Funzione univalente - Univalent function

In matematica , nel ramo dell'analisi complessa , una funzione olomorfa su un sottoinsieme aperto del piano complesso è chiamata univalente se è iniettiva .

Esempi

La funzione è univalente nel disco dell'unità aperta, come implica quello . Poiché il secondo fattore è diverso da zero nel disco aperto dell'unità, deve essere iniettivo. ${\ displaystyle f \ due punti z \ mapsto 2z + z ^ {2}}$${\ displaystyle f (z) = f (w)}$${\ Displaystyle f (z) -f (w) = (zw) (z + w + 2) = 0}$${\ displaystyle f}$

Proprietà di base

Si può dimostrare che se e sono due insiemi connessi aperti nel piano complesso, e ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ Omega}$

${\ displaystyle f: G \ to \ Omega}$

è una funzione monovalente tale che (cioè è suriettiva ), allora la derivata è mai pari a zero, è invertibile , e la sua inversa è anche holomorphic. Di più, si ha la regola della catena${\ displaystyle f (G) = \ Omega}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f ^ {- 1}}$

${\ displaystyle (f ^ {- 1}) '(f (z)) = {\ frac {1} {f' (z)}}}$

per tutti in ${\ displaystyle z}$${\ displaystyle G.}$

Confronto con funzioni reali

Per le funzioni analitiche reali , a differenza delle funzioni analitiche complesse (cioè olomorfiche), queste affermazioni non sono valide. Ad esempio, considera la funzione

${\ displaystyle f: (- 1,1) \ a (-1,1) \,}$

dato da ƒ ( x ) =  x ³ . Questa funzione è chiaramente iniettiva, ma la sua derivata è 0 in x  = 0, e la sua inversa non è analitica, o anche derivabile, sull'intero intervallo (−1, 1). Di conseguenza, se allarghiamo il dominio a un sottoinsieme aperto G del piano complesso, deve non essere iniettivo; e questo è il caso, poiché (per esempio) f (εω) = f (ε) (dove ω è una radice cubica primitiva di unità e ε è un numero reale positivo più piccolo del raggio di G come intorno di 0).

Guarda anche

• Funzione Schlicht

Riferimenti

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