Frazione unitaria - Unit fraction

Una frazione unitaria è un numero razionale scritto come frazione in cui il numeratore è uno e il denominatore è un numero intero positivo . Una frazione unitaria è quindi il reciproco di un intero positivo, 1 / n . Esempi sono 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ecc.

Aritmetica elementare

Moltiplicando due frazioni unitarie qualsiasi si ottiene un prodotto che è un'altra frazione unitaria:

${\ displaystyle {\ frac {1} {x}} \ times {\ frac {1} {y}} = {\ frac {1} {xy}}.}$

Tuttavia, l' aggiunta , la sottrazione o la divisione di due frazioni unitarie produce un risultato che generalmente non è una frazione unitaria:

${\ displaystyle {\ frac {1} {x}} + {\ frac {1} {y}} = {\ frac {x + y} {xy}}}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {x}} - {\ frac {1} {y}} = {\ frac {yx} {xy}}}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {x}} \ div {\ frac {1} {y}} = {\ frac {y} {x}}.}$

Aritmetica modulare

Le frazioni unitarie giocano un ruolo importante nell'aritmetica modulare , poiché possono essere utilizzate per ridurre la divisione modulare al calcolo dei massimi comuni divisori. In particolare, supponiamo di voler eseguire divisioni per un valore x , modulo y . Affinché divisione per x essere ben definito modulo y , x ed y deve essere relativamente primo . Poi, utilizzando l'algoritmo di Euclide esteso per massimi comuni divisori possiamo trovare un e b tali che

${\ displaystyle \ displaystyle ax + by = 1,}$

da cui ne consegue che

${\ displaystyle \ displaystyle ax \ equiv 1 {\ pmod {y}},}$

o in modo equivalente

${\ displaystyle a \ equiv {\ frac {1} {x}} {\ pmod {y}}.}$

Quindi, per dividere per x (modulo y ) dobbiamo semplicemente moltiplicare per a .

Somma finita di frazioni unitarie

Qualsiasi numero razionale positivo può essere scritto come somma di frazioni unitarie, in diversi modi. Per esempio,

${\ displaystyle {\ frac {4} {5}} = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {20}} = {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {6}} + {\ frac {1} {10}}.}$

Le antiche civiltà egizie usavano somme di frazioni di unità distinte nella loro notazione per numeri razionali più generali , e quindi tali somme sono spesso chiamate frazioni egiziane . Interesse ancora oggi ad analizzare i metodi usati dagli antichi per scegliere tra le possibili rappresentazioni di un numero frazionario, e calcolare con tali rappresentazioni. Il tema delle frazioni egiziane ha visto anche interesse per la moderna teoria dei numeri ; per esempio, la congettura di Erdős – Graham e la congettura di Erdős – Straus riguardano le somme di frazioni unitarie, così come la definizione dei numeri armonici di Ore .

Nella teoria dei gruppi geometrici , i gruppi triangolari sono classificati in casi euclidei, sferici e iperbolici a seconda che una somma associata di frazioni unitarie sia rispettivamente uguale a uno, maggiore di uno o minore di uno.

Serie di frazioni unitarie

Molte serie infinite note hanno termini che sono frazioni unitarie. Questi includono:

• La serie armonica , la somma di tutte le frazioni unitarie positive. Questa somma diverge e le sue somme parziali

${\ displaystyle {\ frac {1} {1}} + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + \ cdots + {\ frac {1} {n}}}$

discosta ln   n  +  γ come n aumenta.

• Il problema Basilea riguarda la somma delle frazioni dell'unità quadrati, che converge a ¸ ² /6
• La costante di Apéry è la somma delle frazioni unitarie al cubo.
• La serie geometrica binaria , che si somma a 2, e la costante di Fibonacci reciproca sono esempi aggiuntivi di una serie composta da frazioni unitarie.

Matrici di frazioni unitarie

La matrice di Hilbert è la matrice con gli elementi

${\ displaystyle B_ {i, j} = {\ frac {1} {i + j-1}}.}$

Ha la proprietà insolita che tutti gli elementi nella sua matrice inversa sono numeri interi. Allo stesso modo, Richardson (2001) ha definito una matrice con elementi

${\ displaystyle C_ {i, j} = {\ frac {1} {F_ {i + j-1}}},}$

dove F _i indica l' i- esimo numero di Fibonacci . Chiama questa matrice la matrice Filbert e ha la stessa proprietà di avere un intero inverso.

Frazioni adiacenti

Due frazioni sono chiamate adiacenti se la loro differenza è una frazione unitaria.

Frazioni unitarie in probabilità e statistica

In una distribuzione uniforme su uno spazio discreto , tutte le probabilità sono frazioni unitarie uguali. A causa del principio di indifferenza , le probabilità di questa forma sorgono frequentemente nei calcoli statistici. Inoltre, la legge di Zipf stabilisce che, per vari fenomeni osservati coinvolgono la selezione di elementi da una sequenza ordinata, la probabilità che il n esimo elemento è selezionato è proporzionale alla quota parte dell'unità 1 / n .

Frazioni unitarie in fisica

I livelli di energia dei fotoni che possono essere assorbiti o emessi da un atomo di idrogeno sono, secondo la formula di Rydberg , proporzionali alle differenze di due frazioni unitarie. Una spiegazione di questo fenomeno è fornita dal modello di Bohr , secondo il quale i livelli di energia degli orbitali degli elettroni in un atomo di idrogeno sono inversamente proporzionali alle frazioni di unità quadrate e l'energia di un fotone è quantizzata alla differenza tra due livelli.

Arthur Eddington ha sostenuto che la costante di struttura fine era una frazione unitaria, prima 1/136 poi 1/137. Questa affermazione è stata falsificata, dato che le stime attuali della costante di struttura fine sono (a 6 cifre significative) 1 / 137,036.

Guarda anche

• Sottomultiplo

Riferimenti

link esterno

• Weisstein, Eric W. "Unit Fraction" . MathWorld .