Fascio di matrici - Matrix pencil

In algebra lineare , se sono complesse matrici per qualche intero non negativo , e (la matrice zero), allora la matita matrice di grado è la funzione matrice valori definiti sui numeri complessi ${\ Displaystyle A_ {0}, A_ {1}, \ dots, A_ {l}}$${\ Displaystyle n \ times n}$${\ Displaystyle l}$${\ Displaystyle A_ {l} \ neq 0}$${\ Displaystyle l}$${\ Displaystyle L (\ lambda) = \ sum _ {i = 0} ^ {l} \ lambda ^ {i} A_ {i}.}$

Un caso particolare è una matita matrice lineare con cui e sono complesse (o reali) matrici. Indichiamo brevemente con la notazione . ${\ Displaystyle A- \ lambda B \,}$${\ Displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {C} {\ text {(o}} \ mathbb {R} {\ text {),}}}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle n \ times n}$${\ Displaystyle (A, B)}$

Una matita è chiamato regolare se v'è almeno un valore di tali che . Chiamiamo autovalori di una matita matrice di tutti i numeri complessi per i quali (vedi autovalore per il confronto). L'insieme degli autovalori si chiama spettro della matita ed è scritto . Inoltre, la matita è detto di avere uno o più autovalori all'infinito se ha uno o più 0 autovalori. ${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle \ det (A- \ lambda B) \ neq 0}$${\ Displaystyle (A, B)}$${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle \ det (A- \ lambda B) = 0}$${\ Displaystyle \ sigma (A, B)}$${\ Displaystyle B}$

applicazioni

Matite Matrix svolgono un ruolo importante in algebra lineare numerica . Il problema di trovare gli autovalori di una matita è chiamato il generalizzato problema agli autovalori . L'algoritmo più popolare per questo compito è l' algoritmo QZ , che è una versione implicita della algoritmo QR per risolvere il problema agli autovalori associato senza formare esplicitamente la matrice (che potrebbe essere impossibile o mal condizionato se è singolare o quasi singolare) ${\ Displaystyle B ^ {- 1} Ax = \ lambda x}$${\ Displaystyle B ^ {- 1} A}$${\ Displaystyle B}$

Matita generato dal pendolarismo matrici

Se , poi la matita generato da e :${\ Displaystyle AB = BA}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$

1. consiste solo matrici simile ad una matrice diagonale, o
2. non ha matrici in esso simile a una matrice diagonale, o
3. ha esattamente una matrice simile ad una matrice diagonale.

Guarda anche

• Generalizzata problema agli autovalori
• eigenproblem non lineare
• Quadratica problema agli autovalori
• Generalizzata quoziente di Rayleigh

Gli appunti

Riferimenti

• Golub, Gene H .; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix calcoli (3a ed.), Baltimore: Johns Hopkins University Press , ISBN  0-8018-5414-8
• Marcus & Minc (1969), Un sondaggio di teoria delle matrici e matrici disuguaglianze , Courier Dover Publications

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