Trasformazione diadica - Dyadic transformation

La trasformazione diadica (noto anche come la carta diadica , bit mappa di cambio , 2 x  mod 1 carta , carta Bernoulli , raddoppiando map o mappa dente di sega ) è la mappatura (cioè ricorrenza relazione )

${\displaystyle T:[0,1)\to [0,1)^{\infty }}$

${\displaystyle x\mapsto (x_{0},x_{1},x_{2},\ldots)}$

(dove è l'insieme di sequenze da ) prodotto dalla regola ${\displaystyle [0,1)^{\infty }}$${\displaystyle [0,1)}$

${\displaystyle x_{0}=x}$

${\displaystyle {\text{for all}}n\geq 0,\ x_{n+1}=(2x_{n}){\bmod {1}}}$.

Equivalentemente, la trasformazione diadica può anche essere definita come la mappa delle funzioni iterate della funzione lineare a tratti

${\displaystyle T(x)={\begin{cases}2x&0\leq x<{\frac {1}{2}}\\2x-1&{\frac {1}{2}}\leq x<1. \end{casi}}}$

Il nome bit shift map nasce perché, se il valore di un'iterazione è scritto in notazione binaria , l'iterazione successiva si ottiene spostando il punto binario di un bit a destra, e se il bit a sinistra del nuovo punto binario è un "uno", sostituendolo con uno zero.

La trasformazione diadica fornisce un esempio di come una semplice mappa unidimensionale possa dare origine al caos . Questa mappa si generalizza facilmente a molte altre. Una importante è la trasformazione beta , definita come . Questa mappa è stata ampiamente studiata da molti autori. Fu introdotto da Alfréd Rényi nel 1957, e una misura invariante per esso fu data da Alexander Gelfond nel 1959 e di nuovo indipendentemente da Bill Parry nel 1960. ${\displaystyle T_{\beta }(x)=\beta x{\bmod {1}}}$

Relazione con il processo di Bernoulli

La mappa può essere ottenuta come omomorfismo sul processo di Bernoulli . Sia l'insieme di tutte le stringhe semi-infinite delle lettere e . Questi possono essere intesi come il lancio di una moneta, che esce testa o croce. Equivalentemente, si può scrivere lo spazio di tutte le stringhe (semi)infinite di bit binari. La parola "infinito" è qualificata con "semi-", poiché si può anche definire uno spazio diverso costituito da tutte le stringhe doppiamente infinite (doppie); questo porterà alla mappa del panettiere . La qualifica "semi-" è scesa sotto. ${\displaystyle \Omega =\{H,T\}^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle H}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle \{0,1\}^{\mathbb {Z} }}$

Questo spazio ha un'operazione di spostamento naturale , data da

${\displaystyle T(b_{0},b_{1},b_{2},\dots )=(b_{1},b_{2},\dots )}$

dove è una stringa infinita di cifre binarie. Data una tale stringa, scrivi ${\displaystyle (b_{0},b_{1},\dots)}$

${\displaystyle x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {b_{n}}{2^{n+1}}}.}$

La risultante è un numero reale in unità di intervallo del cambio induce un omomorfismo , chiamata anche , sulla intervallo unitario. Poiché si può facilmente vedere che Per la sequenza doppiamente infinita di bit l'omomorfismo indotto è la mappa di Baker . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0\leq x\leq 1.}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T(b_{0},b_{1},b_{2},\dots)=(b_{1},b_{2},\dots),}$${\displaystyle T(x)=2x{\bmod {1}}.}$${\displaystyle \Omega =2^{\mathbb {Z} },}$

La sequenza diadica è quindi solo la sequenza

${\displaystyle (x,T(x),T^{2}(x),T^{3}(x),\dots)}$

Questo è, ${\displaystyle x_{n}=T^{n}(x).}$

Il set di Cantor

Nota che la somma

${\displaystyle y=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {b_{n}}{3^{n+1}}}}$

dà la funzione di Cantor , come convenzionalmente definita. Questo è uno dei motivi per cui l'insieme è talvolta chiamato insieme di Cantor . ${\displaystyle \{H,T\}^{\mathbb {N} }}$

Tasso di perdita di informazioni e dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali

Un segno distintivo delle dinamiche caotiche è la perdita di informazioni quando si verifica la simulazione. Se iniziamo con l'informazione sui primi s bit dell'iterazione iniziale, dopo m iterazioni simulate ( m  <  s ) rimangono solo s  −  m bit di informazione. Quindi perdiamo informazioni alla velocità esponenziale di un bit per iterazione. Dopo s iterazioni, nostra simulazione ha raggiunto il punto zero fisso, indipendentemente dai valori veri iterazione; quindi abbiamo subito una completa perdita di informazioni. Ciò illustra la dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali: la mappatura dalla condizione iniziale troncata ha deviato in modo esponenziale dalla mappatura dalla vera condizione iniziale. E poiché la nostra simulazione ha raggiunto un punto fisso, per quasi tutte le condizioni iniziali non descriverà la dinamica in modo qualitativamente corretto come caotica.

Equivalente al concetto di perdita di informazioni è il concetto di guadagno di informazioni. In pratica, alcuni processi del mondo reale possono generare una sequenza di valori ( x _n ) nel tempo, ma potremmo essere in grado di osservare questi valori solo in forma troncata. Supponiamo ad esempio che x ₀ = 0.1001101, ma osserviamo solo il valore troncato 0.1001. La nostra previsione per x ₁ è 0.001. Se aspettiamo che il processo del mondo reale abbia generato il valore x ₁ vero 0,001101, saremo in grado di osservare il valore troncato 0,0011, che è più accurato del nostro valore previsto 0,001. Quindi abbiamo ricevuto un guadagno di informazioni di un bit.

Relazione con la mappa della tenda e la mappa della logistica

La trasformazione diadica è topologicamente semi-coniugata alla mappa della tenda dell'unità di altezza . Ricordiamo che la mappa della tenda per unità di altezza è data da

${\displaystyle x_{n+1}=f_{1}(x_{n})={\begin{casi}x_{n}&\mathrm {per} ~~x_{n}\leq 1/2\\ 1-x_{n}&\mathrm {for} ~~x_{n}\geq 1/2\end{casi}}}$

La coniugazione è data esplicitamente da

${\displaystyle S(x)=\sin \pi x}$

affinché

${\displaystyle f_{1}=S^{-1}\circ T\circ S}$

Cioè, questo è stabile sotto l'iterazione, come ${\displaystyle f_{1}(x)=S^{-1}(T(S(x))).}$

${\displaystyle f_{1}^{n}=f_{1}\circ \cdots \circ f_{1}=S^{-1}\circ T\circ S\circ S^{-1}\circ \ cdots \circ T\circ S=S^{-1}\circ T^{n}\circ S}$

È anche coniugato al caso caotico r  = 4 della mappa logistica . Il  caso r = 4 della mappa logistica è ; questo è correlato alla mappa di spostamento dei bit nella variabile x di ${\displaystyle z_{n+1}=4z_{n}(1-z_{n})}$

${\displaystyle z_{n}=\sin ^{2}(2\pi x_{n}).}$

C'è anche una semi-coniugazione tra la trasformazione diadica (qui chiamata mappa di raddoppio dell'angolo) e il polinomio quadratico . Qui, la mappa raddoppia gli angoli misurati a turno . Cioè, la mappa è data da

${\displaystyle \theta \mapsto 2\theta {\bmod {2}}\pi.}$

Periodicità e non periodicità

A causa della natura semplice delle dinamiche quando le iterazioni sono visualizzate in notazione binaria, è facile classificare le dinamiche in base alla condizione iniziale:

Se la condizione iniziale è irrazionale (come lo sono quasi tutti i punti nell'intervallo unitario), allora la dinamica non è periodica: ciò deriva direttamente dalla definizione di un numero irrazionale come uno con un'espansione binaria non ripetitiva. Questo è il caso caotico.

Se x ₀ è razionale l'immagine di x ₀ contiene un numero finito di valori distinti all'interno di [0, 1) e l' orbita in avanti di x ₀ è infine periodica, con periodo uguale al periodo dell'espansione binaria di x ₀ . In particolare, se la condizione iniziale è un numero razionale con un'espansione binaria finita di k bit, allora dopo k iterazioni le iterazioni raggiungono il punto fisso 0; se la condizione iniziale è un numero razionale con un transitorio di k -bit ( k  ≥ 0) seguito da una sequenza di q -bit ( q  > 1) che si ripete all'infinito, allora dopo k iterazioni le iterazioni raggiungono un ciclo di lunghezza  q . In questo modo sono possibili cicli di tutte le lunghezze.

Ad esempio, l'orbita in avanti del 24/11 è:

${\displaystyle {\frac {11}{24}}\mapsto {\frac {11}{12}}\mapsto {\frac {5}{6}}\mapsto {\frac {2}{3}}\ mapsto {\frac {1}{3}}\mapsto {\frac {2}{3}}\mapsto {\frac {1}{3}}\mapsto \cdots,}$

che ha raggiunto un ciclo di periodo 2. All'interno di ogni sottointervallo di [0, 1), non importa quanto piccolo, vi sono quindi un numero infinito di punti le cui orbite sono eventualmente periodiche, e un numero infinito di punti le cui orbite non sono mai periodiche. Questa dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali è una caratteristica delle mappe caotiche .

Periodicità tramite bit shift

Le orbite periodiche e non periodiche possono essere comprese più facilmente non lavorando direttamente con la mappa , ma piuttosto con la mappa di spostamento dei bit definita nello spazio di Cantor . ${\displaystyle T(x)=2x{\bmod {1}}}$${\displaystyle T(b_{0},b_{1},b_{2},\dots )=(b_{1},b_{2},\dots )}$ ${\displaystyle \Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }}$

Cioè, l' omomorfismo

${\displaystyle x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {b_{n}}{2^{n+1}}}}$

è fondamentalmente un'affermazione che l'insieme di Cantor può essere mappato nei reali. È una suriezione : ogni razionale diadico ha non una, ma due rappresentazioni distinte nell'insieme di Cantor. Per esempio,

${\displaystyle 0.1000000\dots =0.011111\dots}$

Questa è solo la versione a stringa binaria del famoso problema 0,999... = 1 . Le rappresentazioni raddoppiate valgono in generale: per ogni data sequenza iniziale di lunghezza finita di lunghezza , si ha ${\displaystyle b_{0},b_{1},b_{2},\dots ,b_{k-1}}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle b_{0},b_{1},b_{2},\dots ,b_{k-1},1,0,0,0,\dots =b_{0},b_{1},b_ {2},\dots ,b_{k-1},0,1,1,1,\dots }$

La sequenza iniziale corrisponde alla parte non periodica dell'orbita, dopo di che l'iterazione si assesta su tutti gli zeri (equivalentemente, tutti uno). ${\displaystyle b_{0},b_{1},b_{2},\dots ,b_{k-1}}$

Espresse come stringhe di bit, le orbite periodiche della mappa possono essere viste ai razionali. Cioè, dopo una sequenza iniziale "caotica" di , un'orbita periodica si assesta in una stringa ripetitiva di lunghezza . Non è difficile vedere che tali sequenze ripetute corrispondono a numeri razionali. Scrivere ${\displaystyle b_{0},b_{1},b_{2},\dots ,b_{k-1}}$${\displaystyle b_{k},b_{k+1},b_{k+2},\dots ,b_{k+m-1}}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle y=\sum _{j=0}^{m-1}b_{k+j}2^{-j-1}}$

uno allora ha chiaramente

${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }b_{k+j}2^{-j-1}=y\sum _{j=0}^{\infty }2^{-jm }={\frac {y} {1-2^{m}}}}$

Riprendendo la sequenza iniziale non ripetitiva, si ha chiaramente un numero razionale. Infatti, ogni numero razionale può essere espresso in questo modo: una sequenza iniziale "casuale", seguita da una ripetizione ciclica. Cioè, le orbite periodiche della mappa sono in corrispondenza biunivoca con i razionali.

Questo fenomeno è degno di nota, perché qualcosa di simile accade in molti sistemi caotici. Ad esempio, le geodetiche su varietà compatte possono avere orbite periodiche che si comportano in questo modo.

Tieni presente, tuttavia, che i razionali sono un insieme di misura zero nei reali. Quasi tutte le orbite non sono periodiche! Le orbite aperiodiche corrispondono ai numeri irrazionali. Questa proprietà vale anche in un contesto più generale. Una questione aperta è fino a che punto il comportamento delle orbite periodiche limiti il ​​comportamento del sistema nel suo insieme. Fenomeni come la diffusione di Arnold suggeriscono che la risposta generale è "poco".

Formulazione densità

Invece di guardare le orbite dei singoli punti sotto l'azione della mappa, vale ugualmente la pena di esplorare come la mappa influenza le densità sull'intervallo unitario. Cioè, immagina di spruzzare un po' di polvere sull'intervallo dell'unità; è più denso in alcuni punti che in altri. Cosa succede a questa densità mentre si itera?

Scrivi come questa densità, in modo che . Per ottenere l'azione di su questa densità bisogna trovare tutti i punti e scrivere ${\displaystyle \rho :[0,1]\to \mathbb {R} }$${\displaystyle x\mapsto \rho (x)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle y=T^{-1}(x)}$

${\displaystyle \rho (x)\mapsto \sum _{y=T^{-1}(x)}{\frac {\rho (y)}{|T^{\prime }(y)|}} }$

Il denominatore in quanto sopra è il determinante jacobiano della trasformazione, qui è solo la derivata di e così . Inoltre, ci sono ovviamente solo due punti nella preimmagine di , questi sono e Mettendo tutto insieme, si ottiene ${\displaystyle T}$${\displaystyle T^{\prime }(y)=2}$${\displaystyle T^{-1}(x)}$${\displaystyle y=x/2}$${\displaystyle y=(x+1)/2.}$

${\displaystyle \rho (x)\mapsto {\frac {1}{2}}\rho \!\left({\frac {x}{2}}\right)+{\frac {1}{2} }\rho \!\left({\frac {x+1}{2}}\right)}$

Per convenzione, tali mappe sono indicate con in modo che in questo caso, scrivi ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle \left[{\mathcal {L}}_{T}\rho \right](x)={\frac {1}{2}}\rho \!\left({\frac {x}{ 2}}\right)+{\frac {1}{2}}\rho \!\left({\frac {x+1}{2}}\right)}$

La mappa è un operatore lineare , come si vede facilmente e per tutte le funzioni sull'intervallo unitario, e per tutte le costanti . ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}(f+g)={\mathcal {L}}_{T}(f)+{\mathcal {L}}_{T}(g)}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}(af)=a{\mathcal {L}}_{T}(f)}$${\displaystyle f, g}$${\displaystyle a}$

Visto come un operatore lineare, la domanda più ovvia e pressante è: qual è il suo spettro ? Un autovalore è ovvio: se per tutti allora si ha ovviamente così la densità uniforme è invariante rispetto alla trasformazione. Questo è infatti il ​​più grande autovalore dell'operatore , è l' autovalore di Frobenius–Perron . La densità uniforme, infatti, non è altro che la misura invariante della trasformazione diadica. ${\displaystyle \rho (x)=1}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}\rho =\rho}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}}$

Per esplorare più in dettaglio lo spettro di , bisogna prima limitarsi a uno spazio di funzioni adatto (sull'intervallo unitario) con cui lavorare. Questo potrebbe essere lo spazio delle funzioni misurabili di Lebesgue , o forse lo spazio delle funzioni quadrate integrabili , o forse anche solo dei polinomi . Lavorare con uno di questi spazi è sorprendentemente difficile, sebbene sia possibile ottenere uno spettro. ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}}$

spazio di Borel

Una grande semplificazione risulta se si lavora invece con lo spazio di Cantor , e funziona Si consiglia una certa cautela, in quanto la mappa viene definita sull'intervallo unitario della retta dei numeri reali , assumendo la topologia naturale sui reali. Al contrario, la mappa è definita sullo spazio di Cantor , a cui per convenzione viene assegnata una topologia molto diversa , la topologia del prodotto . Esiste un potenziale conflitto di topologie; bisogna fare un po' di attenzione. Tuttavia, come presentato sopra, c'è un omomorfismo dal Cantor ambientato nei reali; fortunatamente, mappa gli insiemi aperti in insiemi aperti, e quindi preserva le nozioni di continuità . ${\displaystyle \Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle \rho :\Omega \to \mathbb {R} .}$${\displaystyle T(x)=2x{\bmod {1}}}$${\displaystyle T(b_{0},b_{1},b_{2},\dots )=(b_{1},b_{2},\dots )}$ ${\displaystyle \Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }}$

Per lavorare con l'insieme di Cantor , è necessario fornire una topologia per esso; per convenzione, questa è la topologia del prodotto . Aggiungendo complementi d'insieme, può essere esteso a uno spazio di Borel , cioè un'algebra sigma . La topologia è quella dei gruppi di cilindri . Una serie di cilindri ha la forma generica ${\displaystyle \Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }}$

${\displaystyle (*,*,*,\dots ,*,b_{k},b_{k+1},*,\dots ,*,b_{m},*,\dots )}$

dove sono valori di bit arbitrari (non necessariamente tutti uguali) e sono un numero finito di valori di bit specifici sparsi nella stringa di bit infinita. Questi sono gli insiemi aperti della topologia. La misura canonica su questo spazio è la misura Bernoulli per il giusto lancio della moneta. Se è specificato un solo bit nella stringa di posizioni arbitrarie, la misura è 1/2. Se sono specificati due bit, la misura è 1/4 e così via. Si può essere più fantasiosi: dato un numero reale si può definire una misura ${\displaystyle *}$${\displaystyle b_{k},b_{m},\dots}$${\displaystyle 0<p<1}$

${\displaystyle \mu _{p}(*,\dots ,*,b_{k},*,\dots )=p^{n}(1-p)^{m}}$

se ci sono teste e croci nella sequenza. Si preferisce la misura con , in quanto conservata dalla mappa ${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle p=1/2}$

${\displaystyle (b_{0},b_{1},b_{2},\dots )\mapsto x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {b_{n}}{2 ^{n+1}}}.}$

Quindi, ad esempio, esegue il mapping all'intervallo e il mapping all'intervallo ed entrambi questi intervalli hanno una misura di 1/2. Allo stesso modo, esegue il mapping all'intervallo che ha ancora la misura 1/2. Cioè, l'incorporamento sopra preserva la misura. ${\displaystyle (0,*,\cdots)}$ ${\displaystyle [0,1/2]}$${\displaystyle (1,*,\dots)}$${\displaystyle [1/2,1]}$${\displaystyle (*,0,*,\dots)}$${\displaystyle [0,1/4]\cup [1/2,3/4]}$

Un'alternativa è scrivere

${\displaystyle (b_{0},b_{1},b_{2},\dots)\mapsto x=\sum _{n=0}^{\infty}\left[b_{n}p^{n +1}+(1-b_{n})(1-p)^{n+1}\destra]}$

che conserva la misura Cioè, mappa in modo tale che la misura sull'intervallo unitario sia di nuovo la misura di Lebesgue. ${\displaystyle \mu _{p}.}$

Operatore Frobenius–Perron

Denota l'insieme di tutti gli insiemi aperti sull'insieme di Cantor e considera l'insieme di tutte le funzioni arbitrarie Lo shift induce un pushforward${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle f:{\mathcal {B}}\to \mathbb {R} .}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle f\circ T^{-1}}$

definita da Questa è di nuovo una funzione In questo modo, la mappa induce un'altra mappa sullo spazio di tutte le funzioni Cioè, dato un po' , si definisce ${\displaystyle \left(f\circ T^{-1}\right)\!(x)=f(T^{-1}(x)).}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\to \mathbb {R}.}$${\displaystyle T}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\to \mathbb {R}.}$${\displaystyle f:{\mathcal {B}}\to \mathbb {R}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}f=f\circ T^{-1}}$

Questo operatore lineare è chiamato operatore di trasferimento o operatore di Ruelle–Frobenius–Perron . L'autovalore più grande è l'autovalore di Frobenius–Perron , e in questo caso è 1. L' autovettore associato è la misura invariante: in questo caso è la misura di Bernoulli . Di nuovo, quando${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}(\rho)=\rho}$${\displaystyle \rho (x)=1.}$

Spettro

Per ottenere lo spettro di , si deve fornire un opportuno insieme di funzioni di base per lo spazio. Una tale scelta è quella di restringersi all'insieme di tutti i polinomi. In questo caso, l'operatore ha uno spettro discreto , e le autofunzioni sono (curiosamente) i polinomi di Bernoulli ! (Questa coincidenza di denominazione era presumibilmente sconosciuta a Bernoulli.) ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Si può infatti facilmente verificare che

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}B_{n}=2^{-n}B_{n}}$

dove sono i polinomi di Bernoulli . Ciò segue perché i polinomi di Bernoulli obbediscono all'identità ${\displaystyle B_{n}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}B_{n}\!\left({\frac {y}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}B_{n} \!\left({\frac {y+1}{2}}\right)=2^{-n}B_{n}(y)}$

Notare che ${\displaystyle B_{0}(x)=1.}$

Un'altra base è fornita dalla base Haar , e le funzioni che abbracciano lo spazio sono le wavelet Haar . In questo caso si trova uno spettro continuo , costituito dal disco unitario sul piano complesso . Dato nel disco unitario, in modo che , le funzioni ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$${\displaystyle |z|<1}$

${\displaystyle \psi _{z,k}(x)=\sum _{n=0}^{\infty}z^{n}\exp i\pi (2k+1)2^{n}x}$

obbedire

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}\psi _{z,k}=z\psi _{z,k}}$

per Questa è una base completa, in quanto ogni intero può essere scritto nella forma I polinomi di Bernoulli si recuperano ponendo e${\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}$${\displaystyle (2k+1)2^{n}.}$${\displaystyle k=0}$${\displaystyle z={\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},\dots }$

Una base completa può essere data anche in altri modi; possono essere scritti nei termini della funzione zeta di Hurwitz . Un'altra base completa è fornita dalla funzione Takagi . Questa è una funzione frattale, differenziabile da nessuna parte . Le autofunzioni sono esplicitamente della forma

${\displaystyle {\mbox{blanc}}_{w,k}(x)=\sum _{n=0}^{\infty}w^{n}s((2k+1)2^{n} X)}$

dov'è l' onda triangolare . Uno ha, di nuovo, ${\displaystyle s(x)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}{\mbox{blanc}}_{w,k}=w\;{\mbox{blanc}}_{w,k}.}$

Tutte queste diverse basi possono essere espresse come combinazioni lineari l'una dell'altra. In questo senso sono equivalenti.

Le autofunzioni frattali mostrano una simmetria esplicita sotto il gruppoide frattale del gruppo modulare ; questo è sviluppato in maggior dettaglio nell'articolo sulla funzione Takagi (la curva del biancomangiare). Forse non è una sorpresa; l'insieme di Cantor ha esattamente lo stesso insieme di simmetrie (così come le frazioni continue ). Questo porta poi elegantemente alla teoria delle equazioni ellittiche e delle forme modulari .

Guarda anche

• processo Bernoulli
• Schema Bernoulli
• Modello di Gilbert-Shannon-Reeds , una distribuzione casuale sulle permutazioni data applicando la mappa del raddoppio a un insieme di n punti uniformemente casuali sull'intervallo unitario

Appunti

Riferimenti