Equazione alle differenze lineari - Linear difference equation

In matematica e in particolare i sistemi dinamici , un'equazione lineare differenza o recidiva relazione lineare insiemi uguale a 0 un polinomio che è lineare nei vari iterate di una variabile -cioè, nei valori degli elementi di una sequenza . La linearità del polinomio significa che ciascuno dei suoi termini ha grado 0 o 1. Di solito il contesto è l'evoluzione di qualche variabile nel tempo, con l'attuale periodo di tempo o momento discreto indicato come t , un periodo prima indicato come t − 1 , un periodo dopo come t + 1 , ecc.

Un'equazione alle differenze lineare di ordine n- esimo è una che può essere scritta in termini di parametri a ₁ , …, a _n e b come

${\displaystyle y_{t}=a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{n}y_{tn}+b,}$

o equivalentemente come

${\displaystyle y_{t+n}=a_{1}y_{t+n-1}+\cdots +a_{n}y_{t}+b.}$

L'equazione si dice omogenea se b = 0 e non omogenea se b ≠ 0 . Poiché l'intervallo di tempo più lungo tra le iterazioni che appaiono nell'equazione è n , questa è un'equazione di ordine n- esimo, dove n potrebbe essere un qualsiasi numero intero positivo . Quando il ritardo più lungo è specificato numericamente in modo che n non appaia in notazione come il ritardo temporale più lungo, occasionalmente viene utilizzato n invece di t per indicizzare le iterazioni.

Nel caso più generale i coefficienti a _i e b potrebbero essere essi stessi funzioni di t ; tuttavia, questo articolo tratta il caso più comune, quello dei coefficienti costanti. Se i coefficienti a _i sono polinomi in t l'equazione è detta equazione di ricorrenza lineare con coefficienti polinomiali .

La soluzione di tale equazione è una funzione di t , e non di alcun valore iterato, dando il valore dell'iterazione in qualsiasi momento. Per trovare la soluzione è necessario conoscere i valori specifici (detti condizioni iniziali ) di n degli iterati, e normalmente questi sono gli n iterati più vecchi. L'equazione o la sua variabile si dice stabile se da qualsiasi insieme di condizioni iniziali esiste il limite della variabile all'infinito; questo limite è chiamato stato stazionario .

Le equazioni alle differenze sono utilizzate in una varietà di contesti, come in economia per modellare l'evoluzione nel tempo di variabili come il prodotto interno lordo , il tasso di inflazione , il tasso di cambio , ecc. Sono utilizzate nella modellazione di tali serie temporali perché i valori di queste le variabili sono misurate solo a intervalli discreti. Nelle applicazioni econometriche , le equazioni alle differenze lineari sono modellate con termini stocastici sotto forma di modelli autoregressivi (AR) e in modelli come i modelli di autoregressione vettoriale (VAR) e di media mobile autoregressiva (ARMA) che combinano AR con altre caratteristiche.

Soluzione di caso omogeneo

Equazione caratteristica e radici

Risolvere l'equazione omogenea

${\displaystyle x_{t}=a_{1}x_{t-1}+\cdots +a_{n}x_{tn}}$

implica prima risolvere la sua equazione caratteristica

${\displaystyle \lambda ^{n}=a_{1}\lambda ^{n-1}+\cdots +a_{n-2}\lambda ^{2}+a_{n-1}\lambda +a_{ n}}$

per le sue caratteristiche radici λ ₁ , ..., λ _n . Queste radici possono essere risolte per algebricamente se n 4 , ma non necessariamente altrimenti . Se la soluzione deve essere utilizzata numericamente, tutte le radici di questa equazione caratteristica possono essere trovate con metodi numerici . Tuttavia, per l'uso in un contesto teorico, può essere che l'unica informazione richiesta sulle radici sia se qualcuna di esse è maggiore o uguale a 1 in valore assoluto .

Può essere che tutte le radici siano reali o invece potrebbero essercene alcune che sono numeri complessi . In quest'ultimo caso, tutte le radici complesse si presentano in coppie coniugate complesse .

Soluzione con radici caratteristiche distinte

Se tutte le radici caratteristiche sono distinte, la soluzione dell'equazione alle differenze lineare omogenea

${\displaystyle x_{t}=a_{1}x_{t-1}+\cdots +a_{n}x_{tn}}$

può essere scritto in termini delle radici caratteristiche come

${\displaystyle x_{t}=c_{1}\lambda _{1}^{t}+\cdots +c_{n}\lambda _{n}^{t}}$

dove i coefficienti c _i si trovano invocando le condizioni iniziali. In particolare, per ogni periodo di tempo per il quale è noto un valore iterato, tale valore e il suo corrispondente valore di t possono essere sostituiti nell'equazione risolutiva per ottenere un'equazione lineare negli n parametri ancora sconosciuti; n tali equazioni, una per ogni condizione iniziale, possono essere risolte simultaneamente per gli n valori dei parametri. Se tutte le radici caratteristiche sono reali, allora tutti i valori dei coefficienti c _i saranno anche reale; ma con radici complesse non reali, in generale alcuni di questi coefficienti saranno anche non reali.

Conversione di soluzioni complesse in forma trigonometrica

Se ci sono radici complesse, vengono in coppie coniugate e così anche i termini complessi nell'equazione della soluzione. Se due di questi termini complessi sono c _j λ^t
_je c _{j +1} λ^t
_{j +1}, le radici λ _j possono essere scritte come

${\displaystyle \lambda _{j},\lambda _{j+1}=\alpha \pm \beta i=M\left({\frac {\alpha }{M}}\pm {\frac {\beta }{M}}i\giusto)}$

dove i è l' unità immaginaria e M è il modulo delle radici:

${\displaystyle M={\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}.}$

Quindi i due termini complessi nell'equazione della soluzione possono essere scritti come

${\displaystyle {\begin{allineato}c_{j}\lambda _{j}^{t}+c_{j+1}\lambda _{j+1}^{t}&=M^{t}\ left(c_{j}\left({\frac {\alpha }{M}}+{\frac {\beta }{M}}i\right)^{t}+c_{j+1}\left( {\frac {\alpha }{M}}-{\frac {\beta }{M}}i\right)^{t}\right)\\[6pt]&=M^{t}\left(c_ {j}\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)^{t}+c_{j+1}\left(\cos \theta -i\sin \theta \right)^{t} \right)\\[6pt]&=M^{t}{\bigl (}c_{j}\left(\cos \theta t+i\sin \theta t\right)+c_{j+1}\ left(\cos \theta ti\sin \theta t\right){\bigr )}\end{allineato}}}$

dove θ è l'angolo il cui coseno è α/m e di chi è il seno ?/m; l'ultima uguaglianza qui ha fatto uso della formula di de Moivre .

Ora il processo di ricerca dei coefficienti c _j e c _{j +1} garantisce che sono anche coniugati complessi, che possono essere scritti come γ ± δi . Usando questo nell'ultima equazione si ottiene questa espressione per i due termini complessi nell'equazione della soluzione:

${\displaystyle 2M^{t}\left(\gamma \cos \theta t-\delta \sin \theta t\right)}$

che si può scrivere anche come

${\displaystyle 2{\sqrt {\gamma ^{2}+\delta ^{2}}}M^{t}\cos(\theta t+\psi)}$

dove ψ è l'angolo il cui coseno è?/√ y ² + δ ² e di chi è il seno ?/√ y ² + δ ².

Ciclicità

A seconda delle condizioni iniziali, anche con tutte le radici reali, le iterazioni possono sperimentare una tendenza transitoria ad andare al di sopra e al di sotto del valore dello stato stazionario. Ma la vera ciclicità implica una tendenza permanente a fluttuare, e questo si verifica se c'è almeno una coppia di radici caratteristiche complesse coniugate. Questo si può vedere nella forma trigonometrica del loro contributo all'equazione della soluzione, che coinvolge cos  θt e sin  θt .

Soluzione con radici caratteristiche duplicate

Nel caso del secondo ordine, se le due radici sono identiche ( λ ₁ = λ ₂ ), possono essere entrambe indicate come λ e una soluzione può essere della forma

${\displaystyle x_{t}=c_{1}\lambda ^{t}+c_{2}t\lambda ^{t}.}$

Conversione in forma omogenea

Se b ≠ 0 , l'equazione

${\displaystyle y_{t}=a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{n}y_{tn}+b}$

si dice non omogeneo . Per risolvere questa equazione è conveniente convertirla in forma omogenea, senza termine costante. Questo viene fatto trovando prima il valore di stato stazionario dell'equazione, un valore y * tale che, se n iterazioni successive tutte avessero questo valore, lo sarebbero anche tutti i valori futuri. Questo valore si trova ponendo tutti i valori di y uguali a y * nell'equazione alle differenze, e risolvendo, ottenendo così

${\displaystyle y^{*}={\frac {b}{1-a_{1}-\cdots -a_{n}}}}$

assumendo che il denominatore non sia 0. Se è zero, lo stato stazionario non esiste.

Dato lo stato stazionario, l'equazione alle differenze può essere riscritta in termini di deviazioni delle iterazioni dallo stato stazionario, come

${\displaystyle \left(y_{t}-y^{*}\right)=a_{1}\left(y_{t-1}-y^{*}\right)+\cdots +a_{n} \left(y_{tn}-y^{*}\right)}$

che non ha un termine costante e che può essere scritto più succintamente come

${\displaystyle x_{t}=a_{1}x_{t-1}+\cdots +a_{n}x_{tn}}$

dove x è uguale a y − y * . Questa è la forma omogenea.

Se non c'è stato stazionario, l'equazione alle differenze

${\displaystyle y_{t}=a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{n}y_{tn}+b}$

può essere combinato con la sua forma equivalente

${\displaystyle y_{t-1}=a_{1}y_{t-2}+\cdots +a_{n}y_{t-(n+1)}+b}$

ottenere (risolvendo entrambi per b )

${\displaystyle y_{t}-a_{1}y_{t-1}-\cdots -a_{n}y_{tn}=y_{t-1}-a_{1}y_{t-2}-\ cdots -a_{n}y_{t-(n+1)}}$

in cui termini simili possono essere combinati per dare un'equazione omogenea di un ordine superiore all'originale.

Stabilità

Nell'equazione soluzione

${\displaystyle x_{t}=c_{1}\lambda _{1}^{t}+\cdots +c_{n}\lambda _{n}^{t},}$

un termine con radici caratteristiche reali converge a 0 al crescere di t indefinitamente se il valore assoluto della radice caratteristica è minore di 1. Se il valore assoluto è uguale a 1, il termine rimarrà costante all'aumentare di t se la radice è +1 ma oscilla tra due valori se la radice è -1. Se il valore assoluto della radice è maggiore di 1 il termine diventerà sempre più grande nel tempo. Una coppia di termini con radici caratteristiche complesse coniugate convergerà a 0 con fluttuazioni di smorzamento se il valore assoluto del modulo M delle radici è minore di 1; se il modulo è uguale a 1, persisteranno fluttuazioni di ampiezza costanti nei termini combinati; e se il modulo è maggiore di 1, i termini combinati mostreranno fluttuazioni di grandezza sempre crescente.

Quindi la variabile in evoluzione x convergerà a 0 se tutte le radici caratteristiche hanno grandezza minore di 1.

Se la radice più grande ha valore assoluto 1, non si verificherà né la convergenza a 0 né la divergenza all'infinito. Se tutte le radici di modulo 1 sono reali e positive, x convergerà alla somma dei loro termini costanti c _i ; a differenza del caso stabile, questo valore convergente dipende dalle condizioni iniziali; diversi punti di partenza portano a punti diversi nel lungo periodo. Se una radice è -1, il suo termine contribuirà a fluttuazioni permanenti tra due valori. Se una qualsiasi delle radici di grandezza unitaria è complessa, le fluttuazioni di ampiezza costante di x persisteranno.

Infine, se una radice caratteristica ha una grandezza maggiore di 1, allora x diverge all'infinito man mano che il tempo va all'infinito, o oscillerà tra valori positivi e negativi sempre più grandi.

Un teorema di Issai Schur afferma che tutte le radici hanno modulo minore di 1 (caso stabile) se e solo se una particolare stringa di determinanti sono tutte positive.

Se un'equazione alle differenze lineare non omogenea è stata convertita nella forma omogenea che è stata analizzata come sopra, allora le proprietà di stabilità e ciclicità dell'equazione originale non omogenea saranno le stesse di quelle della forma omogenea derivata, con convergenza nella caso stabile essendo al valore di stato stazionario y * invece che a 0.

Soluzione per conversione in forma matriciale

Un metodo di soluzione alternativo prevede la conversione dell'equazione alle differenze di ordine n- esimo in un'equazione alle differenze di matrice del primo ordine . Ciò si ottiene scrivendo w _{1, t} = y _t , w _{2, t} = y _{t −1} = w _{1, t −1} , w _{3, t} = y _{t −2} = w _{2, t −1} e così via . Allora la singola equazione di ordine n -esimo originale

${\displaystyle y_{t}=a_{1}y_{t-1}+a_{2}y_{t-2}+\cdots +a_{n}y_{tn}+b}$

possono essere sostituite dalle seguenti n equazioni del primo ordine:

${\displaystyle {\begin{allineato}w_{1,t}&=a_{1}w_{1,t-1}+a_{2}w_{2,t-1}+\cdots +a_{n} w_{n,t-1}+b\\w_{2,t}&=w_{1,t-1}\\&\,\,\,\vdots \\w_{n,t}&=w_ {n-1,t-1}.\end{allineato}}}$

Definire il vettore w _i as

${\displaystyle \mathbf {w} _{i}={\begin{bmatrix}w_{1,i}\\w_{2,i}\\\vdots \\w_{n,i}\end{bmatrix} }}$

questo può essere messo in forma matriciale come

${\displaystyle \mathbf {w} _{t}=\mathbf {A} \mathbf {w} _{t-1}+\mathbf {b} }$

Qui A è una matrice n  ×  n in cui la prima riga contiene un ₁ , ..., un _n e tutte le altre righe hanno un singolo 1 con tutti gli altri elementi 0, e b è un vettore colonna con il primo elemento b e con il resto dei suoi elementi essendo 0.

Questa equazione di matrice può essere risolta utilizzando i metodi nell'articolo Equazione di differenza di matrice .

Guarda anche

• Relazione di ricorrenza
• Equazione differenziale lineare
• Teorema di Skolem-Mahler-Lech

Riferimenti