaystyle \, z_ {i}}$ ${\ displaystyle \, z_ {j}}$

For eksempel Bulow et al. vurdere samspillet mellom mange ufullkomment konkurransedyktige selskaper. Når en økning i produksjonen fra ett firma øker marginene til de andre firmaene, er produksjonsbeslutninger strategiske komplement. Når en økning i produksjonen fra ett firma senker marginalinntektene til de andre firmaene, er produksjonsbeslutninger strategiske erstatninger.

En supermodulær nyttefunksjon er ofte relatert til komplementære varer . Imidlertid er dette synet omstridt.

Undermodulære funksjoner til delsett

Supermodularitet og submodularitet er også definert for funksjoner definert over delmengder av et større sett. Intuitivt viser en submodulær funksjon over delsettene "avtagende avkastning". Det finnes spesialiserte teknikker for å optimalisere submodulære funksjoner.

La S være et endelig sett. En funksjon er submodular hvis en eller annen og , . For supermodularitet blir ulikheten reversert. ${\ displaystyle f \ colon 2 ^ {S} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle A \ subset B \ subset S}$${\ displaystyle x \ i S \ setminus B}$${\ displaystyle f (A \ cup \ {x \}) - f (A) \ geq f (B \ cup \ {x \}) - f (B)}$

Definisjonen av submodularitet kan ekvivalent formuleres som

${\ displaystyle f (A) + f (B) \ geq f (A \ cap B) + f (A \ cup B)}$

for alle undergrupper A og B av S .

Teori og oppregningsalgoritmer for å finne lokale og globale maksima (minima) av submodulære (supermodulære) funksjoner finnes i B. Goldengorin. European Journal of Operational Research 198 (1): 102-112, DOI: 10.1016 / j.ejor.2008.08.022

Se også

• Pseudo-boolsk funksjon
• Topkis teorem
• Submodulær settfunksjon
• Superadditiv
• Verktøy fungerer på udelelige varer

Merknader og referanser