Spazio metrizzabile - Metrizable space

In topologia e aree correlate di matematica , uno spazio metrizzabile è uno spazio topologico che è omeomorfo ad uno spazio metrico . Cioè, si dice che uno spazio topologico è metrizzabile se esiste una metrica tale che la topologia indotta da è Teoremi di metrizzazione sono teoremi che forniscono condizioni sufficienti affinché uno spazio topologico sia metrizzabile. ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ ${\displaystyle d:X\times X\to [0,\infty )}$${\displaystyle d}$${\displaystyle {\mathcal {T}}.}$

Proprietà

Gli spazi metrizzabili ereditano tutte le proprietà topologiche dagli spazi metrici. Ad esempio, sono spazi paracompatti di Hausdorff (e quindi normale e Tychonoff ) e primo numerabile . Tuttavia, non si può dire che alcune proprietà della metrica, come la completezza, siano ereditate. Questo vale anche per altre strutture legate alla metrica. Uno spazio uniforme metrizzabile , ad esempio, può avere un diverso insieme di mappe di contrazione rispetto a uno spazio metrico a cui è omeomorfo.

Teoremi di metrizzazione

Uno dei primi teoremi di metrizzazione ampiamente riconosciuti fu Teorema di metrizzazione di Urysohn . Questo afferma che ogni spazioregolaresecondo numerabile di Hausdorffè metrizzabile. Quindi, per esempio, ogni secondavarietànumerabileè metrizzabile. (Nota storica: la forma del teorema mostrato qui è stata infatti dimostrata daTychonoffnel 1926. Ciò cheUrysohnaveva mostrato, in un articolo pubblicato postumo nel 1925, era che ogni secondospazio normale di Hausdorffnumerabileè metrizzabile). Non vale il contrario: esistono spazi metrici che non sono secondi numerabili, per esempio, un insieme non numerabile dotato della metrica discreta. Ilteorema di metrizzazione di Nagata-Smirnov, descritto di seguito, fornisce un teorema più specifico in cuivaleil viceversa.

Diversi altri teoremi di metrizzazione seguono come semplici corollari al teorema di Urysohn. Ad esempio, uno spazio di Hausdorff compatto è metrizzabile se e solo se è secondo numerabile.

Il Teorema di Urysohn può essere riformulato come: Uno spazio topologico è separabile e metrizzabile se e solo se è regolare, di Hausdorff e secondo numerabile. Il teorema di metrizzazione di Nagata-Smirnov estende questo al caso non separabile. Afferma che uno spazio topologico è metrizzabile se e solo se è regolare, Hausdorff e ha una base σ-localmente finita. Una base σ-localmente finita è una base che è un'unione di molte raccolte localmente finite di insiemi aperti. Per un teorema strettamente correlato si veda il teorema di metrizzazione di Bing .

Gli spazi metrizzabili separabili possono anche essere caratterizzati come quegli spazi che sono omeomorfi a un sottospazio del cubo di Hilbert cioè il prodotto numerabile infinito dell'intervallo unitario (con la sua topologia naturale del sottospazio dai reali) con se stesso, dotato della topologia del prodotto . ${\displaystyle \lbrack 0,1\rbrack ^{\mathbb {N} },}$

Uno spazio è detto di essere localmente metrizzabile se ogni punto ha un metrizzabile quartiere . Smirnov dimostrò che uno spazio localmente metrizzabile è metrizzabile se e solo se è Hausdorff e paracompatto . In particolare, una varietà è metrizzabile se e solo se è paracompatta.

Esempi

Il gruppo di operatori unitari su uno spazio di Hilbert separabile dotato della topologia dell'operatore forte è metrizzabile (vedi Proposizione II.1 in ). ${\displaystyle \mathbb {U} ({\mathcal {H}})}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Esempi di spazi non metrizzabili

Gli spazi non normali non possono essere metrizzabili; esempi importanti includono

• la topologia di Zariski su una varietà algebrica o sullo spettro di un anello , usata in geometria algebrica ,
• lo spazio vettoriale topologico di tutte le funzioni dalla retta reale a se stessa, con la topologia della convergenza puntuale .${\displaystyle \mathbb {R}}$

La linea reale con la topologia del limite inferiore non è metrizzabile. La normale funzione di distanza non è una metrica su questo spazio perché la topologia che determina è la solita topologia, non la topologia del limite inferiore. Questo spazio è Hausdorff, paracompatto e primo numerabile.

La lunga fila è localmente metrizzabile ma non metrizzabile; in un certo senso è "troppo lungo".

Guarda anche

• Metrica apollinea  - matematico e poeta rumeno
• Teorema di metrizzazione di Bing  – Caratterizza quando uno spazio topologico è metrizzabile
• Spazio vettoriale topologico metrizzabile  – Uno spazio vettoriale topologico la cui topologia può essere definita da una metrica
• Spazio di Moore (topologia)
• Teorema di metrizzazione di Nagata-Smirnov  - Caratterizza quando uno spazio topologico è metrizzabile
• Uniformizzabilità , la proprietà di uno spazio topologico di essere omeomorfo a uno spazio uniforme , o equivalentemente la topologia essendo definita da una famiglia di pseudometriche

Riferimenti

Questo articolo incorpora materiale da Metrizable su PlanetMath , che è distribuito con licenza Creative Commons Attribution/Share-Alike License .