Collettore stabile - Stable manifold

In matematica , e in particolare lo studio dei sistemi dinamici , l'idea di stabile e insiemi instabili o stabile e collettori instabili dare una definizione matematica formale alle nozioni generali incorporati nell'idea di un attrattore o repellor . Nel caso della dinamica iperbolica , la nozione corrispondente è quella dell'insieme iperbolico .

Esempio fisico

Le forze di marea gravitazionali che agiscono sugli anelli di Saturno forniscono un esempio fisico facile da visualizzare. Le forze di marea appiattiscono l'anello nel piano equatoriale, anche se lo allungano in direzione radiale. Immaginando che gli anelli siano particelle di sabbia o ghiaia ("polvere") in orbita attorno a Saturno, le forze di marea sono tali che qualsiasi perturbazione che spinga le particelle sopra o sotto il piano equatoriale fa sì che quella particella senta una forza di ripristino, spingendola indietro nel aereo. Le particelle oscillano efficacemente in un pozzo armonico, smorzate dalle collisioni. La direzione stabile è perpendicolare all'anello. La direzione instabile è lungo qualsiasi raggio, dove le forze si allungano e separano le particelle. Due particelle che iniziano molto vicine l'una all'altra nello spazio delle fasi subiranno forze radiali che le faranno divergere, radialmente. Queste forze hanno un esponente di Lyapunov positivo ; le traiettorie giacciono su una varietà iperbolica e il movimento delle particelle è essenzialmente caotico , vagando attraverso gli anelli. Il collettore centrale è tangenziale agli anelli, con le particelle che non subiscono né compressione né allungamento. Ciò consente alle forze gravitazionali di secondo ordine di dominare, e quindi le particelle possono essere trascinate da lune o lune negli anelli, bloccando le fasi su di loro. Le forze gravitazionali delle lune forniscono efficacemente un piccolo calcio che si ripete regolarmente, ogni volta attorno all'orbita, simile a un rotore calciato , come si trova in un anello ad aggancio di fase .

Il moto a tempo discreto delle particelle nell'anello può essere approssimato dalla mappa di Poincaré . La mappa fornisce efficacemente la matrice di trasferimento del sistema. L'autovettore associato all'autovalore più grande della matrice è l' autovettore di Frobenius – Perron , che è anche la misura invariante , cioè la densità effettiva delle particelle nell'anello. Tutti gli altri autovettori della matrice di trasferimento hanno autovalori più piccoli e corrispondono a modalità di decadimento.

Definizione

Quanto segue fornisce una definizione per il caso di un sistema che è una funzione iterata o ha dinamiche a tempo discreto. Nozioni simili si applicano ai sistemi la cui evoluzione temporale è data da un flusso .

Sia uno spazio topologico e un omeomorfismo . Se è un punto fisso per , l' insieme stabile di è definito da ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle f \ due punti X \ a X}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle p}$

{\ displaystyle W ^ {s} (f, p) = \ {q \ in X: f ^ {n} (q) \ to p {\ mbox {as}} n \ to \ infty \}}

e l' insieme instabile di ${\ displaystyle p}$ è definito da

{\ Displaystyle W ^ {u} (f, p) = \ {q \ in X: f ^ {- n} (q) \ to p {\ mbox {as}} n \ to \ infty \}.}

Qui, denota l' inverso della funzione , cioè dove si trova la mappa di identità . ${\ displaystyle f ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ Displaystyle f \ circ f ^ {- 1} = f ^ {- 1} \ circ f = id_ {X}}$ ${\ displaystyle id_ {X}}$ ${\ displaystyle X}$

Se è un punto periodico di periodo minimo , allora è un punto fisso di e gli insiemi stabile e instabile di sono definiti da ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle f ^ {k}}$ ${\ displaystyle p}$

{\ displaystyle W ^ {s} (f, p) = W ^ {s} (f ^ {k}, p)}

e

{\ Displaystyle W ^ {u} (f, p) = W ^ {u} (f ^ {k}, p).}

Dato un intorno di , gli insiemi locali stabili e instabili di sono definiti da ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle p}$

{\ displaystyle W _ {\ mathrm {loc}} ^ {s} (f, p, U) = \ {q \ in U: f ^ {n} (q) \ in U {\ mbox {per ogni}} n \ geq 0 \}}

e

{\ Displaystyle W _ {\ mathrm {loc}} ^ {u} (f, p, U) = W _ {\ mathrm {loc}} ^ {s} (f ^ {- 1}, p, U).}

Se è metrizzabile , possiamo definire gli insiemi stabile e instabile per qualsiasi punto di ${\ displaystyle X}$

{\ Displaystyle W ^ {s} (f, p) = \ {q \ in X: d (f ^ {n} (q), f ^ {n} (p)) \ to 0 {\ mbox {for} } n \ a \ infty \}}

e

{\ displaystyle W ^ {u} (f, p) = W ^ {s} (f ^ {- 1}, p),}

dove è una metrica per . Questa definizione coincide chiaramente con la precedente quando è un punto periodico. ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle p}$

Supponiamo ora che è un compatto collettore liscio , ed è un diffeomorfismo , . Se è un punto periodico iperbolico, il teorema della varietà stabile assicura che per qualche intorno di , gli insiemi locali stabili e instabili sono dischi incorporati, i cui spazi tangenti a are e (gli spazi stabili e instabili di ), rispettivamente; inoltre variano continuamente (in un certo senso) in un intorno di nella topologia di (lo spazio di tutti i diffeomorfismi da a se stesso). Infine, i set stabile e instabile sono dischi immersi per iniezione. Questo è il motivo per cui vengono comunemente chiamate varietà stabili e instabili . Questo risultato è valido anche per i punti non periodici, purché si trovino in qualche insieme iperbolico (teorema della varietà stabile per gli insiemi iperbolici). ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}}$ ${\ displaystyle k \ geq 1}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle E ^ {s}}$ ${\ displaystyle E ^ {u}}$ ${\ displaystyle Df (p)}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Diff} ^ {k} (X)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}}$

Nota

Se è uno spazio vettoriale (a dimensione finita) e un isomorfismo, i suoi insiemi stabile e instabile sono chiamati rispettivamente spazio stabile e spazio instabile. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle f}$

Guarda anche

Riferimenti

Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E. (1978). Fondamenti di meccanica . Messa di lettura: Benjamin / Cummings. ISBN 0-8053-0102-X.
Irwin, Michael C. (2001). "Collettori stabili" . Sistemi dinamici fluidi . World Scientific. pagg. 143–160. ISBN 981-02-4599-8.
Sritharan, SS (1990). Teoria del collettore invariante per la transizione idrodinamica . New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-582-06781-2.

Questo articolo incorpora materiale da Stable manifold su PlanetMath , che è concesso in licenza sotto la licenza Creative Commons Attribution / Share-Alike .

Languages

In other projects