Equazione alle differenze razionali - Rational difference equation

Un'equazione differenza razionale è lineare equazione differenza di modulo

${\ displaystyle x_ {n + 1} = {\ frac {\ alpha + \ sum _ {i = 0} ^ {k} \ beta _ {i} x_ {ni}} {A + \ sum _ {i = 0} ^ {k} B_ {i} x_ {ni}}} ~,}$

dove le condizioni iniziali sono tali che il denominatore non svanisce mai per nessun n . ${\ displaystyle x_ {0}, x _ {- 1}, \ dots, x _ {- k}}$

Equazione alle differenze razionali del primo ordine

Un'equazione differenza razionale primo ordine è non lineare equazione differenza di modulo

${\ displaystyle w_ {t + 1} = {\ frac {aw_ {t} + b} {cw_ {t} + d}}.}$

Quando e la condizione iniziale sono numeri reali, questa equazione alle differenze viene chiamata equazione alle differenze di Riccati . ${\ displaystyle a, b, c, d}$${\ displaystyle w_ {0}}$

Tale equazione può essere risolta scrivendo come una trasformazione non lineare di un'altra variabile che a sua volta evolve linearmente. Quindi è possibile utilizzare metodi standard per risolvere l' equazione alle differenze lineari in . ${\ displaystyle w_ {t}}$${\ displaystyle x_ {t}}$${\ displaystyle x_ {t}}$

Risolvere un'equazione del primo ordine

Primo approccio

Un approccio per sviluppare la variabile trasformata , quando , è scrivere ${\ displaystyle x_ {t}}$${\ displaystyle ad-bc \ neq 0}$

${\ displaystyle y_ {t + 1} = \ alpha - {\ frac {\ beta} {y_ {t}}}}$

dove e e dove . ${\ displaystyle \ alpha = (a + d) / c}$${\ displaystyle \ beta = (ad-bc) / c ^ {2}}$${\ displaystyle w_ {t} = y_ {t} -d / c}$

Si può dimostrare che ulteriori scritti cedono ${\ displaystyle y_ {t} = x_ {t + 1} / x_ {t}}$

${\ displaystyle x_ {t + 2} - \ alpha x_ {t + 1} + \ beta x_ {t} = 0.}$

Secondo approccio

Questo approccio fornisce un'equazione alla differenza del primo ordine invece di una del secondo ordine, nel caso in cui non sia negativa. Scrivi implicando , dove è dato e dove . Quindi si può dimostrare che si evolve secondo ${\ displaystyle x_ {t}}$${\ displaystyle (da) ^ {2} + 4bc}$${\ displaystyle x_ {t} = 1 / (\ eta + w_ {t})}$${\ displaystyle w_ {t} = (1- \ eta x_ {t}) / x_ {t}}$${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle \ eta = (d-a + r) / 2c}$${\ displaystyle r = {\ sqrt {(da) ^ {2} + 4bc}}}$${\ displaystyle x_ {t}}$

${\ displaystyle x_ {t + 1} = \ sinistra ({\ frac {d- \ eta c} {\ eta c + a}} \ right) x_ {t} + {\ frac {c} {\ eta c + un}}.}$

Terzo approccio

L'equazione

${\ displaystyle w_ {t + 1} = {\ frac {aw_ {t} + b} {cw_ {t} + d}}}$

può anche essere risolto trattandolo come un caso speciale dell'equazione di matrice più generale

${\ displaystyle X_ {t + 1} = - (E + BX_ {t}) (C + AX_ {t}) ^ {- 1},}$

dove tutti A, B, C, E e X sono matrici n × n (in questo caso n = 1); la soluzione di questo è

${\ displaystyle X_ {t} = N_ {t} D_ {t} ^ {- 1}}$

dove

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} N_ {t} \\ D_ {t} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} -B & -E \\ A&C \ end {pmatrix}} ^ {t} { \ begin {pmatrix} X_ {0} \\ I \ end {pmatrix}}.}$

Applicazione

È stato dimostrato in quella una matrice dinamica Riccati equazione della forma

${\ displaystyle H_ {t-1} = K + A'H_ {t} A-A'H_ {t} C (C'H_ {t} C) ^ {- 1} C'H_ {t} A,}$

che può sorgere in alcuni problemi di controllo ottimale a tempo discreto , può essere risolto utilizzando il secondo approccio sopra se la matrice C ha solo una riga in più rispetto alla colonna.

Riferimenti

Ulteriore lettura

• Simons, Stuart, "A non-linear difference equation", Mathematical Gazette 93, novembre 2009, 500-504.