Multi -index notation - Multi-index notation

Multi-index notation er en matematisk notation, der forenkler formler, der bruges i multivariabel beregning , partielle differentialligninger og teorien om distributioner , ved at generalisere begrebet et helt tal indeks til en ordnet tupel indeks.

Definition og grundlæggende egenskaber

En n -dimensional multi-indeks er en n - tupel

{\ displaystyle \ alpha = (\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ ldots, \ alpha _ {n})}

af ikke -negative heltal (dvs. et element i det n - dimensionelle sæt af naturlige tal , betegnet ). ${\ displaystyle \ mathbb {N} _ {0}^{n}}$

For multi-indekser og en definerer: ${\ displaystyle \ alpha, \ beta \ in \ mathbb {N} _ {0}^{n}}$ ${\ displaystyle x = (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^{n}}$

Komponentmæssigt sum og forskel: ${\ displaystyle \ alpha \ pm \ beta = (\ alpha _ {1} \ pm \ beta _ {1}, \, \ alpha _ {2} \ pm \ beta _ {2}, \ ldots, \, \ alpha _ {n} \ pm \ beta _ {n})}$
Delvis rækkefølge: ${\ displaystyle \ alpha \ leq \ beta \ quad \ Venstrehøjre pil \ quad \ alpha _ {i} \ leq \ beta _ {i} \ quad \ forall \, i \ in \ {1, \ ldots, n \}}$
Summen af komponenter (absolut værdi): ${\ displaystyle | \ alpha | = \ alpha _ {1}+\ alpha _ {2}+\ cdots+\ alpha _ {n}}$
Faktorisk: ${\ displaystyle \ alpha! = \ alpha _ {1}! \ cdot \ alpha _ {2}! \ cdots \ alpha _ {n}!}$
Binomial koefficient: ${\ displaystyle {\ binom {\ alpha} {\ beta}} = {\ binom {\ alpha _ {1}} {\ beta _ {1}}} {\ binom {\ alpha _ {2}} {\ beta _ {2}}} \ cdots {\ binom {\ alpha _ {n}} {\ beta _ {n}}} = {\ frac {\ alpha!} {\ Beta! (\ Alpha -\ beta)!} }}$
Multinomial koefficient: ${\ displaystyle {\ binom {k} {\ alpha}} = {\ frac {k!} {\ alpha _ {1}! \ alpha _ {2}! \ cdots \ alpha _ {n}!}} = { \ frac {k!} {\ alpha!}}}$ hvor . ${\ displaystyle k: = | \ alpha | \ in \ mathbb {N} _ {0}}$
Strøm: ${\ displaystyle x^{\ alpha} = x_ {1}^{\ alpha _ {1}} x_ {2}^{\ alpha _ {2}} \ ldots x_ {n}^{\ alpha _ {n} }}$ .
Højere ordens delderivat: ${\ displaystyle \ partial^{\ alpha} = \ delvis _ {1}^{\ alpha _ {1}} \ delvis _ {2}^{\ alpha _ {2}} \ ldots \ delvis _ {n}^ {\ alpha _ {n}}}$ hvor (se også 4-gradient ). Nogle gange bruges notationen også. ${\ displaystyle \ partial _ {i}^{\ alpha _ {i}}: = \ delvis^{\ alpha _ {i}}/\ delvis x_ {i}^{\ alpha _ {i}}}$ ${\ displaystyle D ^{\ alpha} = \ delvis ^{\ alpha}}$

Nogle applikationer

Multi-indeksnotationen tillader udvidelse af mange formler fra elementærregning til den tilsvarende multi-variable case. Nedenfor er nogle eksempler. I alt det følgende, (eller ) , og (eller ). ${\ displaystyle x, y, h \ in \ mathbb {C} ^{n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$ ${\ displaystyle \ alpha, \ nu \ in \ mathbb {N} _ {0}^{n}}$ ${\ displaystyle f, g, a _ {\ alpha} \ colon \ mathbb {C} ^{n} \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n} \ to \ mathbb {R}}$

Multinomial sætning: ${\ displaystyle \ left (\ sum _ {i = 1}^{n} x_ {i} \ right)^{k} = \ sum _ {| \ alpha | = k} {\ binom {k} {\ alpha }} \, x^{\ alpha}}$
Multi-binomial sætning: ${\ displaystyle (x+y)^{\ alpha} = \ sum _ {\ nu \ leq \ alpha} {\ binom {\ alpha} {\ nu}} \, x^{\ nu} y^{\ alpha -\ nu}.}$ Bemærk, at da $x + y$ er en vektor og $α$ er et multiindeks, er udtrykket til venstre for $(x 1 + y 1) α 1 \dots (x n + y n) α n$ .
Leibniz formel: Til glatte funktioner f og g ${\ displaystyle \ partial ^{\ alpha} (fg) = \ sum _ {\ nu \ leq \ alpha} {\ binom {\ alpha} {\ nu}} \, \ delvis ^{\ nu} f \, \ delvis ^{\ alpha -\ nu} g.}$
Taylor -serien: For en analytisk funktion f i n variabler har man ${\ displaystyle f (x+h) = \ sum _ {\ alpha \ in \ mathbb {N} _ {0} ^{n}} {{\ frac {\ partial ^{\ alpha} f (x)} { \ alpha!}} h^{\ alpha}}.}$ Faktisk har vi en lignende Taylor -udvidelse for en jævn nok funktion ${\ displaystyle f (x+h) = \ sum _ {| \ alpha | \ leq n} {{\ frac {\ partial ^{\ alpha} f (x)} {\ alpha!}} h ^{\ alpha }}+R_ {n} (x, h),}$ hvor det sidste udtryk (resten) afhænger af den nøjagtige version af Taylors formel. For eksempel for Cauchy -formlen (med integreret rest) får man ${\ displaystyle R_ {n} (x, h) = (n+1) \ sum _ {| \ alpha | = n+1} {\ frac {h^{\ alpha}} {\ alpha!}} \ int _ {0}^{1} (1-t)^{n} \ delvis^{\ alpha} f (x+th) \, dt.}$
Generel lineær delvis differentialoperator: En formel lineær N -t.ordens delvise differentialoperator i n variabler skrives som ${\ displaystyle P (\ partial) = \ sum _ {| \ alpha | \ leq N} {a _ {\ alpha} (x) \ partial ^{\ alpha}}.}$
Integration af dele: Til glatte funktioner med kompakt support i et afgrænset domæne, man har ${\ displaystyle \ Omega \ undersæt \ mathbb {R} ^{n}}$ ${\ displaystyle \ int _ {\ Omega} u (\ delvis ^{\ alpha} v) \, dx = (-1) ^{| \ alpha |} \ int _ {\ Omega} {(\ delvis ^{\ alfa} u) v \, dx}.}$ Denne formel bruges til definition af distributioner og svage derivater .

Et eksempel sætning

Hvis er multi-indekser og , så ${\ displaystyle \ alpha, \ beta \ in \ mathbb {N} _ {0}^{n}}$ ${\ displaystyle x = (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$

{\ displaystyle \ partial^{\ alpha} x^{\ beta} = {\ begin {cases} {\ frac {\ beta!} {(\ beta -\ alpha)!}} x^{\ beta -\ alpha } & {\ text {if}} ~ \ alpha \ leq \ beta, \\ 0 & {\ text {ellers.}} \ end {cases}}}

Bevis

Beviset følger af magtreglen for det almindelige derivat ; hvis α og β er i {0, 1, 2,…}, så

{\ displaystyle {\ frac {d^{\ alpha}} {dx^{\ alpha}}} x^{\ beta} = {\ start {cases} {\ frac {\ beta!} {(\ beta -\ alpha)!}} x^{\ beta -\ alpha} & {\ hbox {if}} \, \, \ alpha \ leq \ beta, \\ 0 & {\ hbox {ellers.}} \ end {cases}} }

( 1 )

Antag , og . Så har vi det ${\ displaystyle \ alpha = (\ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n})}$ ${\ displaystyle \ beta = (\ beta _ {1}, \ ldots, \ beta _ {n})}$ ${\ displaystyle x = (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$

{\ displaystyle {\ begin {justeret} \ delvis ^{\ alpha} x ^{\ beta} & = {\ frac {\ delvis ^{\ vert \ alpha \ vert}} {\ delvis x_ {1} ^{\ alfa _ {1}} \ cdots \ delvis x_ {n}^{\ alpha _ {n}}}} x_ {1}^{\ beta _ {1}} \ cdots x_ {n}^{\ beta _ { n}} \\ & = {\ frac {\ partial^{\ alpha _ {1}}} {\ delvis x_ {1}^{\ alpha _ {1}}}} x_ {1}^{\ beta _ {1}} \ cdots {\ frac {\ partial^{\ alpha _ {n}}} {\ delvis x_ {n}^{\ alpha _ {n}}}} x_ {n}^{\ beta _ { n}}. \ end {align}}}

For hver i i 1,…, n } afhænger funktionen kun af . I ovenstående reduceres derfor hver delvis differentiering til den tilsvarende almindelige differentiering . Det følger derfor af ligning ( 1 ), at det forsvinder, hvis α _i > β _i for mindst et i i {1,…, n }. Hvis dette ikke er tilfældet, dvs. hvis α ≤ β som multiindekser, så ${\ displaystyle x_ {i}^{\ beta _ {i}}}$ ${\ displaystyle x_ {i}}$ ${\ displaystyle \ delvis /\ delvis x_ {i}}$ ${\ displaystyle d/dx_ {i}}$ ${\ displaystyle \ partial ^{\ alpha} x ^{\ beta}}$

{\ displaystyle {\ frac {d^{\ alpha _ {i}}} {dx_ {i}^{\ alpha _ {i}}}} x_ {i}^{\ beta _ {i}} = {\ frac {\ beta _ {i}!} {(\ beta _ {i}-\ alpha _ {i})!}} x_ {i}^{\ beta _ {i}-\ alpha _ {i}}}

for hver og sætningen følger. QED

{\ displaystyle i}

Se også

Referencer

Saint Raymond, Xavier (1991). Elementær introduktion til teorien om pseudodifferentielle operatører . Kapitel 1.1. CRC Tryk. ISBN 0-8493-7158-9

Denne artikel indeholder materiale fra multi-index-derivater af en power on PlanetMath , som er licenseret under Creative Commons Attribution/Share-Alike-licensen .

Languages

In other projects