Notatie met meerdere indexen - Multi-index notation

Onderdeel van een serie artikelen over
Calculus
fundamentele stelling Leibniz integrale regel Beperkingen van functies Continuïteit Gemiddelde waarde stelling Stelling van Rolle
differentieel definities Afgeleide  ( generalisaties ) differentieel oneindig klein van een functie totaal concepten differentiatie notatie tweede afgeleide Impliciete differentiatie Logaritmische differentiatie Gerelateerde tarieven De stelling van Taylor Regels en identiteiten Som Product Ketting Stroom Quotiënt De regel van L'Hôpital Inverse Generaal Leibniz De formule van Faà di Bruno Reynolds
Integraal Lijsten van integralen Integrale transformatie definities antiderivaat Integraal  ( onjuist ) Riemann-integraal Lebesgue-integratie Contour integratie Integraal van inverse functies Integratie door Onderdelen Schijven Cilindrische schalen Substitutie  ( trigonometrische , Weierstrass , Euler ) Euler's formule Gedeeltelijke fracties Volgorde wijzigen Reductie formules Differentiëren onder het integraalteken Risch-algoritme
Serie Geometrisch  ( rekenkundig-geometrisch ) Harmonische afwisselend Stroom binomiaal Taylor Convergentietests Summand limiet (term test) Verhouding Wortel Integraal Directe vergelijking Vergelijking beperken Afwisselende reeksen Cauchy condensatie Dirichlet Abel
Vector verloop divergentie Krul Laplace directionele afgeleide identiteiten stellingen verloop Groen's Stokes' divergentie gegeneraliseerde Stokes
Multivariabele formalismen Matrix tensor Buitenkant Geometrisch definities Gedeeltelijke afgeleide Meerdere integraal Lijnintegraal Oppervlakte integraal Volume integraal Jacobiaan Hessisch
Gespecialiseerd fractioneel Malliavin stochastisch variaties
Diversen Precalculus Geschiedenis Woordenlijst Lijst met onderwerpen Integratiebij Analyse
v t e

Multi-indexnotatie is een wiskundige notatie die formules vereenvoudigt die worden gebruikt in multivariabele calculus , partiële differentiaalvergelijkingen en de theorie van distributies , door het concept van een integer- index te generaliseren naar een geordend tupel van indices.

Definitie en basiseigenschappen

Een n -dimensionale multi-index is een n - tuple

${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots,\alpha _{n})}$

of niet-negatieve gehele getallen (dwz een onderdeel van de n - dimensionale reeks van natuurlijke getallen , aangeduid ). ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}^{n}}$

Voor multi-indices en één definieert: ${\ Displaystyle \ alpha , \ beta \ in \ mathbb {N} _ {0} ^ {n}}$${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$

Componentsgewijs som en verschil

${\displaystyle \alpha \pm \beta =(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\ldots ,\,\alpha _{n}\pm \beta _{n})}$

Gedeeltelijke bestelling

${\ Displaystyle \ alpha \ leq \ beta \ quad \ Linksrechts \ quad \ alpha _ {i} \ leq \ beta _ {i} \ quad \ forall \, i \ in \ {1, \ ldots , n \}}$

Som van componenten (absolute waarde)

${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}$

faculteit

${\displaystyle \alpha !=\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}$

Binomiale coëfficiënt

${\displaystyle {\binom {\alpha }{\beta }}={\binom {\alpha _{1}}{\beta _{1}}}{\binom {\alpha _{2}}{\beta _{2}}}\cdots {\binom {\alpha _{n}}{\beta _{n}}}={\frac {\alpha !}{\beta !(\alpha -\beta )!} }}$

Multinomiale coëfficiënt

$${\displaystyle {\binom {k}{\alpha }}={\frac {k!}{\alpha _{1}!\alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}}={ \frac {k!}{\alpha !}}}$$

waar .${\displaystyle k:=|\alpha |\in \mathbb {N} _{0}}$

Stroom

${\displaystyle x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n} }}$.

Partiële afgeleide van hogere orde

$${\displaystyle \gedeeltelijk ^{\alpha }=\gedeeltelijk _{1}^{\alpha _{1}}\gedeeltelijk _{2}^{\alpha _{2}}\ldots \gedeeltelijk _{n}^ {\alpha _{n}}}$$

waar (zie ook 4-gradiënt ). Soms wordt ook de notatie gebruikt.${\displaystyle \gedeeltelijk _{i}^{\alpha _{i}}:=\gedeeltelijk ^{\alpha _{i}}/\gedeeltelijk x_{i}^{\alpha _{i}}}$${\displaystyle D^{\alpha }=\gedeeltelijk ^{\alpha }}$

Sommige toepassingen

De multi-indexnotatie maakt de uitbreiding mogelijk van vele formules van elementaire calculus naar het overeenkomstige geval met meerdere variabelen. Hieronder staan ​​enkele voorbeelden. In al het volgende, (of ), , en (of ). ${\displaystyle x,y,h\in \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \alpha ,\nu \in \mathbb {N} _{0}^{n}}$${\displaystyle f,g,a_{\alpha}\colon \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} \ naar \ mathbb {R} }$

multinomiale stelling

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{k}=\sum _{|\alpha |=k}{\binom {k}{\alpha }}\,x^{\alpha }}$

Multibinomiale stelling

$${\displaystyle (x+y)^{\alpha }=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}\,x^{\nu }y^{\alpha -\nu }.}$$

Merk op dat, aangezien x + y een vector is en α een multi-index is, de uitdrukking aan de linkerkant een afkorting is voor ( x ₁ + y ₁ ) ^{α ₁} ⋯( x _n + y _n ) ^{α _n} .

Leibniz-formule

Voor vloeiende functies f en g

$${\ Displaystyle \ gedeeltelijk ^ {\ alpha } (fg) = \ sum _ {\ nu \ leq \ alpha }{\ binom {\ alpha }{\ nu }} \, \ gedeeltelijk ^ {\ nu } f \, \ gedeeltelijk ^{\alpha -\nu }g.}$$

Taylor-serie

Voor een analytische functie f in n variabelen heeft men

$${\displaystyle f(x+h)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{n}}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{ \alpha !}}h^{\alpha }}.}$$

In feite hebben we voor een soepele functie de vergelijkbare Taylor-expansie

$${\displaystyle f(x+h)=\sum _{|\alpha |\leq n}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}+R_{n}(x,h),}$$

waarbij de laatste term (de rest) afhangt van de exacte versie van de formule van Taylor. Bijvoorbeeld, voor de Cauchy-formule (met integrale rest), krijgt men

$${\displaystyle R_{n}(x,h)=(n+1)\sum _{|\alpha |=n+1}{\frac {h^{\alpha }}{\alpha !}}\int _{0}^{1}(1-t)^{n}\partial ^{\alpha }f(x+th)\,dt.}$$

Algemene lineaire partiële differentiaaloperator

Een formele lineaire N -de orde partiële differentiaaloperator in n variabelen wordt geschreven als

$${\displaystyle P(\partial)=\sum _{|\alpha |\leq N}{a_{\alpha }(x)\partial ^{\alpha }}.}$$

Integratie op onderdelen

Voor soepele functies met compacte ondersteuning in een begrensd domein heeft men${\ Displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$

$${\ Displaystyle \ int _ {\ Omega } u (\ gedeeltelijke ^ {\ alpha } v) \, dx = (-1) ^ {| \ alpha |} \ int _ {\ Omega }{(\ gedeeltelijke ^ {\ alfa }u)v\,dx}.}$$

Deze formule wordt gebruikt voor de definitie van distributies en zwakke afgeleiden .

Een voorbeeld stelling

Als zijn multi-indices en , dan ${\ Displaystyle \ alpha , \ beta \ in \ mathbb {N} _ {0} ^ {n}}$${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

Een bewijs

Het bewijs volgt uit de machtsregel voor de gewone afgeleide ; als α en β in {0, 1, 2, …} zijn, dan

$${\displaystyle {\frac {d^{\alpha }}{dx^{\alpha }}}x^{\beta }={\begin{cases}{\frac {\beta !}{(\beta -\ alpha )!}}x^{\beta -\alpha }&{\hbox{if}}\,\,\alpha \leq \beta ,\\0&{\hbox{anders.}}\end{cases}} }$$

( 1 )

Stel , , en . Dan hebben we dat ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots,\alpha _{n})}$${\displaystyle \beta =(\beta _{1},\ldots,\beta _{n})}$${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

Voor elke i in {1, ...,  n } hangt de functie alleen af ​​van . In het bovenstaande wordt daarom elke partiële differentiatie gereduceerd tot de overeenkomstige gewone differentiatie . Vandaar dat uit vergelijking ( 1 ) volgt dat verdwijnt als α _i  >  β _i voor ten minste één i in {1, ...,  n }. Als dit niet het geval is, dwz als α  ≤  β als multi-indices, dan ${\displaystyle x_{i}^{\beta _{i}}}$${\displaystyle x_{i}}$${\ Displaystyle \ gedeeltelijke /\ gedeeltelijke x_ {i}}$${\displaystyle d/dx_{i}}$${\displaystyle \gedeeltelijk ^{\alpha }x^{\beta }}$

voor elk en de stelling volgt. QED${\displaystyle ik}$

Zie ook

• Einstein-notatie
• Indexnotatie
• Ricci-calculus

Referenties

• Saint Raymond, Xavier (1991). Elementaire inleiding tot de theorie van pseudodifferentiële operatoren . Hoofdstuk 1.1 . CRC Pers. ISBN  0-8493-7158-9

Dit artikel bevat materiaal van multi-index afgeleide van een kracht op PlanetMath , die is gelicentieerd onder de Creative Commons Attribution/Share-Alike License .