Konfluent hypergeometrisk funksjon - Confluent hypergeometric function

I matematikk er en konfluent hypergeometrisk funksjon en løsning av en konfluent hypergeometrisk ligning , som er en degenerert form av en hypergeometrisk differensialligning der to av de tre vanlige singularitetene smelter sammen til en uregelmessig singularitet . Begrepet konfluent refererer til sammenslåing av entallspunkter i familier med differensialligninger; confluere er latin for "å flyte sammen". Det er flere vanlige standardformer for konfluente hypergeometriske funksjoner:

• Kummers (konfluente hypergeometriske) funksjon M ( a , b , z ) , introdusert av Kummer  ( 1837 ), er en løsning på Kummers differensialligning . Dette er også kjent som den konfluente hypergeometriske funksjonen av den første typen. Det er en annen og ikke -relatert Kummer -funksjon som bærer samme navn.
• Tricomis (konfluente hypergeometriske) funksjon U ( a , b , z ) introdusert av Francesco Tricomi  ( 1947 ), noen ganger betegnet med Ψ ( a ; b ; z ) , er en annen løsning på Kummers ligning. Dette er også kjent som den konfluente hypergeometriske funksjonen av den andre typen.
• Whittaker -funksjoner (for Edmund Taylor Whittaker ) er løsninger på Whittakers ligning .
• Coulomb -bølgefunksjoner er løsninger på Coulomb -bølgelegningen .

Kummer -funksjonene, Whittaker -funksjonene og Coulomb -bølgefunksjonene er i hovedsak de samme og skiller seg bare fra hverandre ved elementære funksjoner og endring av variabler.

Kummers ligning

Kumers ligning kan skrives som:

${\ displaystyle z {\ frac {d^{2} w} {dz^{2}}}+(bz) {\ frac {dw} {dz}}-aw = 0,}$

med et vanlig entallpunkt ved z = 0 og et uregelmessig entallpunkt på z = ∞ . Den har to (vanligvis) lineært uavhengige løsninger M ( a , b , z ) og U ( a , b , z ) .

Kummers funksjon av den første typen M er en generalisert hypergeometrisk serie introdusert i ( Kummer 1837 ), gitt av:

${\ displaystyle M (a, b, z) = \ sum _ {n = 0}^{\ infty} {\ frac {a^{(n)} z^{n}} {b^{(n)} n!}} = {} _ {1} F_ {1} (a; b; z),}$

hvor:

${\ displaystyle a^{(0)} = 1,}$

${\ displaystyle a^{(n)} = a (a+1) (a+2) \ cdots (a+n-1) \ ,,}$

er den stigende faktoren . En annen vanlig notasjon for denne løsningen er Φ ( a , b , z ) . Betraktet som en funksjon av a , b eller z med de to andre holdt konstant, definerer dette en hel funksjon av a eller z , bortsett fra når b = 0, −1, −2, ... Som funksjon av b er det analytisk bortsett fra poler ved de ikke-positive heltallene.

Noen verdier av a og b gir løsninger som kan uttrykkes med andre kjente funksjoner. Se #Spesielle saker . Når a er et ikke-positivt heltall, er Kummers funksjon (hvis den er definert) et generalisert Laguerre-polynom .

På samme måte som den konfluente differensiallikningen er en grense for den hypergeometriske differensialligningen når singularpunktet ved 1 beveges mot singularpunktet ved ∞, kan den konfluente hypergeometriske funksjonen gis som en grense for den hypergeometriske funksjonen

${\ displaystyle M (a, c, z) = \ lim _ {b \ to \ infty} {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z/b)}$

og mange av egenskapene til den konfluente hypergeometriske funksjonen er begrensende tilfeller av egenskaper til den hypergeometriske funksjonen.

Siden Kummers ligning er andre orden må det være en annen, uavhengig løsning. Den indikative ligningen for metoden til Frobenius forteller oss at den laveste effekten av en kraftserieløsning til Kummer -ligningen er enten 0 eller 1 - b . Hvis vi lar w ( z ) være

${\ displaystyle w (z) = z^{1-b} v (z)}$

så gir differensialligningen

${\ displaystyle z^{2-b} {\ frac {d^{2} v} {dz^{2}}}+2 (1-b) z^{1-b} {\ frac {dv} { dz}}-b (1-b) z^{-b} v+(bz) \ venstre [z^{1-b} {\ frac {dv} {dz}}+(1-b) z^{- b} v \ right] -az^{1-b} v = 0}$

som, ved å dele ut z ^{1− b} og forenkle, blir

${\ displaystyle z {\ frac {d^{2} v} {dz^{2}}}+(2-bz) {\ frac {dv} {dz}}-(a+1-b) v = 0 .}$

Dette betyr at z ^{1− b} M ( a + 1 - b , 2 - b , z ) er en løsning så lenge b ikke er et heltall større enn 1, akkurat som M ( a , b , z ) er en løsning så så lenge b ikke er et heltall mindre enn 1. Vi kan også bruke Tricomi konfluente hypergeometriske funksjon U ( a , b , z ) introdusert av Francesco Tricomi  ( 1947 ), og noen ganger betegnet med Ψ ( a ; b ; z ) . Det er en kombinasjon av de to løsningene ovenfor, definert av

${\ displaystyle U (a, b, z) = {\ frac {\ Gamma (1-b)} {\ Gamma (a+1-b)}} M (a, b, z)+{\ frac {\ Gamma (b-1)} {\ Gamma (a)}} z^{1-b} M (a+1-b, 2-b, z).}$

Selv om dette uttrykket er udefinert for heltall b , har det fordelen at det kan utvides til hvilket som helst heltall b ved kontinuitet. I motsetning til Kummers funksjon som er en hel funksjon av z , har U ( z ) vanligvis en singularitet på null. For eksempel, hvis b = 0 og a ≠ 0 så er Γ ( a +1) U ( a , b , z ) - 1 asymptotisk for az ln z da z går til null. Men se #Spesialtilfeller for noen eksempler der det er en hel funksjon (polynom).

Legg merke til at løsningen z ^{1− b} U ( a + 1 - b , 2 - b , z ) til Kummers ligning er den samme som løsningen U ( a , b , z ) , se #Kummers transformasjon .

For de fleste kombinasjoner av reell eller kompleks a og b er funksjonene M ( a , b , z ) og U ( a , b , z ) uavhengige, og hvis b er et ikke-positivt heltall, så M ( a , b , z ) eksisterer ikke, så kan vi kanskje bruke z ^{1− b} M ( a +1− b , 2− b , z ) som en annen løsning. Men hvis a er et ikke-positivt heltall og b ikke er et ikke-positivt heltall, så er U ( z ) et multiplum av M ( z ) . I så fall kan z ^{1− b} M ( a +1− b , 2− b , z ) brukes som en annen løsning hvis den eksisterer og er annerledes. Men når b er et heltall større enn 1, eksisterer ikke denne løsningen, og hvis b = 1 eksisterer den, men er et multiplum av U ( a , b , z ) og av M ( a , b , z ) I disse tilfeller finnes en andre løsning av følgende form og er gyldig for alle reelle eller komplekse a og et positivt heltall b bortsett fra når a er et positivt heltall mindre enn b :

${\ displaystyle M (a, b, z) \ ln z+z^{1-b} \ sum _ {k = 0}^{\ infty} C_ {k} z^{k}}$

Når a = 0 kan vi alternativt bruke:

${\ displaystyle \ int _ {-\ infty}^{z} (-u)^{-b} e^{u} \ mathrm {d} u.}$

Når b = 1 er dette den eksponensielle integralen E ₁ ( −z ) .

Et lignende problem oppstår når a - b er et negativt heltall og b er et heltall mindre enn 1. I dette tilfellet eksisterer ikke M ( a , b , z ) , og U ( a , b , z ) er et multiplum av z ^{1− b} M ( a +1− b , 2− b , z ). En annen løsning er da av formen:

${\ displaystyle z^{1-b} M (a+1-b, 2-b, z) \ ln z+\ sum _ {k = 0}^{\ infty} C_ {k} z^{k}}$

Andre ligninger

Konfluente hypergeometriske funksjoner kan brukes til å løse den utvidede konfluente hypergeometriske ligningen hvis generelle form er gitt som:

${\ displaystyle z {\ frac {d^{2} w} {dz^{2}}}+(bz) {\ frac {dw} {dz}}-\ venstre (\ sum _ {m = 0}^ {M} a_ {m} z^{m} \ høyre) w = 0}$

Vær oppmerksom på at for M = 0 eller når summeringen bare involverer ett begrep, reduseres det til den konvensjonelle konfluente hypergeometriske ligningen.

Således kan konfluente hypergeometriske funksjoner brukes til å løse "de fleste" andreordens ordinære differensialligninger hvis variable koeffisienter alle er lineære funksjoner til z , fordi de kan transformeres til den utvidede konfluente hypergeometriske ligningen. Vurder ligningen:

${\ displaystyle (A+Bz) {\ frac {d^{2} w} {dz^{2}}}+(C+Dz) {\ frac {dw} {dz}}+(E+Fz) w = 0}$

Først flytter vi det vanlige entallspunktet til 0 ved å bruke substitusjonen av A + Bz ↦ z , som konverterer ligningen til:

${\ displaystyle z {\ frac {d^{2} w} {dz^{2}}}+(C+Dz) {\ frac {dw} {dz}}+(E+Fz) w = 0}$

med nye verdier av C, D, E , og F . Deretter bruker vi substitusjonen:

${\ displaystyle z \ mapsto {\ frac {1} {\ sqrt {D^{2} -4F}}} z}$

og multipliser ligningen med den samme faktoren, og få:

${\ displaystyle z {\ frac {d^{2} w} {dz^{2}}}+\ venstre (C+{\ frac {D} {\ sqrt {D^{2} -4F}}} z \ høyre) {\ frac {dw} {dz}}+\ venstre ({\ frac {E} {\ sqrt {D^{2} -4F}}}+{\ frac {F} {D^{2}- 4F}} z \ høyre) w = 0}$

hvis løsning er

${\ displaystyle \ exp \ left (-\ left (1+{\ frac {D} {\ sqrt {D^{2} -4F}}} \ right) {\ frac {z} {2}} \ right) w (z),}$

hvor w ( z ) er en løsning på Kummers ligning med

${\ displaystyle a = \ left (1+{\ frac {D} {\ sqrt {D^{2} -4F}}} \ right) {\ frac {C} {2}}-{\ frac {E} {\ sqrt {D^{2} -4F}}}, \ qquad b = C.}$

Vær oppmerksom på at kvadratroten kan gi et imaginært eller komplekst tall. Hvis det er null, må en annen løsning brukes, nemlig

${\ displaystyle \ exp \ left (-{\ tfrac {1} {2}} Dz \ right) w (z),}$

hvor w ( z ) er en konfluent hypergeometrisk grensefunksjon som tilfredsstiller

${\ displaystyle zw '' (z)+Cw '(z)+\ venstre (E-{\ tfrac {1} {2}} CD \ høyre) w (z) = 0.}$

Som nevnt nedenfor kan til og med Bessel -ligningen løses ved hjelp av konfluente hypergeometriske funksjoner.

Integrerte representasjoner

Hvis Re b > Re a > 0 , kan M ( a , b , z ) representeres som en integral

${\ displaystyle M (a, b, z) = {\ frac {\ Gamma (b)} {\ Gamma (a) \ Gamma (ba)}} \ int _ {0}^{1} e^{zu} u^{a-1} (1-u)^{ba-1} \, du.}$

dermed er M ( a , a + b , it ) den karakteristiske funksjonen til beta -fordelingen . For en med positiv ekte del kan U oppnås ved Laplace -integralen

${\ displaystyle U (a, b, z) = {\ frac {1} {\ Gamma (a)}} \ int _ {0}^{\ infty} e^{-zt} t^{a-1} (1+t)^{ba-1} \, dt, \ quad (\ operatorname {Re} \ a> 0)}$

Integralen definerer en løsning i høyre halvplan 0 <Re z < π /2 .

De kan også bli representert som Barnes -integraler

${\ displaystyle M (a, b, z) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} {\ frac {\ Gamma (b)} {\ Gamma (a)}} \ int _ {-i \ infty}^{i \ infty} {\ frac {\ Gamma (-s) \ Gamma (a+s)} {\ Gamma (b+s)}} (-z)^{s} ds}$

der konturen går til den ene siden av polene til Γ ( - s ) og til den andre siden av polene til Γ ( a + s ) .

Asymptotisk oppførsel

Hvis en løsning på Kummers ligning er asymptotisk for en effekt på z som z → ∞ , må kraften være - a . Dette er faktisk tilfellet for Tricomis løsning U ( a , b , z ) . Dens asymptotiske oppførsel som z → ∞ kan utledes av de integrerte representasjonene. Hvis z = x ∈ R , vil det å gjøre en endring av variabler i integralet etterfulgt av å utvide binomialserien og integrere den formelt term for term føre til en asymptotisk serieutvidelse, gyldig som x → ∞ :

${\ displaystyle U (a, b, x) \ sim x^{-a} \, _ {2} F_ {0} \ venstre (a, a-b+1; \,;-{\ frac {1} {x}} \ høyre),}$

hvor er en generalisert hypergeometrisk serie med 1 som ledende begrep, som generelt konvergerer ingen steder, men eksisterer som en formell kraftserie i 1/ x . Denne asymptotiske utvidelsen er også gyldig for komplekse z i stedet for ekte x , med | arg z | <3 π /2.${\ displaystyle _ {2} F_ {0} (\ cdot, \ cdot ;;-1/x)}$

Den asymptotiske oppførselen til Kummers løsning for store | z | er:

${\ displaystyle M (a, b, z) \ sim \ Gamma (b) \ left ({\ frac {e^{z} z^{ab}} {\ Gamma (a)}}+{\ frac {( -z)^{-a}} {\ Gamma (ba)}} \ høyre)}$

Kreftene til z tas ved bruk av -3 π /2 <arg z ≤ π /2 . Det første uttrykket er ikke nødvendig når Γ ( b - a ) er endelig, det vil si når b - a ikke er et ikke-positivt heltall og den virkelige delen av z går til negativ uendelig, mens det andre uttrykket ikke er nødvendig når Γ ( a ) er begrenset, det vil si når a er et ikke-ikke-positivt heltall og den virkelige delen av z går til positiv uendelig.

Det er alltid en løsning på Kummers ligning asymptotisk til e ^z z ^{a - b} som z → −∞ . Vanligvis vil dette være en kombinasjon av både M ( a , b , z ) og U ( a , b , z ), men kan også uttrykkes som e ^z (−1) ^{a - b} U ( b - a , b , - z ) .

Forhold

Det er mange relasjoner mellom Kummer -funksjoner for forskjellige argumenter og deres derivater. Denne delen gir noen typiske eksempler.

Sammenhengende forhold

Gitt M ( a , b , z ) kalles de fire funksjonene M ( a ± 1, b , z ), M ( a , b ± 1, z ) sammenhengende med M ( a , b , z ) . Funksjonen M ( a , b , z ) kan skrives som en lineær kombinasjon av to av de sammenhengende funksjonene, med rasjonelle koeffisienter når det gjelder a, b og z . Dette gir (⁴
₂) = 6 relasjoner, gitt ved å identifisere to linjer på høyre side av

${\ displaystyle {\ begynne {justert} z {\ frac {dM} {dz}} = z {\ frac {a} {b}} M (a+, b+) & = a (M (a+)-M) \ \ & = (b-1) (M (b-)-M) \\ & = (ba) M (a-)+(a-b+z) M \\ & = z (ab) M (b+) /b+zM \\\ end {align}}}$

I notasjonen ovenfor er M = M ( a , b , z ) , M ( a +) = M ( a + 1, b , z ) , og så videre.

Gjentatte ganger bruker disse relasjonene et lineært forhold mellom tre funksjoner i formen M ( a + m , b + n , z ) (og deres høyere derivater), der m , n er heltall.

Det finnes lignende forhold for U .

Kummers transformasjon

Kummers funksjoner er også relatert til Kummers transformasjoner:

${\ displaystyle M (a, b, z) = e^{z} \, M (ba, b, -z)}$

${\ displaystyle U (a, b, z) = z^{1-b} U \ venstre (1+ab, 2-b, z \ høyre)}$.

Multiplikasjonsteorem

Følgende multiplikasjonsteorier er sanne:

${\ displaystyle {\ begin {align} U (a, b, z) & = e^{(1-t) z} \ sum _ {i = 0} {\ frac {(t-1)^{i} z^{i}} {i!}} U (a, b+i, zt) \\ & = e^{(1-t) z} t^{b-1} \ sum _ {i = 0} {\ frac {\ left (1-{\ frac {1} {t}} \ right)^{i}} {i!}} U (ai, bi, zt). \ end {align}}}$

Forbindelse med Laguerre -polynomer og lignende representasjoner

Når det gjelder Laguerre -polynomer , har Kummers funksjoner for eksempel flere utvidelser

${\ displaystyle M \ left (a, b, {\ frac {xy} {x-1}} \ right) = (1-x)^{a} \ cdot \ sum _ {n} {\ frac {a^ {(n)}} {b^{(n)}}} L_ {n}^{(b-1)} (y) x^{n}}$( Erdélyi et al. 1953 , 6.12)

Spesielle tilfeller

Funksjoner som kan uttrykkes som spesielle tilfeller av den konfluente hypergeometriske funksjonen inkluderer:

• Noen elementære funksjoner der venstre side ikke er definert når b er et ikke-positivt heltall, men høyre side er fortsatt en løsning av den tilsvarende Kummer-ligningen:

${\ displaystyle M (0, b, z) = 1}$

${\ displaystyle U (0, c, z) = 1}$

${\ displaystyle M (b, b, z) = e^{z}}$

${\ displaystyle U (a, a, z) = e^{z} \ int _ {z}^{\ infty} u^{-a} e^{-u} du}$(et polynom hvis a er et ikke-positivt heltall)

${\ displaystyle {\ frac {U (1, b, z)} {\ Gamma (b-1)}}+{\ frac {M (1, b, z)} {\ Gamma (b)}} = z ^{1-b} e^{z}}$

${\ displaystyle M (n, b, z)}$for ikke-positivt heltall n er et generalisert Laguerre-polynom .

${\ displaystyle U (n, c, z)}$for ikke-positivt heltall n er et multiplum av et generalisert Laguerre-polynom, lik når det siste eksisterer.${\ displaystyle {\ tfrac {\ Gamma (1-c)} {\ Gamma (n+1-c)}} M (n, c, z)}$

${\ displaystyle U (cn, c, z)}$når n er et positivt heltall er en lukket form med krefter på z , lik når den siste eksisterer.${\ displaystyle {\ tfrac {\ Gamma (c-1)} {\ Gamma (cn)}} z^{1-c} M (1-n, 2-c, z)}$

${\ displaystyle U (a, a+1, z) = z^{-a}}$

${\ displaystyle U (-n, -2n, z)}$for ikke-negativt heltall n er et Bessel-polynom (se nedre ned).

${\ displaystyle M (1,2, z) = (e^{z} -1)/z, \ \ M (1,3, z) = 2! (e^{z} -1-z)/z ^{2}}$ etc.

Ved å bruke den sammenhengende relasjonen får vi for eksempel${\ displaystyle aM (a+) = (a+z) M+z (ab) M (b+)/b}$${\ displaystyle M (2,1, z) = (1+z) e^{z}.}$

• Batemans funksjon
• Bessel -funksjoner og mange relaterte funksjoner som Airy -funksjoner , Kelvin -funksjoner , Hankel -funksjoner . For eksempel, i spesialtilfellet b = 2 a reduseres funksjonen til en Bessel -funksjon :

${\ displaystyle {} _ {1} F_ {1} (a, 2a, x) = e^{x/2} \, {} _ {0} F_ {1} \ left (; a+{\ tfrac {1 } {2}}; {\ tfrac {x^{2}} {16}} \ høyre) = e^{x/2} \ venstre ({\ tfrac {x} {4}} \ høyre)^{1 /2-a} \ Gamma \ venstre (a+{\ tfrac {1} {2}} \ høyre) I_ {a-1/2} \ venstre ({\ tfrac {x} {2}} \ høyre).}$

Denne identiteten blir noen ganger også referert til som Kummers andre transformasjon. på samme måte

${\ displaystyle U (a, 2a, x) = {\ frac {e^{x/2}} {\ sqrt {\ pi}}} x^{1/2-a} K_ {a-1/2} (x/2),}$

Når a er et ikke-positivt heltall, er dette lik 2 ^{- a} θ _{- a} ( x /2) hvor θ er et Bessel-polynom .

• Den feilfunksjonen kan uttrykkes som

${\ displaystyle \ mathrm {erf} (x) = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ int _ {0}^{x} e^{-t^{2}} dt = { \ frac {2x} {\ sqrt {\ pi}}} \ {} _ {1} F_ {1} \ venstre ({\ tfrac {1} {2}}, {\ tfrac {3} {2}}, -x^{2} \ høyre).}$

• Coulomb -bølgefunksjon
• Cunningham fungerer
• Eksponensiell integral og relaterte funksjoner som sinusintegral , logaritmisk integral
• Hermittpolynomer
• Ufullstendig gamma -funksjon
• Laguerre -polynomer
• Parabolisk sylinderfunksjon (eller Weber -funksjon)
• Poisson - Charlier -funksjon
• Toronto fungerer
• Whittaker -funksjonene M _{κ, μ} ( z ), W _{κ, μ} ( z ) er løsninger av Whittakers ligning som kan uttrykkes i form av Kummer -funksjoner M og U ved

${\ displaystyle M _ {\ kappa, \ mu} (z) = e^{-{\ tfrac {z} {2}}} z^{\ mu +{\ tfrac {1} {2}}} M \ venstre (\ mu -\ kappa +{\ tfrac {1} {2}}, 1 +2 \ mu; z \ høyre)}$

${\ displaystyle W _ {\ kappa, \ mu} (z) = e^{-{\ tfrac {z} {2}}} z^{\ mu +{\ tfrac {1} {2}}} U \ venstre (\ mu -\ kappa +{\ tfrac {1} {2}}, 1 +2 \ mu; z \ høyre)}$

• Det generelle p -t råmomentet ( p ikke nødvendigvis et heltall) kan uttrykkes som

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {E} \ left [\ left | N \ left (\ mu, \ sigma ^{2} \ right) \ right | ^{p} \ right] & = {\ frac {\ left (2 \ sigma ^{2} \ right) ^{p/2} \ Gamma \ left ({\ tfrac {1+p} {2}} \ right)} {\ sqrt {\ pi}} } \ {} _ {1} F_ {1} \ venstre (-{\ tfrac {p} {2}}, {\ tfrac {1} {2}},-{\ tfrac {\ mu ^{2}} {2 \ sigma ^{2}}} \ right) \\\ operatorname {E} \ left [N \ left (\ mu, \ sigma ^{2} \ right) ^{p} \ right] & = \ left (-2 \ sigma ^{2} \ høyre) ^{p/2} U \ venstre (-{\ tfrac {p} {2}}, {\ tfrac {1} {2}},-{\ tfrac { \ mu ^{2}} {2 \ sigma ^{2}}} \ høyre) \ ende {justert}}}$

I den andre formelen kan funksjonens andre grenskutt velges ved å multiplisere med (-1) ^p .

Søknad til fortsatte fraksjoner

Ved å bruke et begrensende argument på Gauss fortsatte brøkdel kan det vises at

${\ displaystyle {\ frac {M (a+1, b+1, z)} {M (a, b, z)}} = {\ cfrac {1} {1-{\ cfrac {\ displaystyle {\ frac {ba} {b (b+1)}} z} {1+{\ cfrac {\ displaystyle {\ frac {a+1} {(b+1) (b+2)}} z} {1- { \ cfrac {\ displaystyle {\ frac {b-a+1} {(b+2) (b+3)}} z} {1+{\ cfrac {\ displaystyle {\ frac {a+2} {(b +3) (b+4)}} z} {1- \ ddots}}}}}}}}}}}}$

og at denne fortsatte fraksjonen konvergerer jevnt til en meromorf funksjon av z i hvert avgrenset domene som ikke inkluderer en pol.

Merknader

Referanser

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , red. (1983) [juni 1964]. "Kapittel 13" . Håndbok for matematiske funksjoner med formler, grafer og matematiske tabeller . Applied Mathematics Series. 55 (niende opptrykk med tilleggskorrigeringer av tiende originalutskrift med korreksjoner (desember 1972); første utg.). Washington DC; New York: USAs handelsdepartement, National Bureau of Standards; Dover Publications. s. 504. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036 . MR  0167642 . LCCN  65-12253 .
• Chistova, EA (2001) [1994], "Confluent hypergeometric function" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Daalhuis, Adri B. Olde (2010), "Confluent hypergeometric function" , i Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (red.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248
• Erdélyi, Arthur ; Magnus, Wilhelm ; Oberhettinger, Fritz & Tricomi, Francesco G. (1953). Høyere transcendentale funksjoner. Vol. Jeg . New York - Toronto - London: McGraw - Hill Book Company, Inc. MR  0058756 .
• Kummer, Ernst Eduard (1837). "De integralibus quibusdam definis et seriebus infinitis" . Journal für die reine und angewandte Mathematik (på latin). 1837 (17): 228–242. doi : 10.1515/crll.1837.17.228 . ISSN  0075-4102 . S2CID  121351583 .
• Slater, Lucy Joan (1960). Konfluente hypergeometriske funksjoner . Cambridge, Storbritannia: Cambridge University Press. MR  0107026 .
• Tricomi, Francesco G. (1947). "Sulle funzioni ipergeometriche confluenti". Annali di Matematica Pura ed Applicata . Serie 4 (på italiensk). 26 : 141–175. doi : 10.1007/bf02415375 . ISSN  0003-4622 . MR  0029451 . S2CID  119860549 .
• Tricomi, Francesco G. (1954). Funzioni ipergeometriche confluenti . Consiglio Nazionale Delle Ricerche Monografie Matematiche (på italiensk). 1 . Roma: Edizioni cremonese. ISBN 978-88-7083-449-9. MR  0076936 .
• Oldham, KB; Myland, J .; Spanier, J. (2010). Et funksjonsatlas: med ekvator, Atlas -funksjonskalkulatoren . Et funksjonsatlas. Springer New York. ISBN 978-0-387-48807-3. Hentet 2017-08-23 .

Eksterne linker

• Konfluente hypergeometriske funksjoner i NIST Digital Library of Mathematical Functions
• Kummer hypergeometrisk funksjon på nettstedet Wolfram Functions
• Tricomi hypergeometrisk funksjon på nettstedet Wolfram Functions