Mappa della tenda - Tent map

Grafico della funzione mappa tenda

Esempio di iterazione della condizione iniziale x ₀ = 0.4 sulla mappa della tenda con μ = 1.9.

In matematica , la mappa della tenda con il parametro μ è la funzione a valori reali f _μ definita da

f_{\mu}:=\mu \min\{x,\,1-x\},

il nome è dovuto alla forma a tenda del grafico di f _μ . Per i valori del parametro μ compresi tra 0 e 2, f _μ mappa su se stesso l' intervallo unitario [0, 1], definendo su di esso un sistema dinamico a tempo discreto (equivalentemente, una relazione di ricorrenza ). In particolare, iterando un punto x ₀ in [0, 1] si ottiene una successione : $x_{n}$

x_{n+1}=f_{\mu }(x_{n})={\begin{casi}\mu x_{n}&\mathrm {per} ~~x_{n}<{\frac {1}{2}}\\\mu (1-x_{n})&\mathrm {per} ~~{\frac {1}{2}}\leq x_{n}\end{cases}}

dove μ è una costante reale positiva. Scegliendo ad esempio il parametro μ = 2, l'effetto della funzione f _μ può essere visto come il risultato dell'operazione di piegare l'intervallo unitario in due, quindi allungare l' intervallo risultante [0, 1/2] per ottenere di nuovo l'intervallo [0, 1]. Iterando la procedura, qualsiasi punto x ₀ dell'intervallo assume nuove posizioni successive come descritto sopra, generando una sequenza x _n in [0, 1].

Il caso della tent map è una trasformazione non lineare sia della bit shift map che del caso r = 4 della logistica map . $\mu =2$

Comportamento

Orbite della mappa della tenda ad altezza unitaria

Diagramma di biforcazione per la mappa della tenda. Una densità maggiore indica una maggiore probabilità che la variabile x acquisisca quel valore per il dato valore del parametro μ.

La mappa tenda con parametro μ = 2 e la mappa logistica con parametro r = 4 sono topologicamente coniugate , e quindi i comportamenti delle due mappe sono in questo senso identici sotto iterazione.

A seconda del valore di μ, la mappa della tenda mostra una gamma di comportamenti dinamici che vanno dal prevedibile al caotico.

Se μ è minore di 1 il punto x = 0 è un punto fisso attrattivo del sistema per tutti i valori iniziali di x cioè il sistema convergerà verso x = 0 da qualsiasi valore iniziale di x .
Se μ è 1 tutti i valori di x minore o uguale a 1/2 sono punti fissi del sistema.
Se μ è maggiore di 1 il sistema ha due punti fissi, uno a 0 e l'altro a μ/(μ + 1). Entrambi i punti fissi sono instabili, cioè un valore di x vicino a uno dei due punti fissi si allontanerà da esso, piuttosto che verso di esso. Ad esempio, quando μ è 1.5 c'è un punto fisso in x = 0.6 (poiché 1.5(1 − 0.6) = 0.6) ma partendo da x = 0.61 otteniamo

da 0,61\a 0,585\a 0,6225\a 0,56625\a 0,650625\ldots

Se μ è compreso tra 1 e la radice quadrata di 2 il sistema mappa su se stessi un insieme di intervalli tra μ − μ ² /2 e μ/2. Questo insieme di intervalli è l' insieme di Julia della mappa, ovvero è il più piccolo sottoinsieme invariante della linea reale sotto questa mappa. Se μ è maggiore della radice quadrata di 2, questi intervalli si fondono e l'insieme di Julia è l'intero intervallo da μ − μ ² /2 a μ/2 (vedi diagramma di biforcazione).
Se μ è compreso tra 1 e 2 l'intervallo [μ − μ ² /2, μ/2] contiene punti sia periodici che non periodici, sebbene tutte le orbite siano instabili (cioè i punti vicini si allontanano dalle orbite piuttosto che verso di esse ). Le orbite con lunghezze maggiori appaiono all'aumentare di μ. Per esempio:

{\frac {\mu }{\mu ^{2}+1}}\to {\frac {\mu ^{2}}{\mu ^{2}+1}}\to {\frac {\mu }{\mu ^{2}+1}}{\mbox{ appare in }}\mu =1

{\frac {\mu }{\mu ^{3}+1}}\to {\frac {\mu ^{2}}{\mu ^{3}+1}}\to {\frac {\mu ^{3}}{\mu ^{3}+1}}\to {\frac {\mu }{\mu ^{3}+1}}{\mbox{ appare in }}\mu = {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}

{\frac {\mu }{\mu ^{4}+1}}\to {\frac {\mu ^{2}}{\mu ^{4}+1}}\to {\frac {\mu ^{3}}{\mu ^{4}+1}}\to {\frac {\mu ^{4}}{\mu ^{4}+1}}\to {\frac {\ mu }{\mu ^{4}+1}}{\mbox{ appare in }}\mu \circa 1.8393

Se μ è uguale a 2 il sistema mappa l'intervallo [0, 1] su se stesso. Ora ci sono punti periodici con ogni lunghezza dell'orbita all'interno di questo intervallo, così come punti non periodici. I punti periodici sono densi in [0, 1], quindi la mappa è diventata caotica . Infatti, le dinamiche saranno non periodico se e solo se è irrazionale . Questo può essere visto osservando cosa fa la mappa quando è espressa in notazione binaria : sposta il punto binario di una posizione a destra; quindi, se quello che appare a sinistra del punto binario è un "uno" cambia tutti gli uno in zero e viceversa (ad eccezione del bit finale "uno" nel caso di espansione binaria finita); partendo da un numero irrazionale, questo processo va avanti all'infinito senza ripetersi. La misura invariante per x è la densità uniforme sull'intervallo unitario. La funzione di autocorrelazione per una sequenza sufficientemente lunga { } mostrerà un'autocorrelazione zero a tutti i ritardi diversi da zero. Pertanto non può essere distinto dal rumore bianco utilizzando la funzione di autocorrelazione. Si noti che il caso r = 4 della mappa logistica e il caso della mappa tenda sono omeomorfi tra loro: indicando la variabile logisticamente evolutiva come , l'omeomorfismo è $x_{0}$ $x_{n}$ $x_{n}$ $x_{n}$ $\mu =2$ $y_{n}$

x_{n}={\tfrac {2}{\pi }}\sin ^{-1}(y_{n}^{1/2}).

Se μ è maggiore di 2, l'insieme di Julia della mappa viene disconnesso e si scompone in un insieme di Cantor entro l'intervallo [0, 1]. L'insieme di Julia contiene ancora un numero infinito di punti sia non periodici che periodici (comprese le orbite per qualsiasi lunghezza dell'orbita) ma quasi ogni punto all'interno di [0, 1] alla fine divergerà verso l'infinito. L'insieme canonico di Cantor (ottenuto cancellando successivamente i terzi medi dai sottoinsiemi della retta unitaria) è l'insieme di Julia della mappa della tenda per μ = 3.

Errori numerici

Serie temporali della mappa Tenda per il parametro m = 2.0 che mostra l'errore numerico: "il grafico delle serie temporali (grafico di x variabile rispetto al numero di iterazioni) smette di fluttuare e non si osservano valori dopo n = 50". Parametro m = 2.0, il punto iniziale è casuale.

Ingrandimento del diagramma dell'orbita

L'ingrandimento vicino alla punta mostra maggiori dettagli.

Uno sguardo più attento al diagramma dell'orbita mostra che ci sono 4 regioni separate a μ ≈ 1. Per un ulteriore ingrandimento, vengono tracciate 2 linee di riferimento (rosse) dalla punta alla x adatta a determinati μ (ad es. 1,10) come mostrato.

Un ulteriore ingrandimento mostra 8 regioni separate.

Con la distanza misurata dalle corrispondenti linee di riferimento, nella parte superiore e inferiore della mappa compaiono ulteriori dettagli. (totale 8 regioni separate ad alcuni μ)

Mappa tenda asimmetrica

La mappa tenda asimmetrica è essenzialmente una versione distorta, ma ancora lineare a tratti , del caso della mappa tenda. È definito da $\mu =2$

v_{n+1}={\begin{casi}v_{n}/a&\mathrm {per} ~~v_{n}\in [0,a]\\(1-v_{n}) /(1-a)&\mathrm {per} ~~v_{n}\in [a,1]\end{casi}}

per parametro . Il caso della mappa tenda è il caso presente di . Una sequenza { } avrà la stessa funzione di autocorrelazione dei dati del processo autoregressivo del primo ordine con { } distribuito in modo indipendente e identico . Quindi i dati di una mappa tenda asimmetrica non possono essere distinti, usando la funzione di autocorrelazione, dai dati generati da un processo autoregressivo del primo ordine. $a\in [0,1]$ $\mu =2$ $a={\tfrac {1}{2}}$ $v_{n}$ $w_{n+1}=(2a-1)w_{n}+u_{n+1}$ $u_{n}$