Heltall trekant - Integer triangle

En heltallstriangel eller integrert trekant er en trekant som alle sider har lengder som er heltall . En rasjonell trekant kan defineres som en som har alle sider med rasjonell lengde; enhver slik rasjonell trekant kan integreres på nytt (kan ha alle sider multiplisert med det samme heltallet, nemlig et felles multiplum av nevnerne) for å oppnå et heltallstriangel, så det er ingen vesentlig forskjell mellom heltallstriangler og rasjonelle trekanter i denne forstand. Imidlertid finnes det også andre definisjoner av begrepet "rasjonell trekant": I 1914 brukte Carmichael begrepet i den forstand at vi i dag bruker begrepet heronisk trekant ; Somos bruker den til å referere til trekanter hvis sideforhold er rasjonelle; Conway og Guy definerer en rasjonell trekant som en med rasjonelle sider og rasjonelle vinkler målt i grader-i så fall er den eneste rasjonelle trekanten den rasjonelt sidede likesidet trekant .

Det er forskjellige generelle egenskaper for et heltall trekant, gitt i den første delen nedenfor. Alle andre seksjoner refererer til klasser med heltall trekanter med spesifikke egenskaper.

Generelle egenskaper for et heltall trekant

Heltall trekanter med gitt omkrets

Enhver trippel av positive heltall kan tjene som sidelengder av et heltall trekant så lenge det tilfredsstiller trekantens ulikhet : den lengste siden er kortere enn summen av de to andre sidene. Hver slik trippel definerer et heltall trekant som er unikt opp til kongruens . Så antall heltallstriangler (opptil kongruens) med omkrets p er antall partisjoner av p i tre positive deler som tilfredsstiller trekants ulikhet. Dette er heltallet nærmest p ² ⁄ 48 når p er partall og til ( p  + 3) ² ⁄ 48 når p er oddetall . Det betyr også at antall heltall trekanter med partall med lige tall p  = 2 n er det samme som antall heltall trekanter med oddetall perimeter p  = 2 n  - 3. Dermed er det ingen heltall trekant med omkrets 1, 2 eller 4 , en med omkrets 3, 5, 6 eller 8, og to med omkrets 7 eller 10. Sekvensen til antall heltallstriangler med omkrets p , som starter med p = 1, er:

0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 7, 5, 8, 7, 10, 8 ... (sekvens A005044 i OEIS )

Heltall trekanter med gitt største side

Antall heltall trekanter (opptil kongruens) med gitt største side c og heltall trippel ( a ,  b ,  c ) er antall heltall trippel slik at a  +  b  >  c og a  ≤  b  ≤  c . Dette er heltallsverdien Tak [ ( c  + 1) ⁄ 2 ] * Gulv [ ( c  + 1) ⁄ 2 ]. Alternativt, for c even er det det doble trekantede tallet c ⁄ 2 ( c ⁄ 2  + 1) og for c odd er det firkanten ( c  + 1) ² ⁄ 4 . Det betyr også at antall heltall trekanter med største side c overstiger antall heltall trekanter med største side c - 2 med c . Sekvensen til antallet ikke-kongruente heltall trekanter med største side c , som starter med c  = 1, er:

1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30, 36, 42, 49, 56, 64, 72, 81, 90 ... (sekvens A002620 i OEIS )

Antall heltall trekanter (opptil kongruens) med gitt største side c og heltall trippel ( a ,  b ,  c ) som ligger på eller innenfor en halvcirkel med diameter c er antallet heltall trippel slik at a  +  b  >  c  ,  a ²  +  b ²  ≤  c ² og a  ≤  b  ≤  c . Dette er også antallet heltallsidige stumpe eller høyre (ikke- akutte ) trekanter med største side c . Sekvensen som starter med c  = 1, er:

0, 0, 1, 1, 3, 4, 5, 7, 10, 13, 15, 17, 22, 25, 30, 33, 38, 42, 48 ... (sekvens A236384 i OEIS )

Følgelig gir forskjellen mellom de to sekvensene ovenfor antallet akutte heltallsidige trekanter (opp til kongruens) med gitt største side c . Sekvensen som starter med c  = 1, er:

1, 2, 3, 5, 6, 8, 11, 13, 15, 17, 21, 25, 27, 31, 34, 39, 43, 48, 52 ... (sekvens A247588 i OEIS )

Areal av et heltall trekant

Etter Herons formel , hvis T er arealet av en trekant hvis sider har lengder a , b og c da

${\ displaystyle 4T = {\ sqrt {(a+b+c) (a+bc) (a-b+c) (-a+b+c)}}.}$

Siden alle begrepene under radikalen på høyre side av formelen er heltall, følger det at alle heltall trekanter må ha en heltall verdi på 16T ² og T ² vil være rasjonelle.

Vinkler på et heltall trekant

Etter cosinusloven har hver vinkel i et heltall trekant en rasjonell cosinus .

Hvis vinklene til en trekant danner en aritmetisk progresjon, må en av vinklene være 60 °. For heltallstriangler må de gjenværende vinklene også ha rasjonelle cosinus, og en metode for å generere slike trekanter er gitt nedenfor. Bortsett fra det trivielle tilfellet av en likesidet trekant, er det imidlertid ingen heltall trekanter hvis vinkler danner verken en geometrisk eller harmonisk progresjon . Dette er fordi slike vinkler må være rasjonelle vinkler av formen π p ⁄ q med rasjonelle 0 < p ⁄ q <1. Men alle vinklene til heltallstriangler må ha rasjonelle cosinus, og dette vil bare skje når  p ⁄ q  =  1 ⁄ 3   dvs. at heltallstrekanten er likesidet.

Kvadraten til hver indre vinkelhalveringslinje i et heltall trekant er rasjonell, fordi den generelle trekantformelen for den indre vinkeldisektoren i vinkel A er hvor s er semipimeteret (og på samme måte for de andre vinkelenes bisektorer). ${\ displaystyle {\ tfrac {2 {\ sqrt {bcs (sa)}}} {b+c}}}$

Siden delt med en høyde

Enhver høyde som faller fra et toppunkt på en motsatt side eller dens forlengelse vil dele den siden eller dens forlengelse i rasjonelle lengder.

Medianer

Kvadraten til to ganger hvilken som helst median i et heltall trekant er et heltall, fordi den generelle formelen for kvadrat medianen m _a ² til side a er , gir (2 m _a ) ²  = 2 b ²  + 2 c ²  -  a ² (og på samme måte for medianerne til de andre sidene). ${\ displaystyle {\ tfrac {(2b^{2}+2c^{2} -a^{2})} {4}}}$

Circumradius og inradius

Fordi kvadratet til arealet i en heltall trekant er rasjonelt, er kvadratet i omkretsen også rasjonelt, i likhet med kvadratet til inradius .

Forholdet av inradius til circumradius av et heltall trekant er rasjonell, tilsvarende for semiperimeter s og område t . ${\ displaystyle {\ tfrac {4T^{2}} {sabc}}}$

Produktet av inradius og omkretsen av et heltall trekant er rasjonell, lik ${\ displaystyle {\ tfrac {abc} {2 (a+b+c)}}.}$

Dermed den kvadrerte avstanden mellom incenter og omskrevet av et heltall trekant, gitt ved Euler teorem som R- ^2- - 2- Rr , er rasjonell.

Heroniske trekanter

Alle heroniske trekanter kan plasseres på et gitter med hvert toppunkt på et gitterpunkt.

Generell formel

En heronisk trekant, også kjent som en Heron -trekant eller en heltetrekant , er en trekant med heltallssider og heltallsområde. Hver heronisk trekant har sider som er proporsjonale med

${\ displaystyle a = n (m^{2}+k^{2})}$

${\ displaystyle b = m (n^{2}+k^{2})}$

${\ displaystyle c = (m+n) (mn-k^{2})}$

${\ displaystyle {\ text {Semiperimeter}} = mn (m+n)}$

${\ displaystyle {\ text {Area}} = mnk (m+n) (mn-k^{2})}$

for heltall m , n og k underlagt begrensningene:

${\ displaystyle \ gcd {(m, n, k)} = 1}$

${\ displaystyle mn> k^{2} \ geq m^{2} n/(2m+n)}$

${\ displaystyle m \ geq n \ geq 1.}$

Proporsjonalitetsfaktoren er generelt en rasjonell der q = gcd ( a , b , c ) reduserer den genererte heroniske trekanten til dens primitive og skalerer denne primitive til den nødvendige størrelsen. ${\ displaystyle {\ frac {p} {q}}}$${\ displaystyle p}$

Pythagoranske trekanter

En pytagoransk trekant er rettvinklet og heronisk. De tre heltallssidene er kjent som en Pythagorean trippel eller Pythagorean triplet eller Pythagorean triad . Alle pytagoreiske trippler med hypotenuse som er primitive (sidene som ikke har noen felles faktor ) kan genereres av ${\ displaystyle (a, b, c)}$ ${\ displaystyle c}$

${\ displaystyle a = m^{2} -n^{2}, \,}$

${\ displaystyle b = 2 minutter, \,}$

${\ displaystyle c = m^{2}+n^{2}, \,}$

${\ displaystyle {\ text {Semiperimeter}} = m (m+n) \,}$

${\ displaystyle {\ text {Area}} = mn (m^{2} -n^{2}) \,}$

der m og n er koprime -heltall og ett av dem er til og med m  >  n .

Hvert partall større enn 2 kan være benet i en pytagoransk trekant (ikke nødvendigvis primitiv) fordi hvis benet er gitt av og vi velger som det andre benet, er hypotenusen . Dette er i hovedsak generasjonsformelen ovenfor med satt til 1 og som kan variere fra 2 til uendelig. ${\ displaystyle a = 2m}$${\ displaystyle b = (a/2)^{2} -1 = m^{2} -1}$${\ displaystyle c = m^{2} +1}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle m}$

Pytagoreiske trekanter med heltallshøyde fra hypotenusen

Det er ingen primitive pytagoreiske trekanter med heltallshøyde fra hypotenusen. Dette er fordi to ganger arealet er lik en base ganger den tilsvarende høyden: 2 ganger arealet er dermed både ab og cd der d er høyden fra hypotenusen c . De tre sidelengdene til en primitiv trekant er koprime, så d  =  ab ⁄ c er i fullstendig redusert form; siden c ikke kan være lik 1 for noen primitiv pythagoransk trekant, kan d ikke være et helt tall.

Imidlertid kan enhver pytagoransk trekant med bein x ,  y og hypotenuse z generere en pytagoransk trekant med et heltall høyde, ved å skalere opp sidene med lengden på hypotenusen z . Hvis d er høyden, er den genererte pytagoreiske trekanten med heltallshøyde gitt av

${\ displaystyle (a, b, c, d) = (xz, yz, z^{2}, xy). \,}$

Følgelig er alle pytagoreiske trekanter med bein a og b , hypotenuse c og heltall høyde d fra hypotenusen, med gcd ( a, b, c, d ) = 1, som nødvendigvis tilfredsstiller både a ²  +  b ²  = c ² og , er generert av ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {a^{2}}}+{\ tfrac {1} {b^{2}}} = {\ tfrac {1} {d^{2}}}}$

${\ displaystyle a = (m^{2} -n^{2}) (m^{2}+n^{2}), \,}$

${\ displaystyle b = 2mn (m^{2}+n^{2}), \,}$

${\ displaystyle c = (m^{2}+n^{2})^{2}, \,}$

${\ displaystyle d = 2mn (m^{2} -n^{2}), \,}$

${\ displaystyle {\ text {Semiperimeter}} = m (m+n) (m^{2}+n^{2}) \,}$

${\ displaystyle {\ text {Area}} = mn (m^{2} -n^{2}) (m^{2}+n^{2})^{2} \,}$

for coprime -heltall m , n med m  >  n .

Heroniske trekanter med sider i aritmetisk progresjon

En trekant med heltallssider og heltallsområde har sider i aritmetisk progresjon hvis og bare hvis sidene er ( b - d , b , b + d ), hvor

${\ displaystyle b = 2 (m^{2}+3n^{2})/g,}$

${\ displaystyle d = (m^{2} -3n^{2})/g,}$

og hvor g er den største fellesdeleren av og${\ displaystyle m^{2} -3n^{2},}$ ${\ displaystyle 2mn,}$${\ displaystyle m^{2}+3n^{2}.}$

Heroniske trekanter med en vinkel lik to ganger en annen

Alle heroniske trekanter med B = 2 A genereres av enten

${\ displaystyle a = {\ tfrac {k^{2} (s^{2}+r^{2})^{2}} {4}},}$

${\ displaystyle b = {\ tfrac {k^{2} (s^{4} -r^{4})} {2}},}$

${\ displaystyle c = {\ tfrac {k^{2} (3s^{4} -10s^{2} r^{2}+3r^{4})} {4}},}$

${\ displaystyle {\ text {Area}} = {\ tfrac {k^{2} csr (s^{2} -r^{2})} {2}},}$

med heltall k , s , r slik at s ² > 3 r ² , eller

${\ displaystyle a = {\ tfrac {q^{2} (u^{2}+v^{2})^{2}} {4}} \,}$,

${\ displaystyle b = q^{2} uv (u^{2}+v^{2}) \,}$,

${\ displaystyle c = {\ tfrac {q^{2} (14u^{2} v^{2} -u^{4} -v^{4})} {4}} \,}$,

${\ displaystyle {\ text {Area}} = {\ tfrac {q^{2} cuv (v^{2} -u^{2})} {2}} \,}$,

med heltall q , u , v slik at v > u og v ² <(7 + 4 √ 3 )  u ² .

Ingen heroniske trekanter med B = 2 A er likebeint eller rette trekanter fordi alle resulterende vinkelkombinasjoner genererer vinkler med ikke-rasjonelle siner , noe som gir et ikke-rasjonelt område eller side.

Ensartede heroniske trekanter

Alle likbenede heroniske trekanter er nedbrytbare. De dannes ved å sammenføye to kongruente pytagoreiske trekanter langs begge sine felles ben, slik at de like sidene av den likebenede trekanten er hypotenusene til de pytagoreiske trekanter, og basen i den likebenede trekanten er to ganger det andre pytagoreiske benet. Følgelig er hver pytagoreisk trekant byggesteinen for to likebenede heroniske trekanter siden skjøten kan være langs begge ben. Alle par ensartede heroniske trekanter er gitt ved rasjonelle multipler av

${\ displaystyle a = 2 (u^{2} -v^{2}),}$

${\ displaystyle b = u^{2}+v^{2},}$

${\ displaystyle c = u^{2}+v^{2},}$

og

${\ displaystyle a = 4uv,}$

${\ displaystyle b = u^{2}+v^{2},}$

${\ displaystyle c = u^{2}+v^{2},}$

for coprime -heltall u og v med u > v og u + v oddetall.

Heroniske trekanter hvis omkrets er fire ganger en prime

Det har blitt vist at en heronisk trekant hvis omkrets er fire ganger en prim, er unikt assosiert med primen og at primen er kongruent med eller modulo . Det er velkjent at en slik prime kan unikt deles inn i heltall og slik (se Eulers idoneal tall ). Videre har det blitt vist at slike heroniske trekanter er primitive siden den minste siden av trekanten må være lik primen som er en fjerdedel av omkretsen. ${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle 3}$${\ displaystyle 8}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle p = m^{2}+2n^{2}}$

Følgelig kan alle primitive heroniske trekanter hvis omkrets er fire ganger primtall genereres av

${\ displaystyle a = m^{2}+2n^{2}}$

${\ displaystyle b = m^{2}+4n^{2}}$

${\ displaystyle c = 2 (m^{2}+n^{2})}$

${\ displaystyle {\ text {Semiperimeter}} = 2a = 2 (m^{2}+2n^{2})}$

${\ displaystyle {\ text {Area}} = 2mn (m^{2}+2n^{2})}$

for heltall og slikt er det en prime. ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle m^{2}+2n^{2}}$

Videre er faktoriseringen av området hvor prima er. Imidlertid er området til en heronisk trekant alltid delelig med . Dette gir resultatet at bortsett fra når og som gir alle andre parings av og må ha odd med bare en av dem delelig med . ${\ displaystyle 2mnp}$${\ displaystyle p = m^{2}+2n^{2}}$${\ displaystyle 6}$${\ displaystyle m = 1}$${\ displaystyle n = 1,}$${\ displaystyle p = 3,}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle 3}$

Heroniske trekanter med heltall inradius og exradii

Det finnes uendelig mange dekomponerbart, og uendelig mange indecomposable, primitive Heronian (ikke-pytagoreiske) trekanter med heltall radier for den incircle og hver excircle . En familie av nedbrytbare er gitt av

${\ displaystyle a = 4n^{2}, \ quad \ quad b = (2n+1) (2n^{2} -2n+1), \ quad \ quad c = (2n-1) (2n^{2 }+2n+1),}$

${\ displaystyle r = 2n-1, \ quad \ quad r_ {a} = 2n+1, \ quad \ quad r_ {b} = 2n^{2}, \ quad \ quad r_ {c} = {\ text { Område}} = 2n^{2} (2n-1) (2n+1);}$

og en familie av ukomponerbare er gitt av

${\ displaystyle a = 5 (5n^{2}+n-1), \ quad \ quad b = (5n+3) (5n^{2} -4n+1), \ quad \ quad c = (5n- 2) (5n^{2}+6n+2),}$

${\ displaystyle r = 5n-2, \ quad \ quad r_ {a} = 5n+3, \ quad \ quad r_ {b} = 5n^{2}+n-1, \ quad \ quad r_ {c} = {\ text {Area}} = (5n-2) (5n+3) (5n^{2}+n-1).}$

Heroniske trekanter som ansikter på et tetraeder

Det finnes tetraeder som har et helt tall-verdsatt volum og hegre-trekanter som ansikter . Ett eksempel har en kant på 896, motsatt kant på 190, og de andre fire kantene på 1073; to ansikter har områder på 436800 og de to andre har områder på 47120, mens volumet er 62092800.

Heroniske trekanter i et 2D gitter

Et 2D gitter er et vanlig utvalg av isolerte punkter der hvis ett punkt er valgt som den kartesiske opprinnelsen (0, 0), så er alle de andre punktene på ( x, y ) hvor x og y varierer over alle positive og negative heltall . En gittertrekant er en hvilken som helst trekant som er tegnet i et 2D -gitter slik at alle hjørner ligger på gitterpunkter. Etter Picks teorem har en gittertrekant et rasjonelt område som enten er et heltall eller et halvt heltall (har en nevner på 2). Hvis gittertrekanten har heltallssider, er den heronisk med heltallsområde.

Videre er det bevist at alle heroniske trekanter kan tegnes som gittertrekanter. Følgelig er et heltall trekant Heronian hvis og bare hvis det kan tegnes som et gitter trekant.

Det er uendelig mange primitive heroniske (ikke-pytagoranske) trekanter som kan plasseres på et heltall gitter med alle hjørner, incenter og alle tre excenters på gitterpunkter. To familier med slike trekanter er de med parametriseringer gitt ovenfor på #heroniske trekanter med heltall inradius og exradii .

Heltall automatiserte trekanter

En automatisert trekant er en hvis medianer er i samme proporsjoner (i motsatt rekkefølge) som sidene. Hvis x , y og z er de tre sidene av en høyre trekant, sortert i økende rekkefølge etter størrelse, og hvis 2 x  <  z , så er z , x  +  y og y  -  x de tre sidene av en automatisert trekant. For eksempel kan den rette trekanten med sidelengder 5, 12 og 13 brukes på denne måten for å danne den minste ikke-trivielle (dvs. ikke-likesidet) heltall automatiserte trekanten, med sidelengder 13, 17 og 7.

Følgelig, ved å bruke Euklids formel , som genererer primitive pytagoreiske trekanter, er det mulig å generere primitive heltall automatiserte trekanter som

${\ displaystyle a = | m^{2} -2mn-n^{2} |}$

${\ displaystyle b = m^{2}+2mn-n^{2}}$

${\ displaystyle c = m^{2}+n^{2}}$

med og coprime og odd, og   (hvis mengden inne i tegnene for absolutt verdi er negativ) eller   (hvis den mengden er positiv) for å tilfredsstille trekantens ulikhet . ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle m+n}$${\ displaystyle n <m <n {\ sqrt {3}}}$${\ displaystyle m> (2+{\ sqrt {3}}) n}$

Et viktig kjennetegn ved den automatiserte trekanten er at kvadratene på sidene danner en aritmetisk progresjon . Nærmere bestemt så${\ displaystyle c^{2} -a^{2} = b^{2} -c^{2}}$${\ displaystyle 2c^{2} = a^{2}+b^{2}.}$

Heltall trekanter med spesifikke vinkelegenskaper

Heltall trekanter med en rasjonell vinkelhalveringslinje

En trekantfamilie med heltallssider og med rasjonell tverrsnitt av vinkel A er gitt av ${\ displaystyle a, b, c}$${\ displaystyle d}$

${\ displaystyle a = 2 (k^{2} -m^{2}),}$

${\ displaystyle b = (km)^{2},}$

${\ displaystyle c = (k+m)^{2},}$

${\ displaystyle d = {\ tfrac {2 km (k^{2} -m^{2})} {k^{2}+m^{2}}},}$

med heltall . ${\ displaystyle k> m> 0}$

Heltall trekanter med heltall n -sektorer i alle vinkler

Det finnes uendelig mange ikke- lignende trekanter der de tre sidene og halvdelene til hver av de tre vinklene er heltall.

Det finnes uendelig mange ikke-lignende trekanter der de tre sidene og de to trisektorene i hver av de tre vinklene er heltall.

Men for n > 3 eksisterer det ingen trekanter hvor de tre sider og den ( n  - 1) n -sectors av hver av de tre vinklene er heltall.

Heltall trekanter med en vinkel med en gitt rasjonell cosinus

Noen heltallstrekanter med en vinkel i toppunkt A som har gitt rasjonell cosinus h  /  k ( h <0 eller> 0; k > 0) er gitt av

${\ displaystyle a = p^{2} -2pqh+q^{2} k^{2},}$

${\ displaystyle b = p^{2} -q^{2} k^{2},}$

${\ displaystyle c = 2qk (p-qh),}$

hvor p og q er alle coprime positive heltall slik at p > qk .

Heltall trekanter med en 60 ° vinkel (vinkler i aritmetisk progresjon)

Alle heltall trekanter med en 60 ° vinkel har sine vinkler i en aritmetisk progresjon. Alle slike trekanter er proporsjonale med:

${\ displaystyle a = 4 minutter,}$

${\ displaystyle b = 3m^{2}+n^{2},}$

${\ displaystyle c = 2mn+| 3m^{2} -n^{2} |}$

med coprime -heltall m , n og 1 ≤  n  ≤  m eller 3 m  ≤  n . Herfra kan alle primitive løsninger oppnås ved å dele a , b og c med sin største fellesdeler.

Heltall trekanter med en 60 ° vinkel kan også genereres av

${\ displaystyle a = m^{2} -mn+n^{2},}$

${\ displaystyle b = 2mn-n^{2},}$

${\ displaystyle c = m^{2} -n^{2},}$

med coprime -heltall m , n med 0 <  n  <  m (vinkelen på 60 ° er motsatt siden av lengden a ). Herfra kan alle primitive løsninger oppnås ved å dele a , b og c med sin største fellesdeler (f.eks. Oppnås en likesidet trekantløsning ved å ta m = 2 og n = 1 , men dette gir a = b = c = 3 , som ikke er en primitiv løsning). Se også

Nærmere bestemt, Hvis , da , ellers . To forskjellige par og genererer samme trippel. Dessverre kan de to parene begge ha gcd = 3, så vi kan ikke unngå duplikater ved å hoppe over saken. I stedet kan duplikater unngås ved bare å gå til . Vi trenger fortsatt å dele med 3 hvis gcd = 3. Den eneste løsningen for under de ovennevnte begrensningene er for . Med denne ekstra begrensningen kan alle trippler genereres unikt. ${\ displaystyle m \ equiv -n \ ({\ text {mod}} \ 3)}$${\ displaystyle gcd (a, b, c) = 3}$${\ displaystyle gcd (a, b, c) = 1}$${\ displaystyle (m, n)}$${\ displaystyle (m, mn)}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle m/2}$${\ displaystyle n = m/2}$${\ displaystyle (3,3,3) \ equiv (1,1,1)}$${\ displaystyle m = 2, n = 1}$${\ displaystyle n \ leq m/2}$

En Eisenstein trippel er et sett med heltall som er lengden på sidene i en trekant der en av vinklene er 60 grader.

Heltall trekanter med en 120 ° vinkel

Heltall trekanter med en 120 ° vinkel kan genereres av

${\ displaystyle a = m^{2}+mn+n^{2},}$

${\ displaystyle b = 2mn+n^{2},}$

${\ displaystyle c = m^{2} -n^{2},}$

med coprime -heltall m ,  n med 0 <  n  <  m (vinkelen på 120 ° er motsatt siden av lengden a ). Herfra kan alle primitive løsninger oppnås ved å dele a , b og c med sin største fellesdeler. Den minste løsningen, for m = 2 og n = 1, er trekanten med sider (3,5,7). Se også.

Nærmere bestemt, Hvis , da , ellers . Siden den største siden a bare kan genereres med et enkelt par, kan hver primitive trippel genereres på nøyaktig to måter: en gang direkte med gcd = 1, og en gang indirekte med gcd = 3. For å generere alle primitive tripler unikt , man kan bare legge til en ekstra betingelse. ${\ displaystyle m \ equiv n \ ({\ text {mod}} \ 3)}$${\ displaystyle gcd (a, b, c) = 3}$${\ displaystyle gcd (a, b, c) = 1}$${\ displaystyle (m, n)}$${\ displaystyle m \ not \ equiv n \ (mod \ 3)}$

Heltall trekanter med en vinkel lik et vilkårlig rasjonelt tall ganger en annen vinkel

For positive relativt primisk h og k , trekanten med følgende sidene har vinkler , og som derfor to vinkler i forholdet h  :  k , og sidene er heltall: ${\ displaystyle h \ alpha}$${\ displaystyle k \ alpha}$${\ displaystyle \ pi -(h+k) \ alpha}$

${\ displaystyle a = q^{h+k-1} {\ frac {\ sin h \ alpha} {\ sin \ alpha}} = q^{k} \ cdot \ sum _ {0 \ leq i \ leq { \ frac {h-1} {2}}} (-1)^{i} {\ binom {h} {2i+1}} p^{h-2i-1} (q^{2} -p^ {2})^{i},}$

${\ displaystyle b = q^{h+k-1} {\ frac {\ sin k \ alpha} {\ sin \ alpha}} = q^{h} \ cdot \ sum _ {0 \ leq i \ leq { \ frac {k-1} {2}}} (-1)^{i} {\ binom {k} {2i+1}} p^{k-2i-1} (q^{2} -p^ {2})^{i},}$

${\ displaystyle c = q^{h+k-1} {\ frac {\ sin (h+k) \ alpha} {\ sin \ alpha}} = \ sum _ {0 \ leq i \ leq {\ frac { h+k-1} {2}}} (-1)^{i} {\ binom {h+k} {2i+1}} p^{h+k-2i-1} (q^{2} -p^{2})^{i},}$

hvor og p og q er alle koprime -heltall slik at . ${\ displaystyle \ alpha = \ cos ^{-1} \! {\ frac {p} {q}}}$${\ displaystyle \ cos {\ frac {\ pi} {h+k}} <{\ frac {p} {q}} <1}$

Heltall trekanter med en vinkel lik to ganger en annen

Med vinkel A motsatt side og vinkel B motsatt side , genereres noen trekanter med B  = 2 A av ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$

${\ displaystyle a = n^{2},}$

${\ displaystyle b = mn,}$

${\ displaystyle c = m^{2} -n^{2},}$

med heltall m , n slik at 0 <  n  <  m  <2 n .

Alle trekanter med B  = 2 A (enten heltall eller ikke) tilfredsstiller${\ displaystyle a (a+c) = b^{2}.}$

Heltall trekanter med en vinkel lik 3/2 ganger en annen

Ekvivalensklassen til lignende trekanter med genereres av ${\ displaystyle B = {\ tfrac {3} {2}} A}$

${\ displaystyle a = mn^{3},}$

${\ displaystyle b = n^{2} (m^{2} -n^{2}),}$

${\ displaystyle c = (m^{2} -n^{2})^{2} -m^{2} n^{2},}$

med heltall slik at , hvor er det gylne snittet . ${\ displaystyle m, n}$${\ displaystyle 0 <\ varphi n <m <2n}$${\ displaystyle \ varphi}$ ${\ displaystyle \ varphi = {\ frac {1+{\ sqrt {5}}} {2}} \ ca 1.61803}$

Alle trekanter med (enten med heltallssider eller ikke) tilfredsstiller${\ displaystyle B = {\ tfrac {3} {2}} A}$${\ displaystyle (b^{2} -a^{2}) (b^{2} -a^{2}+bc) = a^{2} c^{2}.}$

Heltall trekanter med en vinkel tre ganger en annen

Vi kan generere hele ekvivalensklassen for lignende trekanter som tilfredsstiller B  = 3 A ved å bruke formlene

${\ displaystyle a = n^{3}, \,}$

${\ displaystyle b = n (m^{2} -n^{2}), \,}$

${\ displaystyle c = m (m^{2} -2n^{2}), \,}$

hvor og er heltall slik at . ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle {\ sqrt {2}} n <m <2n}$

Alle trekanter med B = 3 A (enten med heltallssider eller ikke) tilfredsstiller${\ displaystyle ac^{2} = (ba)^{2} (b+a).}$

Heltall trekanter med tre rasjonelle vinkler

Den eneste heltallige trekanten med tre rasjonelle vinkler (rasjonelle antall grader, eller ekvivalent rasjonelle brøkdeler av en hel sving) er den likesidet trekant . Dette er fordi heltallssider antyder tre rasjonelle cosinuser etter cosinusloven , og ved Nivens setning sammenfaller en rasjonell cosinus med en rasjonell vinkel hvis og bare hvis cosinus er lik 0, ± 1/2 eller ± 1. De eneste av disse som gir en vinkel strengt mellom 0 ° og 180 ° er cosinusverdien 1/2 med vinkelen 60 °, cosinusverdien –1/2 med vinkelen 120 ° og cosinusverdien 0 med vinkelen 90 °. Den eneste kombinasjonen av tre av disse, som tillater flere ganger bruk av noen av dem og summerer til 180 °, er tre 60 ° vinkler.

Heltall trekanter med heltall forhold mellom circumradius og inradius

Betingelser er kjent når det gjelder elliptiske kurver for et heltall trekant for å ha et heltall forhold N av omkretsen til inradius . Det minste tilfellet, det i den likesidet trekant , har N = 2. I hvert kjent tilfelle er N ≡ 2 (mod 8) - det vil si at N - 2 er delelig med 8.

5-Con trekantpar

Et 5-Con trekantpar er et par trekanter som er like, men ikke kongruente, og som deler tre vinkler og to sidelengder. Primitivt heltall 5-Con-trekanter, der de fire forskjellige heltallssidene (to sider som hver vises i begge trekanter, og en annen side i hver trekant) ikke deler noen primfaktor, har trippel av sider

${\ displaystyle (x^{3}, x^{2} y, xy^{2})}$ og ${\ displaystyle (x^{2} y, xy^{2}, y^{3})}$

for positive coprime -heltall x og y . Det minste eksemplet er paret (8, 12, 18), (12, 18, 27), generert av x = 2, y = 3.

Spesielle heltall trekanter

• Den eneste trekanten med påfølgende heltall for sider og areal har sider (3, 4, 5) og område 6.
• Den eneste trekanten med påfølgende heltall for en høyde og sidene har sider (13, 14, 15) og høyde fra side 14 lik 12.
• Trekanten (2, 3, 4) og dens multipler er de eneste trekanter med heltallssider i aritmetisk progresjon og som har den komplementære ytre vinkelegenskapen. Denne egenskapen sier at hvis vinkel C er stump og hvis et segment faller fra B som møtes vinkelrett AC utvidet ved P, så er ∠CAB = 2∠CBP.
• Trekanten (3, 4, 5) og multipla er de eneste heltallige trekanter som har sider i aritmetisk progresjon.
• Trekanten (4, 5, 6) og dens multipler er de eneste trekanter med en vinkel som er to ganger en annen og har heltallssider i aritmetisk progresjon.
• Trekanten (3, 5, 7) og dens multipler er de eneste trekanter med en 120 ° vinkel og som har heltallssider i aritmetisk progresjon.
• Den eneste heltallstrekanten med areal = semiperimeter har sider (3, 4, 5).
• De eneste heltallstrekanter med areal = omkrets har sider (5, 12, 13), (6, 8, 10), (6, 25, 29), (7, 15, 20) og (9, 10, 17) . Av disse er de to første, men ikke de tre siste, rette trekanter.
• Det finnes heltallstrekanter med tre rasjonelle medianer . Den minste har sider (68, 85, 87). Andre inkluderer (127, 131, 158), (113, 243, 290), (145, 207, 328) og (327, 386, 409).
• Det er ingen likebeint pytagoreiske trekanter.
• De eneste primitive pytagoreiske trekanter som omkretsen av omkretsen tilsvarer et heltall multiplum av området er (3, 4, 5) med omkrets 12 og område 6 og forholdet mellom omkrets i kvadrat og areal er 24; (5, 12, 13) med omkrets 30 og område 30 og med forholdet mellom omkrets i kvadrat og areal som er 30; og (9, 40, 41) med omkrets 90 og område 180 og med forholdet mellom omkrets i kvadrat og areal som 45.
• Det eksisterer et unikt (opp til liknende) par av en rasjonell høyre trekant og en rasjonell likebent trekant som har samme omkrets og samme område. Det unike paret består av (377, 135, 352) trekanten og (366, 366, 132) trekanten. Det er ikke et par slike trekanter hvis trekanter også må være primitive integrerte trekanter. Forfatterne understreker det slående faktum at den andre påstanden kan bevises med en elementær argumentasjon (de gjør det i vedlegg A), mens den første påstanden trenger moderne svært ikke-triviell matematikk.

Se også

• Robbins femkant , en syklisk femkant med heltallssider og heltallsområde
• Euler murstein , en kuboid med heltallskanter og heltallige diagonaler
• Tetrahedron#Heltall tetraeder

Referanser