CW -kompleks - CW complex

Et CW -kompleks er en slags topologisk plass som er spesielt viktig i algebraisk topologi . Den ble introdusert av JHC Whitehead for å dekke behovene til homotopiteori . Denne klassen av mellomrom er bredere og har noen bedre kategoriske egenskaper enn enkle komplekser , men beholder fortsatt en kombinatorisk natur som gir mulighet for beregning (ofte med et mye mindre kompleks). Den C står for "lukke endelig", og W for "svak" topologi. Et CW -kompleks kan defineres induktivt.

• Et 0- dimensjonalt CW-kompleks er bare et sett med null eller flere diskrete punkter (med den diskrete topologien ).
• Et 1- dimensjonalt CW-kompleks er konstruert ved å ta den usammenhengende foreningen av et 0-dimensjonalt CW-kompleks med en eller flere kopier av enhetsintervallet . For hver kopi er det et kart som " limer " grensen (de to endepunktene) til elementer i det 0-dimensjonale komplekset (punktene). Topologien til CW -komplekset er topologien til kvoterommet definert av disse limingskartene.
• Generelt konstrueres et n -dimensjonalt CW -kompleks ved å ta den usammenhengende foreningen av et k -dimensjonalt CW -kompleks (for noen ) med en eller flere kopier av n -dimensjonale ballen . For hver kopi er det et kart som "limer" grensen (den -dimensjonale sfæren ) til elementer i det dimensjonale komplekset. Topologien til CW -komplekset er kvotientopologien definert av disse limingskartene.${\ displaystyle k <n}$${\ displaystyle (n-1)}$${\ displaystyle k}$
• Et uendelig dimensjonalt CW-kompleks kan konstrueres ved å gjenta prosessen ovenfor mange ganger.

I en n -dimensjonal CW kompleks, for hver , en k-celle er det indre av en k -dimensjonale ball tilsettes ved k -te trinnet. Den k-skjelett av komplekset er foreningen av alle k -cellene. ${\ displaystyle k \ leq n}$

Eksempler

Som nevnt ovenfor er hver samling av diskrete punkter et CW -kompleks (av dimensjon 0).

1-dimensjonale CW-komplekser

Noen eksempler på 1-dimensjonale CW-komplekser er:

• Et intervall . Den kan konstrueres fra to punkter ( x og y ), og den 1-dimensjonale ballen B (et intervall), slik at det ene endepunktet til B limes til x og det andre limes til y . De to punktene x og y er 0-cellene; det indre av B er 1-cellen. Alternativt kan den konstrueres bare fra et enkelt intervall, uten 0-celler.
• En sirkel . Den kan konstrueres fra et enkelt punkt x og den 1-dimensjonale ballen B , slik at begge endepunktene til B limes til x . Alternativt kan den konstrueres fra to punkter x og y og to 1-dimensjonale kuler A og B , slik at endepunktene til A limes til x og y , og endepunktene til B limes til x og y også.
• En graf . Det er et 1-dimensjonalt CW-kompleks der 0-cellene er toppunktene og 1-cellene er kantene. Endepunktene til hver kant er identifisert med hjørnene ved siden av den.
  • 3-vanlige grafer kan betraktes som generiske 1-dimensjonale CW-komplekser. Nærmere bestemt, hvis X er en en-dimensjonal CW kompleks, feste kart for en 1-celle er et kart fra en to-punkts plass til X , . Dette kartet kan opprørt å være disjunkte fra 0-skjelettet av X hvis og bare hvis , og er ikke 0-Valence hjørnene i X .${\ displaystyle f: \ {0,1 \} \ til X}$${\ displaystyle f (0)}$${\ displaystyle f (1)}$
• Den standard CW struktur på de reelle tall må som 0-skjelett heltallene og som 1-celler intervallene . På samme måte har standard CW-strukturen på kubiske celler som er produkter av 0 og 1-cellene fra . Dette er standard kubikkgittercellestruktur på .${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ {[n, n+1]: n \ i \ mathbb {Z} \}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$

Flerdimensjonale CW-komplekser

Noen eksempler på flerdimensjonale CW-komplekser er:

• En n -dimensjonal sfære . Den innrømmer en CW-struktur med to celler, en 0-celle og en n-celle. Her er n-cellen festet ved den konstante kartleggingen fra grensen til den eneste 0-cellen. En alternativ cellenedbrytning har en ( n -1) -dimensjonal sfære (" ekvator ") og to n- celler som er festet til den ("øvre hemisfæren" og "nedre hemisfæren"). Induktivt gir dette en CW -dekomponering med to celler i hver dimensjon k slik at .${\ displaystyle D^{n}}$${\ displaystyle S^{n-1}}$${\ displaystyle S^{n}}$${\ displaystyle 0 \ leq k \ leq n}$
• Det n -dimensjonale virkelige prosjektive rommet . Den innrømmer en CW -struktur med en celle i hver dimensjon.
• Terminologien for et generisk 2-dimensjonalt CW-kompleks er en skygge .
• Et polyeder er naturligvis et CW -kompleks.
• Grassmannian manifolds innrømmer en CW -struktur kalt Schubert -celler .
• Differensierbare manifolder , algebraiske og projektive varianter har homotopitype av CW-komplekser.
• Den ett-punkts compactification av en cusped hyperbolsk manifold har en kanonisk CW spaltning med bare en 0-celle (den compactification punkt) kalt den Epstein-Penner Dekomponering . Slike cellenedbrytninger kalles ofte ideelle polyedrale nedbrytninger og brukes i populær dataprogramvare, for eksempel SnapPea .

Ikke CW-komplekser

• Et uendelig dimensjonalt Hilbert -rom er ikke et CW -kompleks: det er et Baire -rom og kan derfor ikke skrives som en tellbar forening av n -skjeletter, som hver er et lukket sett med tomt interiør. Dette argumentet strekker seg til mange andre uendelige dimensjonale mellomrom.
• Plassen har homotopytypen til et CW-kompleks (det er sammentrekbart), men det innrømmer ikke en CW-dekomponering, siden det ikke er lokalt sammentrekkbart .${\ displaystyle \ {re^{2 \ pi i \ theta}: 0 \ leq r \ leq 1, \ theta \ in \ mathbb {Q} \} \ subseteq \ mathbb {C}}$
• Den hawaiisk ørering er et eksempel på et topologisk rom som ikke har den homotopiteori-typen av en CW-kompleks.

Formulering

Grovt sett er et CW -kompleks laget av grunnleggende byggesteiner som kalles celler . Den presise definisjonen foreskriver hvordan cellene kan limes topologisk sammen .

En n -dimensjonal lukket celle er bildet av en n -dimensjonal lukket ball under et vedleggskart . For eksempel er en simplex en lukket celle, og mer generelt er en konveks polytop en lukket celle. En n -dimensjonal åpen celle er et topologisk rom som er homeomorft i forhold til den n -dimensjonale åpne ballen . En 0-dimensjonal åpen (og lukket) celle er et singletonrom . Closure-finite betyr at hver lukkede celle er dekket av en endelig forening av åpne celler (eller møter bare endelig mange andre celler).

Et CW -kompleks er et Hausdorff -rom X sammen med en partisjon av X i åpne celler (av kanskje varierende dimensjon) som tilfredsstiller to ekstra egenskaper:

• For hver n -dimensjonale åpne celle C i partisjonen av X , eksisterer det et kontinuerlig kart f fra den n -dimensjonale lukkede ballen til X slik at
  • begrensningen av f til det indre av den lukkede ballen er en homeomorfisme på cellen C , og
  • bildet av grensen til den lukkede ballen er inneholdt i foreningen av et begrenset antall elementer i partisjonen, som hver har celledimensjon mindre enn n .
• En undergruppe av X er lukket hvis og bare hvis den oppfyller stengning av hver celle i et lukket set.

Partisjonen av X kalles også en cellulasjon .

Vanlige CW -komplekser

En CW kompleks kalles vanlig hvis for hver n -dimensjonale åpencellet C i skilleveggen av X , den kontinuerlige kart f fra den n -dimensjonale lukkede ball til X er en homeomorfi på skjøte av cellen C . Følgelig kalles partisjonen av X også en vanlig cellulasjon . En loopless graf er et vanlig 1-dimensjonalt CW-kompleks. En lukket 2-cellers graf som er innebygd på en overflate er et vanlig todimensjonalt CW-kompleks. Til slutt hevder den 3-sfære vanlige celleformuleringen at hver 2-tilkoblede graf er 1-skjelettet til et vanlig CW-kompleks på den tredimensjonale sfæren ( https://twiki.di.uniroma1.it/pub/Users/ SergioDeAgostino/DeAgostino.pdf ).

Relative CW -komplekser

Grovt sett skiller et relativt CW -kompleks seg fra et CW -kompleks ved at vi lar det ha en ekstra byggestein som ikke nødvendigvis har en mobilstruktur. Denne ekstra blokken kan behandles som en (-1) -dimensjonal celle i den tidligere definisjonen.

Induktiv konstruksjon av CW -komplekser

Hvis den største dimensjonen av noen av cellene er n , sies det at CW -komplekset har dimensjon n . Hvis det ikke er noen binding til celledimensjonene, sies det å være uendelig-dimensjonalt. Den n -skeleton av en CW-komplekset er unionen av de celler hvis dimensjon er høyst n . Hvis foreningen av et sett med celler er lukket, er denne foreningen i seg selv et CW -kompleks, kalt et subkompleks. Dermed er n -skjelettet det største subkomplekset av dimensjon n eller mindre.

Et CW -kompleks blir ofte konstruert ved å definere skjelettet induktivt ved å 'feste' celler med økende dimensjon. Ved en 'feste' av en n -celle til en topologisk rom X ett middel et adjunction plass hvor f er en kontinuerlig kart fra grensen av en lukket n -dimensjonale ball til X . For å konstruere et CW-kompleks, begynn med et 0-dimensjonalt CW-kompleks, det vil si et diskret rom . Fest 1-celler til for å få et 1-dimensjonalt CW-kompleks . Fest 2-celler til for å få et todimensjonalt CW-kompleks . Fortsetter vi på denne måten, får vi en nestet sekvens av CW -komplekser med økende dimensjon slik at hvis da er i -skjelettet av . ${\ displaystyle B \ cup _ {f} X}$${\ displaystyle B \ subseteq R^{n}}$ ${\ displaystyle X_ {0}}$${\ displaystyle X_ {0}}$${\ displaystyle X_ {1}}$${\ displaystyle X_ {1}}$${\ displaystyle X_ {2}}$${\ displaystyle X_ {0} \ subseteq X_ {1} \ subseteq \ cdots X_ {n} \ subseteq \ cdots}$${\ displaystyle i \ leq j}$${\ displaystyle X_ {i}}$${\ displaystyle X_ {j}}$

Opp til isomorfisme kan hvert n -dimensjonalt CW -kompleks hentes fra dets ( n  -1) -skjelett ved å feste n -celler, og dermed kan hvert endelig -dimensjonalt CW -kompleks bygges opp av prosessen ovenfor. Dette gjelder selv for uendelige dimensjonale komplekser, med den forståelse at resultatet av den uendelige prosessen er skjelettets direkte grense : et sett lukkes i X hvis og bare hvis det møter hvert skjelett i et lukket sett.

Homologi og kohomologi for CW -komplekser

Singular homologi og kohomologi av CW -komplekser kan lett beregnes via mobilhomologi . Videre, i kategorien CW -komplekser og mobilkart, kan mobilhomologi tolkes som en homologi -teori . For å beregne en ekstraordinær (co) homologi teori for et CW -kompleks, er Atiyah - Hirzebruch spektral sekvens analogen til mobil homologi .

Noen eksempler:

• For sfæren, ta celle dekomponering med to celler: en enkelt 0 -celle og en enkelt n -celle. Den cellulære homologi ; kompleks og homologi er gitt ved:${\ displaystyle S^{n},}$ ${\ displaystyle C _ {*}}$

${\ displaystyle C_ {k} = {\ begin {cases} \ mathbb {Z} & k \ in \ {0, n \} \\ 0 & k \ notin \ {0, n \} \ end {cases}} \ quad H_ {k} = {\ start {cases} \ mathbb {Z} & k \ in \ {0, n \} \\ 0 & k \ notin \ {0, n \} \ end {cases}}}$

siden alle differensialene er null.

Alternativt, hvis vi bruker ekvatorial nedbrytning med to celler i hver dimensjon

${\ displaystyle C_ {k} = {\ begin {cases} \ mathbb {Z} ^{2} & 0 \ leqslant k \ leqslant n \\ 0 & {\ text {ellers}} \ \ end {cases}}}$

og differensialene er matriser av formen Dette gir den samme homologiregningen ovenfor, ettersom kjedekomplekset er nøyaktig i alle termer unntatt og${\ displaystyle \ left ({\ begin {smallmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \ end {smallmatrix}} \ right).}$${\ displaystyle C_ {0}}$${\ displaystyle C_ {n}.}$

• For vi får det på samme måte${\ displaystyle \ mathbb {P} ^{n} (\ mathbb {C})}$

${\ displaystyle H ^{k} \ left (\ mathbb {P} ^{n} (\ mathbb {C}) \ right) = {\ start {cases} \ mathbb {Z} & 0 \ leqslant k \ leqslant 2n, {\ text {even}} \\ 0 og {\ text {ellers}} \ end {cases}}}$

Begge de ovennevnte eksemplene er spesielt enkle fordi homologien bestemmes av antall celler - det vil si: de cellulære vedleggskartene har ingen rolle i disse beregningene. Dette er et veldig spesielt fenomen og er ikke en indikasjon på den generelle saken.

Modifikasjon av CW -strukturer

Det er en teknikk, utviklet av Whitehead, for å erstatte et CW-kompleks med et homotopekvivalent CW-kompleks som har en enklere CW-dekomponering.

Tenk for eksempel på et vilkårlig CW -kompleks. Dens 1-skjelett kan være ganske komplisert, og være en vilkårlig graf . Vurder nå en maksimal skog F i denne grafen. Siden det er en samling av trær og trær er sammentrekkbar, vurdere plass der ekvivalensrelasjon er generert av hvis de finnes i et vanlig tre i maksimal skogen F . Kvotientkartet er en homotopekvivalens. Videre arver naturligvis en CW struktur, med celler som svarer til cellene i som ikke ligger i F . Spesielt er 1-skjelettet av en usammenhengende forening av sirkler. ${\ displaystyle X/{\ sim}}$${\ displaystyle x \ sim y}$${\ displaystyle X \ til X/{\ sim}}$${\ displaystyle X/{\ sim}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X/{\ sim}}$

En annen måte å angi det ovennevnte er at et tilkoblet CW-kompleks kan erstattes av et homotopekvivalent CW-kompleks hvis 0-skjelett består av et enkelt punkt.

Vurder å klatre opp tilkoblingsstigen-anta at X er et enkelt tilkoblet CW-kompleks hvis 0-skjelett består av et punkt. Kan vi gjennom passende modifikasjoner erstatte X med et homotopi-ekvivalent CW-kompleks der det består av et enkelt punkt? Svaret er ja. Det første trinnet er å observere det og vedleggskartene for å konstruere fra en gruppepresentasjon . Den Tietze teoremet for gruppe presentasjoner sier at det er en sekvens av trekk vi kan utføre for å redusere denne gruppen presentasjon til triviell presentasjon av det trivielle gruppe. Det er to Tietze -trekk: ${\ displaystyle X^{1}}$${\ displaystyle X^{1}}$${\ displaystyle X^{2}}$${\ displaystyle X^{1}}$

1) Legge til/fjerne en generator. Å legge til en generator, fra perspektivet til CW-nedbrytningen består av å legge til en 1-celle og en 2-celle hvis vedleggskart består av den nye 1-cellen og resten av vedleggskartet er i . Lar vi være den tilsvarende CW komplekset så er det en ekvivalens homotopiteori gitt ved å skyve den nye 2-celle i X .${\ displaystyle X^{1}}$${\ displaystyle {\ tilde {X}}}$${\ displaystyle {\ tilde {X}} = X \ cup e^{1} \ cup e^{2}}$${\ displaystyle {\ tilde {X}} \ til X}$

2) Legge til/fjerne en relasjon. Handlingen med å legge til en relasjon er lik, bare en erstatter X med der den nye 3 -cellen har et vedleggskart som består av den nye 2 -cellen og resten kartlegging inn . Et lignende lysbilde gir en homotopi-ekvivalens .${\ displaystyle {\ tilde {X}} = X \ cup e^{2} \ cup e^{3}}$${\ displaystyle X^{2}}$${\ displaystyle {\ tilde {X}} \ til X}$

Hvis et CW -kompleks X er n -koblet, kan man finne et homotopie -ekvivalent CW -kompleks hvis n -skjelett består av et enkelt punkt. Argumentet for ligner på saken, bare en erstatter Tietze -trekk for den grunnleggende gruppepresentasjonen ved elementære matriseoperasjoner for presentasjonsmatrisene for (ved å bruke presentasjonsmatrisene som kommer fra mobilhomologi . Dvs.: man kan på samme måte realisere elementære matriseoperasjoner med en sekvens av tillegg/fjerning av celler eller egnede homotopier av vedleggskartene. ${\ displaystyle {\ tilde {X}}}$${\ displaystyle X^{n}}$${\ displaystyle n \ geq 2}$${\ displaystyle n = 1}$${\ displaystyle H_ {n} (X; \ mathbb {Z})}$

Kategorien 'homotopi'

Den homotopi kategorien av CW-komplekser er, i den oppfatning av noen eksperter, beste, hvis ikke den eneste kandidaten for den homotopi kategori (av tekniske årsaker versjonen for spisse områder faktisk brukes). Hjelpekonstruksjoner som gir mellomrom som ikke er CW -komplekser, må brukes av og til. Et grunnleggende resultat er at de representable funksjonene i homotopikategorien har en enkel karakterisering ( Brown representability theorem ).

Egenskaper

• CW -komplekser er lokalt sammentrekningsbare.
• CW -komplekser tilfredsstiller Whitehead -teoremet : et kart mellom CW -komplekser er en homotopekvivalens hvis og bare hvis det induserer en isomorfisme på alle homotopigrupper.
• Produktet av to CW -komplekser kan gjøres til et CW -kompleks. Spesielt hvis X og Y er CW -komplekser, kan man danne et CW -kompleks X × Y der hver celle er et produkt av en celle i X og en celle i Y , utstyrt med den svake topologien . Det underliggende settet med X × Y er deretter det kartesiske produktet av X og Y , som forventet. I tillegg er den svake topologien på dette settet ofte enig med den mer kjente produkttopologien på X × Y , for eksempel hvis enten X eller Y er begrenset. Den svake topologien kan imidlertid være finere enn produkttopologien, for eksempel hvis verken X eller Y er lokalt kompakt . I dette ugunstige tilfellet er produktet X × Y i produkttopologien ikke et CW -kompleks. På den annen side stemmer produktet av X og Y i kategorien kompakt genererte mellomrom med den svake topologien og definerer derfor et CW -kompleks.
• La X og Y være CW -komplekser. Da er funksjonsrommene Hom ( X , Y ) (med kompakt-åpen topologi ) ikke CW-komplekser generelt. Hvis X er begrenset, er Hom ( X , Y ) homotopi ekvivalent med et CW -kompleks ved en teorem av John Milnor (1959). Vær oppmerksom på at X og Y er kompakt genererte Hausdorff-mellomrom , så Hom ( X , Y ) blir ofte tatt med den kompakt genererte varianten av den kompakt-åpne topologien; utsagnene ovenfor er sanne.
• Et dekkende rom for et CW -kompleks er også et CW -kompleks.
• CW -komplekser er parakompakte . Endelige CW -komplekser er kompakte . Et kompakt underrom av et CW -kompleks er alltid inneholdt i et endelig subkompleks.

Se også

• Abstrakt cellekompleks
• Forestillingen om CW -kompleks har en tilpasning til glatte manifolder som kalles et håndtak dekomponering , som er nært knyttet til kirurgiteori .

Referanser

Merknader

Generelle referanser