Función hipergeométrica confluente - Confluent hypergeometric function

En matemáticas , una función hipergeométrica confluente es una solución de una ecuación hipergeométrica confluente , que es una forma degenerada de una ecuación diferencial hipergeométrica donde dos de las tres singularidades regulares se fusionan en una singularidad irregular . El término confluente se refiere a la fusión de puntos singulares de familias de ecuaciones diferenciales; confluere es latín para "fluir juntos". Hay varias formas estándar comunes de funciones hipergeométricas confluentes:

• La función de Kummer (hipergeométrica confluente) M ( a , b , z ) , introducida por Kummer  ( 1837 ), es una solución a la ecuación diferencial de Kummer . Esto también se conoce como función hipergeométrica confluente del primer tipo. Hay una función de Kummer diferente y no relacionada que lleva el mismo nombre.
• La función de Tricomi (hipergeométrica confluente) U ( a , b , z ) introducida por Francesco Tricomi  ( 1947 ), a veces denotada por Ψ ( a ; b ; z ) , es otra solución a la ecuación de Kummer. Esto también se conoce como función hipergeométrica confluente del segundo tipo.
• Las funciones de Whittaker (para Edmund Taylor Whittaker ) son soluciones a la ecuación de Whittaker .
• Las funciones de onda de Coulomb son soluciones a la ecuación de onda de Coulomb .

Las funciones de Kummer, las funciones de Whittaker y las funciones de onda de Coulomb son esencialmente las mismas y se diferencian entre sí solo por las funciones elementales y el cambio de variables.

Ecuación de Kummer

La ecuación de Kummer se puede escribir como:

${\ Displaystyle z {\ frac {d ^ {2} w} {dz ^ {2}}} + (bz) {\ frac {dw} {dz}} - aw = 0,}$

con un punto singular regular en z = 0 y un punto singular irregular en z = ∞ . Tiene dos (generalmente) soluciones linealmente independientes M ( a , b , z ) y U ( a , b , z ) .

La función de Kummer del primer tipo M es una serie hipergeométrica generalizada introducida en ( Kummer 1837 ), dada por:

${\ Displaystyle M (a, b, z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {a ^ {(n)} z ^ {n}} {b ^ {(n)} n!}} = {} _ {1} F_ {1} (a; b; z),}$

dónde:

${\ Displaystyle a ^ {(0)} = 1,}$

${\ Displaystyle a ^ {(n)} = a (a + 1) (a + 2) \ cdots (a + n-1) \ ,,}$

es el factorial ascendente . Otra notación común para esta solución es Φ ( a , b , z ) . Considerado como una función de un , b , o z con la otra constante de dos retenida, esto define una función entera de una o z , excepto cuando b = 0, -1, -2, ... En función de b es analítico excepto para los polos en los números enteros no positivos.

Algunos valores de una y b soluciones de rendimiento que se pueden expresar en términos de otras funciones conocidas. Ver # Casos especiales . Cuando a es un número entero no positivo, entonces la función de Kummer (si está definida) es un polinomio de Laguerre generalizado .

Así como la ecuación diferencial confluente es un límite de la ecuación diferencial hipergeométrica cuando el punto singular en 1 se mueve hacia el punto singular en ∞, la función hipergeométrica confluente se puede dar como un límite de la función hipergeométrica

${\ Displaystyle M (a, c, z) = \ lim _ {b \ to \ infty} {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z / b)}$

y muchas de las propiedades de la función hipergeométrica confluente son casos limitantes de propiedades de la función hipergeométrica.

Dado que la ecuación de Kummer es de segundo orden, debe haber otra solución independiente. La ecuación indicial del método de Frobenius nos dice que la potencia más baja de una solución en serie de potencia a la ecuación de Kummer es 0 o 1 - b . Si dejamos que w ( z ) sea

${\ Displaystyle w (z) = z ^ {1-b} v (z)}$

entonces la ecuación diferencial da

${\ Displaystyle z ^ {2-b} {\ frac {d ^ {2} v} {dz ^ {2}}} + 2 (1-b) z ^ {1-b} {\ frac {dv} { dz}} - b (1-b) z ^ {- b} v + (bz) \ left [z ^ {1-b} {\ frac {dv} {dz}} + (1-b) z ^ {- b} v \ right] -az ^ {1-b} v = 0}$

que, al dividir z ^{1− b} y simplificar, se convierte en

${\ Displaystyle z {\ frac {d ^ {2} v} {dz ^ {2}}} + (2-bz) {\ frac {dv} {dz}} - (a + 1-b) v = 0 .}$

Esto significa que z ^{1− b} M ( a + 1 - b , 2 - b , z ) es una solución siempre que b no sea un número entero mayor que 1, al igual que M ( a , b , z ) es una solución entonces siempre que b no sea un número entero menor que 1. También podemos usar la función hipergeométrica confluente de Tricomi U ( a , b , z ) introducida por Francesco Tricomi  ( 1947 ), y a veces denotada por Ψ ( a ; b ; z ) . Es una combinación de las dos soluciones anteriores, definida por

${\ Displaystyle U (a, b, z) = {\ frac {\ Gamma (1-b)} {\ Gamma (a + 1-b)}} M (a, b, z) + {\ frac {\ Gamma (b-1)} {\ Gamma (a)}} z ^ {1-b} M (a + 1-b, 2-b, z).}$

Aunque esta expresión no está definida para el entero b , tiene la ventaja de que puede extenderse a cualquier entero b por continuidad. A diferencia de la función de Kummer, que es una función completa de z , U ( z ) generalmente tiene una singularidad en cero. Por ejemplo, si b = 0 y a ≠ 0 entonces Γ ( a +1) U ( a , b , z ) - 1 es asintótico a az ln z cuando z va a cero. Pero consulte # Casos especiales para ver algunos ejemplos en los que es una función completa (polinomio).

Tenga en cuenta que la solución z ^{1− b} U ( a + 1 - b , 2 - b , z ) de la ecuación de Kummer es la misma que la solución U ( a , b , z ) , consulte la # transformación de Kummer .

Para la mayoría de combinaciones de real o complejo una y b , las funciones M ( a , b , z ) y U ( un , b , z ) son independientes, y si b es un número entero no positivo, de modo M ( un , b , z ) no existe, entonces podemos usar z ^{1− b} M ( a + 1− b , 2− b , z ) como una segunda solución. Pero si a es un número entero no positivo y b no es un número entero no positivo, entonces U ( z ) es un múltiplo de M ( z ) . En ese caso también, z ^{1− b} M ( a + 1− b , 2− b , z ) se puede usar como una segunda solución si existe y es diferente. Pero cuando b es un número entero mayor que 1, esta solución no existe, y si b = 1 entonces existe pero es un múltiplo de U ( a , b , z ) y de M ( a , b , z ) En esos En los casos en que existe una segunda solución de la siguiente forma y es válida para cualquier real o complejo a y cualquier entero positivo b, excepto cuando a es un entero positivo menor que b :

${\ Displaystyle M (a, b, z) \ ln z + z ^ {1-b} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} C_ {k} z ^ {k}}$

Cuando a = 0 podemos usar alternativamente:

${\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {z} (- u) ^ {- b} e ^ {u} \ mathrm {d} u.}$

Cuando b = 1, esta es la integral exponencial E ₁ ( −z ) .

Un problema similar ocurre cuando a - b es un número entero negativo y b es un número entero menor que 1. En este caso M ( a , b , z ) no existe, y U ( a , b , z ) es un múltiplo de z ^{1− b} M ( a + 1− b , 2− b , z ). Entonces, una segunda solución tiene la forma:

${\ Displaystyle z ^ {1-b} M (a + 1-b, 2-b, z) \ ln z + \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} C_ {k} z ^ {k}}$

Otras ecuaciones

Las funciones hipergeométricas confluentes se pueden utilizar para resolver la ecuación hipergeométrica confluente extendida cuya forma general se da como:

${\ Displaystyle z {\ frac {d ^ {2} w} {dz ^ {2}}} + (bz) {\ frac {dw} {dz}} - \ left (\ sum _ {m = 0} ^ {M} a_ {m} z ^ {m} \ right) w = 0}$

Tenga en cuenta que para M = 0 o cuando la suma implica solo un término, se reduce a la ecuación hipergeométrica confluente convencional.

Por lo tanto, las funciones hipergeométricas confluentes se pueden utilizar para resolver "la mayoría" de las ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden cuyos coeficientes variables son todas funciones lineales de z , porque pueden transformarse a la ecuación hipergeométrica confluente extendida. Considere la ecuación:

${\ Displaystyle (A + Bz) {\ frac {d ^ {2} w} {dz ^ {2}}} + (C + Dz) {\ frac {dw} {dz}} + (E + Fz) w = 0}$

Primero, movemos el punto singular regular a 0 usando la sustitución de A + Bz ↦ z , que convierte la ecuación a:

${\ Displaystyle z {\ frac {d ^ {2} w} {dz ^ {2}}} + (C + Dz) {\ frac {dw} {dz}} + (E + Fz) w = 0}$

con nuevos valores de C, D, E , y F . A continuación usamos la sustitución:

${\ Displaystyle z \ mapsto {\ frac {1} {\ sqrt {D ^ {2} -4F}}} z}$

y multiplicar la ecuación por el mismo factor, obteniendo:

${\ Displaystyle z {\ frac {d ^ {2} w} {dz ^ {2}}} + \ left (C + {\ frac {D} {\ sqrt {D ^ {2} -4F}}} z \ derecha) {\ frac {dw} {dz}} + \ left ({\ frac {E} {\ sqrt {D ^ {2} -4F}}} + {\ frac {F} {D ^ {2} - 4F}} z \ derecha) w = 0}$

cuya solución es

${\ Displaystyle \ exp \ left (- \ left (1 + {\ frac {D} {\ sqrt {D ^ {2} -4F}}} \ right) {\ frac {z} {2}} \ right) w (z),}$

donde w ( z ) es una solución a la ecuación de Kummer con

${\ Displaystyle a = \ left (1 + {\ frac {D} {\ sqrt {D ^ {2} -4F}}} \ right) {\ frac {C} {2}} - {\ frac {E} {\ sqrt {D ^ {2} -4F}}}, \ qquad b = C.}$

Tenga en cuenta que la raíz cuadrada puede dar un número imaginario o complejo. Si es cero, se debe usar otra solución, a saber

${\ Displaystyle \ exp \ left (- {\ tfrac {1} {2}} Dz \ right) w (z),}$

donde w ( z ) es una función límite hipergeométrica confluente que satisface

${\ Displaystyle zw '' (z) + Cw '(z) + \ left (E - {\ tfrac {1} {2}} CD \ right) w (z) = 0.}$

Como se indica a continuación, incluso la ecuación de Bessel se puede resolver utilizando funciones hipergeométricas confluentes.

Representaciones integrales

Si Re b > Re a > 0 , M ( a , b , z ) se puede representar como una integral

${\ Displaystyle M (a, b, z) = {\ frac {\ Gamma (b)} {\ Gamma (a) \ Gamma (ba)}} \ int _ {0} ^ {1} e ^ {zu} u ^ {a-1} (1-u) ^ {ba-1} \, du.}$

por tanto, M ( a , a + b , it ) es la función característica de la distribución beta . Para a con parte real positiva, U se puede obtener mediante la integral de Laplace

${\ Displaystyle U (a, b, z) = {\ frac {1} {\ Gamma (a)}} \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- zt} t ^ {a-1} (1 + t) ^ {ba-1} \, dt, \ quad (\ operatorname {Re} \ a> 0)}$

La integral define una solución en el semiplano derecho 0 <Re z < π / 2 .

También se pueden representar como integrales de Barnes.

${\ Displaystyle M (a, b, z) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} {\ frac {\ Gamma (b)} {\ Gamma (a)}} \ int _ {- i \ infty} ^ {i \ infty} {\ frac {\ Gamma (-s) \ Gamma (a + s)} {\ Gamma (b + s)}} (- z) ^ {s} ds}$

donde el contorno pasa a un lado de los polos de Γ (- s ) y al otro lado de los polos de Γ ( a + s ) .

Comportamiento asintótico

Si una solución de la ecuación de Kummer es asintótica a una potencia de z cuando z → ∞ , entonces la potencia debe ser - a . Este es de hecho el caso de la solución de Tricomi U ( a , b , z ) . Su comportamiento asintótico como z → ∞ se puede deducir de las representaciones integrales. Si z = x ∈ R , entonces hacer un cambio de variables en la integral seguido de expandir la serie binomial e integrarla formalmente término por término da lugar a una expansión de serie asintótica , válida como x → ∞ :

${\ Displaystyle U (a, b, x) \ sim x ^ {- a} \, _ {2} F_ {0} \ left (a, a-b + 1; \,; - {\ frac {1} {x}} \ derecha),}$

donde es una serie hipergeométrica generalizada con 1 como término principal, que generalmente no converge en ninguna parte, pero existe como una serie de potencias formales en 1 / x . Esta expansión asintótica también es válida para z complejo en lugar de x real , con | arg z | <3 π / 2.${\ Displaystyle _ {2} F_ {0} (\ cdot, \ cdot ;; - 1 / x)}$

El comportamiento asintótico de la solución de Kummer para grandes | z | es:

${\ Displaystyle M (a, b, z) \ sim \ Gamma (b) \ left ({\ frac {e ^ {z} z ^ {ab}} {\ Gamma (a)}} + {\ frac {( -z) ^ {- a}} {\ Gamma (ba)}} \ right)}$

Las potencias de z se toman usando −3 π / 2 <arg z ≤ π / 2 . El primer término no es necesario cuando Γ ( b - a ) es finito, es decir, cuando b - a no es un número entero no positivo y la parte real de z va a infinito negativo, mientras que el segundo término no es necesario cuando Γ ( a ) es finito, es decir, cuando a no es un entero no positivo y la parte real de z va a infinito positivo.

Siempre hay alguna solución para la ecuación de Kummer asintótica en e ^z z ^{a - b} cuando z → −∞ . Por lo general, será una combinación de M ( a , b , z ) y U ( a , b , z ), pero también se puede expresar como e ^z (−1) ^{a - b} U ( b - a , b , - z ) .

Relaciones

Hay muchas relaciones entre las funciones de Kummer para varios argumentos y sus derivadas. Esta sección ofrece algunos ejemplos típicos.

Relaciones contiguas

Dado M ( a , b , z ) , las cuatro funciones M ( a ± 1, b , z ), M ( a , b ± 1, z ) se llaman contiguas a M ( a , b , z ) . La función M ( a , b , z ) puede ser escrita como una combinación lineal de dos cualquiera de sus funciones contiguas, con coeficientes racionales en términos de a, b , y z . Esto da (⁴
₂) = 6 relaciones, dadas al identificar dos líneas cualesquiera en el lado derecho de

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} z {\ frac {dM} {dz}} = z {\ frac {a} {b}} M (a +, b +) & = a (M (a +) - M) \ \ & = (segundo-1) (M (segundo -) - M) \\ & = (ba) M (a -) + (a-segundo + z) M \\ & = z (ab) M (segundo +) / b + zM \\\ end {alineado}}}$

En la notación anterior, M = M ( a , b , z ) , M ( a +) = M ( a + 1, b , z ) , y así sucesivamente.

La aplicación repetida de estas relaciones da una relación lineal entre tres funciones cualesquiera de la forma M ( a + m , b + n , z ) (y sus derivadas superiores), donde m , n son números enteros.

Existen relaciones similares para T .

La transformación de Kummer

Las funciones de Kummer también están relacionadas por las transformaciones de Kummer:

${\ Displaystyle M (a, b, z) = e ^ {z} \, M (ba, b, -z)}$

${\ Displaystyle U (a, b, z) = z ^ {1-b} U \ left (1 + ab, 2-b, z \ right)}$.

Teorema de multiplicación

Los siguientes teoremas de la multiplicación son ciertos:

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} U (a, b, z) & = e ^ {(1-t) z} \ sum _ {i = 0} {\ frac {(t-1) ^ {i} z ^ {i}} {i!}} U (a, b + i, zt) \\ & = e ^ {(1-t) z} t ^ {b-1} \ sum _ {i = 0} {\ frac {\ left (1 - {\ frac {1} {t}} \ right) ^ {i}} {i!}} U (ai, bi, zt). \ end {alineado}}}$

Conexión con polinomios de Laguerre y representaciones similares

En términos de polinomios de Laguerre , las funciones de Kummer tienen varias expansiones, por ejemplo

${\ Displaystyle M \ left (a, b, {\ frac {xy} {x-1}} \ right) = (1-x) ^ {a} \ cdot \ sum _ {n} {\ frac {a ^ {(n)}} {b ^ {(n)}}} L_ {n} ^ {(b-1)} (y) x ^ {n}}$( Erdélyi et al. 1953 , 6.12).

Casos especiales

Las funciones que se pueden expresar como casos especiales de la función hipergeométrica confluente incluyen:

• Algunas funciones elementales donde el lado izquierdo no está definido cuando b es un número entero no positivo, pero el lado derecho sigue siendo una solución de la ecuación de Kummer correspondiente:

${\ Displaystyle M (0, b, z) = 1}$

${\ Displaystyle U (0, c, z) = 1}$

${\ Displaystyle M (b, b, z) = e ^ {z}}$

${\ Displaystyle U (a, a, z) = e ^ {z} \ int _ {z} ^ {\ infty} u ^ {- a} e ^ {- u} du}$(un polinomio si a es un número entero no positivo)

${\ Displaystyle {\ frac {U (1, b, z)} {\ Gamma (b-1)}} + {\ frac {M (1, b, z)} {\ Gamma (b)}} = z ^ {1-b} e ^ {z}}$

${\ Displaystyle M (n, b, z)}$para el entero no positivo n es un polinomio de Laguerre generalizado .

${\ Displaystyle U (n, c, z)}$para el entero no positivo n es un múltiplo de un polinomio de Laguerre generalizado, igual a cuando este último existe.${\ Displaystyle {\ tfrac {\ Gamma (1-c)} {\ Gamma (n + 1-c)}} M (n, c, z)}$

${\ Displaystyle U (cn, c, z)}$cuando n es un entero positivo es una forma cerrada con potencias de z , igual a cuando existe esta última.${\ Displaystyle {\ tfrac {\ Gamma (c-1)} {\ Gamma (cn)}} z ^ {1-c} M (1-n, 2-c, z)}$

${\ Displaystyle U (a, a + 1, z) = z ^ {- a}}$

${\ Displaystyle U (-n, -2n, z)}$para el entero no negativo n es un polinomio de Bessel (ver más abajo).

${\ Displaystyle M (1,2, z) = (e ^ {z} -1) / z, \ \ M (1,3, z) = 2! (e ^ {z} -1-z) / z ^ {2}}$ etc.

Usando la relación contigua obtenemos, por ejemplo,${\ Displaystyle aM (a +) = (a + z) M + z (ab) M (b +) / b}$${\ Displaystyle M (2,1, z) = (1 + z) e ^ {z}.}$

• Función de Bateman
• Funciones de Bessel y muchas funciones relacionadas, como funciones de Airy , funciones de Kelvin , funciones de Hankel . Por ejemplo, en el caso especial b = 2 a, la función se reduce a una función de Bessel :

${\ displaystyle {} _ {1} F_ {1} (a, 2a, x) = e ^ {x / 2} \, {} _ {0} F_ {1} \ left (; a + {\ tfrac {1 } {2}}; {\ tfrac {x ^ {2}} {16}} \ right) = e ^ {x / 2} \ left ({\ tfrac {x} {4}} \ right) ^ {1 / 2-a} \ Gamma \ left (a + {\ tfrac {1} {2}} \ right) I_ {a-1/2} \ left ({\ tfrac {x} {2}} \ right).}$

Esta identidad a veces también se conoce como la segunda transformación de Kummer . similar

${\ Displaystyle U (a, 2a, x) = {\ frac {e ^ {x / 2}} {\ sqrt {\ pi}}} x ^ {1/2-a} K_ {a-1/2} (x / 2),}$

Cuando a es un número entero no positivo, esto es igual a 2 ^{- a} θ _{- a} ( x / 2) donde θ es un polinomio de Bessel .

• La función de error se puede expresar como

${\ Displaystyle \ mathrm {erf} (x) = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ int _ {0} ^ {x} e ^ {- t ^ {2}} dt = { \ frac {2x} {\ sqrt {\ pi}}} \ {} _ {1} F_ {1} \ left ({\ tfrac {1} {2}}, {\ tfrac {3} {2}}, -x ^ {2} \ derecha).}$

• Función de onda de Coulomb
• Funciones de Cunningham
• Integral exponencial y funciones relacionadas como la integral de seno , integral logarítmica
• Polinomios de Hermite
• Función gamma incompleta
• Polinomios de Laguerre
• Función de cilindro parabólico (o función de Weber)
• Función de Poisson-Charlier
• Funciones de Toronto
• Las funciones de Whittaker M _{κ, μ} ( z ), W _{κ, μ} ( z ) son soluciones de la ecuación de Whittaker que se pueden expresar en términos de funciones de Kummer M y U por

${\ Displaystyle M _ {\ kappa, \ mu} (z) = e ^ {- {\ tfrac {z} {2}}} z ^ {\ mu + {\ tfrac {1} {2}}} M \ left (\ mu - \ kappa + {\ tfrac {1} {2}}, 1 + 2 \ mu; z \ right)}$

${\ Displaystyle W _ {\ kappa, \ mu} (z) = e ^ {- {\ tfrac {z} {2}}} z ^ {\ mu + {\ tfrac {1} {2}}} U \ left (\ mu - \ kappa + {\ tfrac {1} {2}}, 1 + 2 \ mu; z \ right)}$

• El p -ésimo momento bruto general ( p no necesariamente un número entero) se puede expresar como

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ operatorname {E} \ left [\ left | N \ left (\ mu, \ sigma ^ {2} \ right) \ right | ^ {p} \ right] & = {\ frac {\ left (2 \ sigma ^ {2} \ right) ^ {p / 2} \ Gamma \ left ({\ tfrac {1 + p} {2}} \ right)} {\ sqrt {\ pi}} } \ {} _ {1} F_ {1} \ left (- {\ tfrac {p} {2}}, {\ tfrac {1} {2}}, - {\ tfrac {\ mu ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}} \ right) \\\ operatorname {E} \ left [N \ left (\ mu, \ sigma ^ {2} \ right) ^ {p} \ right] & = \ left (-2 \ sigma ^ {2} \ right) ^ {p / 2} U \ left (- {\ tfrac {p} {2}}, {\ tfrac {1} {2}}, - {\ tfrac { \ mu ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}} \ right) \ end {alineado}}}$

En la segunda fórmula, el corte de la segunda rama de la función se puede elegir multiplicando con (−1) ^p .

Aplicación a fracciones continuas

Al aplicar un argumento limitante a la fracción continua de Gauss, se puede demostrar que

${\ displaystyle {\ frac {M (a + 1, b + 1, z)} {M (a, b, z)}} = {\ cfrac {1} {1 - {\ cfrac {\ displaystyle {\ frac {ba} {b (b + 1)}} z} {1 + {\ cfrac {\ displaystyle {\ frac {a + 1} {(b + 1) (b + 2)}} z} {1- { \ cfrac {\ displaystyle {\ frac {b-a + 1} {(b + 2) (b + 3)}} z} {1 + {\ cfrac {\ displaystyle {\ frac {a + 2} {(b +3) (b + 4)}} z} {1- \ ddots}}}}}}}}}}}$

y que esta fracción continua converge uniformemente a una función meromórfica de z en cada dominio acotado que no incluye un polo.

Notas

Referencias

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enlaces externos

• Funciones hipergeométricas confluentes en la biblioteca digital de funciones matemáticas del NIST
• Función hipergeométrica de Kummer en el sitio de Wolfram Functions
• Función hipergeométrica Tricomi en el sitio de Wolfram Functions