decomposizione Schur - Schur decomposition

Nella disciplina matematica dell'algebra lineare , la decomposizione di Schur o triangolazione di Schur , dal nome di Issai Schur , è una scomposizione di matrici . Consente di scrivere una matrice quadrata complessa arbitraria come unitariamente equivalente a una matrice triangolare superiore i cui elementi diagonali sono gli autovalori della matrice originale.

Dichiarazione

La decomposizione di Schur si legge come segue: se A è una matrice quadrata n × n con elementi complessi , allora A può essere espresso come

${\displaystyle A=QUQ^{-1}}$

dove Q è una matrice unitaria (in modo che il suo inverso Q ⁻¹ sia anche la trasposta coniugata Q * di Q ), e U è una matrice triangolare superiore , che è chiamata forma di Schur di A . Poiché U è simile ad A , ha lo stesso spettro , e poiché è triangolare, i suoi autovalori sono gli elementi diagonali di U .

La decomposizione di Schur implica che esiste una sequenza annidata di sottospazi A -invarianti {0} = V ₀ ⊂ V ₁ ⊂ ⋯ ⊂ V _n = C ⁿ , e che esiste una base ortonormale ordinata (per la forma hermitiana standard di C ⁿ ) tale che i primi i vettori di base si estendano su V _i per ogni i che si verifica nella sequenza annidata. Formulata in modo un po' diverso, la prima parte dice che un operatore lineare J su uno spazio vettoriale complesso a dimensione finita stabilizza un flag completo ( V ₁ ,…, V _n ) .

Prova

Una dimostrazione costruttiva della decomposizione di Schur è la seguente: ogni operatore A su uno spazio vettoriale complesso a dimensione finita ha un autovalore λ , corrispondente a qualche autospazio V _λ . Sia V _λ ^{⊥ il} suo complemento ortogonale. È chiaro che, rispetto a questa scomposizione ortogonale, A ha una rappresentazione matriciale (si può scegliere qui qualsiasi base ortonormale Z ₁ e Z ₂ che abbraccia rispettivamente V _λ e V _λ ^⊥ )

${\displaystyle {\begin{bmatrix}Z_{1}&Z_{2}\end{bmatrix}}^{*}A{\begin{bmatrix}Z_{1}&Z_{2}\end{bmatrix}}={ \begin{bmatrix}\lambda \,I_{\lambda }&A_{12}\\0&A_{22}\end{bmatrix}}:{\begin{matrix}V_{\lambda }\\\oplus \\V_{ \lambda }^{\perp }\end{matrice}}\rightarrow {\begin{matrice}V_{\lambda }\\\oplus \\V_{\lambda }^{\perp }\end{matrice}}}$

dove I _λ è l'operatore identità su V _λ . La matrice di cui sopra sarebbe triangolare superiore ad eccezione del blocco A ₂₂ . Ma esattamente la stessa procedura può essere applicata alla sottomatrice A ₂₂ , vista come un operatore su V _λ ^⊥ , e alle sue sottomatrici. Continua in questo modo finché la matrice risultante non è triangolare superiore. Poiché ogni coniugazione aumenta la dimensione del blocco triangolare superiore di almeno uno, questo processo richiede al massimo n passaggi. Così lo spazio C ⁿ sarà esaurito e la procedura ha dato il risultato voluto.

L'argomento di cui sopra può essere leggermente riformulato come segue: sia λ un autovalore di A , corrispondente a qualche autospazio V _λ . A induce un operatore T sul quoziente spazio C ⁿ / V _λ . Questo operatore è precisamente la sottomatrice A ₂₂ dall'alto. Come prima, T avrebbe un autospazio, diciamo W _μ ⊂ C ⁿ modulo V _λ . Notare che la preimmagine di W _μ sotto la mappa del quoziente è un sottospazio invariante di A che contiene V _λ . Continuare in questo modo fino a quando lo spazio quoziente risultante ha dimensione 0. Quindi le successive preimmagini degli autospazi trovati ad ogni passo formano un flag che A stabilizza.

Appunti

Sebbene ogni matrice quadrata abbia una scomposizione di Schur, in generale questa scomposizione non è unica. Ad esempio, l'autospazio V _λ può avere dimensione> 1, nel qual caso una base ortonormale per V _λ porterebbe al risultato desiderato.

Scrivi la matrice triangolare U come U = D + N , dove D è diagonale e N è strettamente triangolare superiore (e quindi una matrice nilpotente ). La matrice diagonale D contiene gli autovalori di A in ordine arbitrario (quindi la sua norma di Frobenius, al quadrato, è la somma dei moduli al quadrato degli autovalori di A , mentre la norma di Frobenius di A , al quadrato, è la somma dei valori al quadrato dei singolari di A ). Anche la parte nilpotente N non è generalmente unica, ma la sua norma di Frobenius è determinata in modo univoco da A (proprio perché la norma di Frobenius di A è uguale alla norma di Frobenius di U = D + N ).

È chiaro che se A è una matrice normale , allora U dalla sua decomposizione Schur deve essere una matrice diagonale ei vettori colonna di Q sono gli autovettori di A . Pertanto, la decomposizione di Schur estende la decomposizione spettrale . In particolare, se A è definita positiva , la scomposizione di Schur di A , la sua decomposizione spettrale e la sua decomposizione in valore singolare coincidono.

Una famiglia commutante { A _i } di matrici può essere contemporaneamente triangolare, cioè esiste una matrice unitaria Q tale che, per ogni A _i della famiglia data, QA _i Q* è triangolare superiore. Questo può essere facilmente dedotto dalla dimostrazione di cui sopra. Prendi l'elemento A da { A _i } e considera ancora un autospazio V _A . Allora V _A è invariante per tutte le matrici in { A _i }. Pertanto, tutte le matrici in { A _i } devono condividere un autovettore comune in V _A . L'induzione poi dimostra la tesi. Come corollario, abbiamo che ogni famiglia commutante di matrici normali può essere diagonalizzata simultaneamente .

Nell'impostazione dimensionale infinita, non tutti gli operatori limitati su uno spazio di Banach hanno un sottospazio invariante. Tuttavia, la triangolazione superiore di una matrice quadrata arbitraria si generalizza agli operatori compatti . Ogni operatore compatto su uno spazio di Banach complesso ha un nido di sottospazi chiusi invarianti.

Calcolo

La decomposizione di Schur di una data matrice è calcolata numericamente dall'algoritmo QR o dalle sue varianti. In altre parole, le radici del polinomio caratteristico corrispondente alla matrice non sono necessariamente calcolate in anticipo per ottenere la sua scomposizione di Schur. Al contrario, l' algoritmo QR può essere utilizzato per calcolare le radici di un dato polinomio caratteristico trovando la decomposizione di Schur della sua matrice compagna . Allo stesso modo, l' algoritmo QR viene utilizzato per calcolare gli autovalori di una data matrice, che sono gli elementi diagonali della matrice triangolare superiore della decomposizione di Schur. Sebbene l' algoritmo QR sia formalmente una sequenza infinita di operazioni, la convergenza alla precisione della macchina è praticamente ottenuta nelle operazioni. Vedere la sezione Problemi agli autosimmetrici nella Guida per l'utente di LAPACK . ${\displaystyle {\mathcal {O}}(n^{3})}$

Applicazioni

Le applicazioni della teoria della bugia includono:

• Ogni operatore invertibile è contenuto in un gruppo di Borel .
• Ogni operatore fissa un punto del collettore a bandiera .

Decomposizione Schur generalizzata

Date le matrici quadrate A e B , la scomposizione generalizzata di Schur fattorizza entrambe le matrici come e , dove Q e Z sono unitarie e S e T sono triangolari superiori . La decomposizione generalizzata di Schur è talvolta chiamata anche decomposizione QZ . ${\displaystyle A=QSZ^{*}}$${\displaystyle B=QTZ^{*}}$

Gli autovalori generalizzati che risolvono il problema degli autovalori generalizzati (dove x è un vettore sconosciuto non nullo) possono essere calcolati come il rapporto tra gli elementi diagonali di S e quelli di T . Cioè, usando pedici per denotare elementi di matrice, l' i- esimo autovalore generalizzato soddisfa . ${\displaystyle \lambda}$ ${\displaystyle A\mathbf {x} =\lambda B\mathbf {x}}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle \lambda _{i}=S_{ii}/T_{ii}}$

Riferimenti