Funzione supermodulare - Supermodular function

In matematica , una funzione

${\ Displaystyle f \ due punti \ mathbb {R} ^ {k} \ to \ mathbb {R}}$

è supermodulare se

${\ Displaystyle f (x \ uparrow y) + f (x \ downarrow y) \ geq f (x) + f (y)}$

per tutti , dove indica il massimo per componente e il minimo per componente di e . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y \ in \ mathbb {R} ^ {k}}$${\ displaystyle x \ uparrow y}$${\ displaystyle x \ downarrow y}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$

Se - f è supermodulare, allora f è chiamato sottomodulare , e se la disuguaglianza viene cambiata in un'uguaglianza la funzione è modulare .

Se f è differenziabile due volte in modo continuo, la supermodularità è equivalente alla condizione

${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial z_ {i} \, \ partial z_ {j}}} \ geq 0 {\ mbox {per tutti}} i \ neq j.}$

Supermodularità in economia e teoria dei giochi

Il concetto di supermodularità viene utilizzato nelle scienze sociali per analizzare in che modo la decisione di un agente influisce sugli incentivi degli altri.

Considera un gioco simmetrico con una funzione di payoff uniforme definita sulle azioni di due o più giocatori . Supponiamo che lo spazio delle azioni sia continuo; per semplicità, si supponga che ogni azione è scelto da un intervallo: . In questo contesto, la supermodularità di implica che un aumento della scelta del giocatore aumenta il profitto marginale dell'azione per tutti gli altri giocatori . Cioè, se un giocatore sceglie un giocatore più alto , anche tutti gli altri giocatori hanno un incentivo ad aumentare le proprie scelte . Seguendo la terminologia di Bulow, Geanakoplos e Klemperer (1985), gli economisti chiamano questa situazione complementarità strategica , perché le strategie dei giocatori sono complementari l'una all'altra. Questa è la proprietà di base alla base degli esempi di equilibri multipli nei giochi di coordinazione . ${\ displaystyle \, f}$${\ displaystyle \, z_ {i}}$${\ displaystyle i \ in {1,2, \ dots, N}}$${\ displaystyle z_ {i} \ in [a, b]}$${\ displaystyle \, f}$${\ displaystyle \, i}$${\ displaystyle \, z_ {i}}$${\ displaystyle df / dz_ {j}}$${\ displaystyle \, z_ {j}}$${\ displaystyle \, j}$${\ displaystyle \, i}$${\ displaystyle \, z_ {i}}$${\ displaystyle \, j}$${\ displaystyle \, z_ {j}}$

Il caso opposto di sottomodularità corrisponde alla situazione di sostituibilità strategica . Un aumento di abbassa il payoff marginale per le scelte di tutti gli altri giocatori , quindi le strategie sono sostitutive. Cioè, se sceglie un valore più alto , gli altri giocatori hanno un incentivo a scegliere un valore più basso . ${\ displaystyle \, f}$${\ displaystyle \, z_ {i}}$${\ displaystyle \, z_ {j}}$${\ displaystyle \, i}$${\ displaystyle \, z_ {i}}$ ${\ displaystyle \, z_ {j}}$

Ad esempio, Bulow et al. considerare le interazioni di molte aziende imperfettamente competitive . Quando un aumento della produzione da parte di un'impresa aumenta i ricavi marginali delle altre imprese, le decisioni di produzione sono complementi strategici. Quando un aumento della produzione da parte di un'impresa abbassa i ricavi marginali delle altre imprese, le decisioni di produzione sono sostituti strategici.

Una funzione di utilità supermodulare è spesso correlata a beni complementari . Tuttavia, questo punto di vista è contestato.

Funzioni sottomodulari di sottoinsiemi

La supermodularità e la sottomodularità sono definite anche per funzioni definite su sottoinsiemi di un insieme più ampio. Intuitivamente, una funzione sottomodulare sui sottoinsiemi mostra "rendimenti decrescenti". Esistono tecniche specializzate per l'ottimizzazione delle funzioni sottomodulari.

Sia S un insieme finito. Una funzione è submodular se per qualsiasi e , . Per la supermodularità, la disuguaglianza è invertita. ${\ Displaystyle f \ due punti 2 ^ {S} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle A \ subset B \ subset S}$${\ displaystyle x \ in S \ setminus B}$${\ displaystyle f (A \ cup \ {x \}) - f (A) \ geq f (B \ cup \ {x \}) - f (B)}$

La definizione di sottomodularità può equivalentemente essere formulata come

${\ Displaystyle f (A) + f (B) \ geq f (A \ cap B) + f (A \ cup B)}$

per tutti i sottoinsiemi A e B di S .

Gli algoritmi di teoria ed enumerazione per trovare i massimi (minimi) locali e globali delle funzioni sottomodulari (supermodulari) possono essere trovati in B. Goldengorin. European Journal of Operational Research 198 (1): 102-112, DOI: 10.1016 / j.ejor.2008.08.022

Guarda anche

• Funzione pseudo-booleana
• Teorema di Topkis
• Funzione set sottomodulare
• Superadditivo
• Funzioni di utilità su beni indivisibili

Note e riferimenti