Egyértékű függvény - Univalent function

A matematika , a fióktelep komplex elemzése , a Holomorf függvény egy nyílt részhalmaza a komplex síkban nevezzük vegyértékű ha injektív .

Példák

A függvény univalens a nyitott egység lemezén, amint ez arra utal . Mivel a második tényező nem nulla a nyitott egységlemezen, injektívnek kell lennie. ${\ displaystyle f \ kettőspont z \ mapsto 2z + z ^ {2}}$${\ displaystyle f (z) = f (w)}$${\ displaystyle f (z) -f (w) = (zw) (z + w + 2) = 0}$${\ displaystyle f}$

Alapvető tulajdonságok

Bizonyítani lehet, hogy ha és két nyitott összekapcsolt halmaz van a komplex síkban, és ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ Omega}$

${\ displaystyle f: G \ to \ Omega}$

jelentése egyvegyértékű függvény, amelyre (azaz, az szürjektıv ), majd a származék sosem nulla, az invertálható , és inverze is Holomorf. Több, az egyik a láncszabály szerint van${\ displaystyle f (G) = \ Omega}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f ^ {- 1}}$

${\ displaystyle (f ^ {- 1}) '(f (z)) = {\ frac {1} {f' (z)}}}$

mindenkinek be ${\ displaystyle z}$${\ displaystyle G.}$

Összehasonlítás a valós funkciókkal

A valódi analitikai függvényeknél , ellentétben a komplex analitikus (azaz holomorf) függvényekkel, ezek az állítások nem teljesülnek. Vegyük például fontolóra a függvényt

${\ displaystyle f: (- 1,1) \ - (-1,1) \,}$

adta ƒ ( x ) =  x ³ . Ez a funkció egyértelműen injektıv, de a származék 0 at X  = 0, és annak inverz nem analitikus, vagy akár differenciálható, az egész intervallum (-1, 1). Következésképpen, ha kibővítjük a tartományt a komplex sík nyílt G részhalmazára , akkor nem lehet injektív; és ez a helyzet, mivel (például) f (εω) = f (ε) (ahol ω az egység primitív kockagyöke, és ε pozitív valós szám kisebb, mint a G sugara, mint 0 szomszédja).

Lásd még

• Schlicht-függvény

Hivatkozások

Ez a cikk magában anyagot vegyértékű analitikus függvény PlanetMath , amely alatt licencelt Creative Commons Nevezd / Share-Alike License .