Knækket bagagerum

Den fraktion stamceller er et udtryk fra matematik og beskriver en brøkdel med en 1 i tælleren og enhver naturligt tal i nævneren. Dette resulterer i stamfraktioner som det gensidige af naturlige tal. Eksempler er stamfraktionerne, og selvom der ikke er nogen stamfraktion. ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {6}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {2} {3}}}$

Udvikling af bagagerum

Enhver brøkdel af formen med naturlige tal kan repræsenteres som summen af ​​forælderfraktioner (og eventuelt et naturligt tal ). Det gælder f.eks ${\ displaystyle {\ tfrac {a} {b}}}$${\ displaystyle a, b}$${\ displaystyle a> b}$

${\ displaystyle {\ frac {2} {3}} = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {6}}}$

En metode til at udvikle stamfraktionen er først at trække heltalsdelen fra og derefter i hvert tilfælde den største stamfraktion, der er mindre end eller lig med resten (dette kaldes en grådig algoritme ).

procedure

Med denne procedure opdeles en reel forkortet brøk i en sum af originale brøker, hvorved alle originale brøker har forskellige nævnere:

En reel, allerede forkortet brøkdel er givet: med . ${\ displaystyle {\ tfrac {a} {b}}}$${\ displaystyle a <b}$

1. trin

Form den nye fraktion , hvor: og og minimal, dvs. H.,${\ displaystyle {\ tfrac {c} {d}}}$${\ displaystyle c = a}$${\ displaystyle d = n \ cdot a \;> b \;, n \ i \ mathbb {N}}$${\ displaystyle n}$

den nye tæller er lig med den gamle tæller, og den nye nævner er lig med det mindste multiplum af den gamle tæller, der er større end den gamle nævner.

Den nye fraktion kan altid forkortes til bagagerumsfraktionen på grund af formationsreguleringen .${\ displaystyle {\ tfrac {1} {n}}}$

2. trin

Så det gælder med .${\ displaystyle {\ tfrac {a} {b}} = {\ tfrac {c} {d}} \; + \; {\ tfrac {a} {b}} \; - \; {\ tfrac {c} {d}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {c} {d}} = {\ tfrac {1} {n}}}$

3. trin

Beregn forskellen .${\ displaystyle {\ frac {a} {b}} = {\ frac {c} {d}} + ({\ tfrac {a} {b}} - {\ tfrac {c} {d}}) = { \ tfrac {1} {n}} + {\ tfrac {na-b} {nb}}}$

4. trin

Reducer om muligt forskellen .${\ displaystyle {\ tfrac {na-b} {nb}}}$

5. trin

Annuller proceduren, hvis forskellen er en brøkdel af stammen, ellers gentag trin 1 til 4 for forskellen .${\ displaystyle {\ tfrac {na-b} {nb}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {na-b} {nb}}}$

eksempel

En stamfraktionsudvidelse er givet for : ${\ displaystyle {\ tfrac {2} {3}}}$

1. Trin: Ny pause: ${\ displaystyle {\ frac {2} {4}}}$
2. Trin: ${\ displaystyle {\ frac {2} {3}} = {\ frac {2} {4}} + {\ frac {2} {3}} - {\ frac {2} {4}}}$
3. Trin: ${\ displaystyle {\ frac {2} {3}} = {\ frac {2} {4}} + \ venstre ({\ frac {2} {3}} - {\ frac {2} {4}} \ højre) = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {2} {12}}}$
4. Trin: ${\ displaystyle {\ frac {2} {3}} = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {6}}}$
5. Trin: Processen annulleres, fordi forskellen allerede er en bagagerumspause.${\ displaystyle {\ frac {1} {6}}}$

Denne proces slutter altid efter et begrænset antal trin. Det giver dog ikke altid den kortest mulige repræsentation som summen af ​​originale brøker. For eksempel giver denne metode repræsentationen

${\ displaystyle {\ frac {59} {120}} = {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {7}} + {\ frac {1} {65}} + {\ frac {1} {10920}}}$,

men der er den kortere version

${\ displaystyle {\ frac {59} {120}} = {\ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {6}} + {\ frac {1} {8}}}$

historie

De gamle egyptere registrerede kun reelle brøker. Da de havde hieroglyffer for stamfraktioner bortset fra og kun, måtte de opdele alle andre fraktioner i summer af stamfraktioner ( se også egyptiske tal ).${\ displaystyle {\ tfrac {2} {3}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {3} {4}}}$

Leonardo Fibonacci offentliggjorde ovenstående algoritme i Liber abaci ( 1202 ). Den britiske matematiker James Joseph Sylvester var kun i stand til at bevise algoritmens generelle gyldighed i 1880 .

Yderligere forekomster

Et uløst matematisk problem i forbindelse med udviklingen af ​​stamfrakturer er formodningen Erdős-Straus .

Nogle statistisk registrerede mængder fordeles proportionelt med stamfraktioner; dette repræsenterer en simpel Zipf -distribution .

Individuelle beviser

1. ↑ Knækket bagagerum . I: Guido Walz (red.): Leksikon for matematik . 1. udgave. Spectrum Academic Publishing House, Mannheim / Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8 . 
2. ↑ ^{a b} fraktionssummer . I: Guido Walz (red.): Leksikon for matematik . 1. udgave. Spectrum Academic Publishing House, Mannheim / Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8 . 
3. ^ Heinz-Wilhelm Alten : 4000 års algebra. Historie, kulturer, mennesker . Springer, Berlin et al. 2003, ISBN 3-540-43554-9 , s. 13 .