Contachilometri Markov - Markov odometer

In matematica, un contachilometri di Markov è un certo tipo di sistema dinamico topologico . Svolge un ruolo fondamentale nella teoria ergodica e soprattutto nella teoria dell'orbita dei sistemi dinamici , poiché un teorema di H. Dye afferma che ogni trasformazione ergodica non singolare è equivalente all'orbita di un contachilometri di Markov.

L'esempio base di tale sistema è il "odometro non singolare", che è un gruppo topologico additivo definito sullo spazio prodotto di spazi discreti , indotto per addizione definito come , dove . Questo gruppo può essere dotato della struttura di un sistema dinamico ; il risultato è un sistema dinamico conservativo . ${\displaystyle x\mapsto x+{\underline {1}}}$${\displaystyle {\underline {1}}:=(1,0,0,\dots)}$

La forma generale, chiamata "odometro di Markov", può essere costruita attraverso il diagramma di Bratteli-Vershik per definire lo spazio compatto di Bratteli-Vershik insieme a una trasformazione corrispondente.

Contachilometri non singolari

Possono essere definiti diversi tipi di contachilometri non singolari. Questi sono a volte indicati come aggiunta di macchine . Il più semplice è illustrato con il processo di Bernoulli . Questo è l'insieme di tutte le stringhe infinite in due simboli, qui indicato con dotato della topologia del prodotto . Questa definizione si estende naturalmente a un contachilometri più generale definito sullo spazio del prodotto${\displaystyle \Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }}$

${\displaystyle \Omega =\prod _{n\in \mathbb {N} }\left(\mathbb {Z} /k_{n}\mathbb {Z} \right)}$

per qualche sequenza di interi con ciascuno${\displaystyle (k_{n})}$${\displaystyle k_{n}\geq 2.}$

Il contachilometri per tutti è chiamato contachilometri diadico , la calcolatrice von Neumann-Kakutani o la calcolatrice diadica . ${\displaystyle k_{n}=2}$${\displaystyle n}$

L' entropia topologica di ogni macchina additiva è zero. Qualsiasi mappa continua di un intervallo con un'entropia topologica pari a zero è topologicamente coniugata a una macchina additiva, quando è limitata alla sua azione sull'insieme transitivo topologicamente invariante, con orbite periodiche rimosse.

Contachilometri diadico

Contachilometri diadico visualizzato come trasformazione di scambio di intervallo con la mappatura${\displaystyle T}$${\displaystyle (x_{1},x_{2},\cdots )\mapsto \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x_{n}}{2^{n}}}. }$

Contachilometri diadico ripetuto due volte; questo è${\displaystyle T^{2}.}$

Contachilometri diadico iterato tre volte; questo è${\displaystyle T^{3}.}$

Il contachilometri diadico è stato ripetuto quattro volte; questo è${\displaystyle T^{4}.}$

L'insieme di tutte le stringhe infinite nelle stringhe in due simboli ha una topologia naturale, la topologia del prodotto , generata dagli insiemi di cilindri . La topologia del prodotto si estende a una sigma-algebra di Borel ; lasciare che denotano che l'algebra. I singoli punti sono indicati come${\displaystyle \Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle x\in\Omega}$${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots).}$

Il processo di Bernoulli è convenzionalmente dotato di un insieme di misure , le misure di Bernoulli, date da e , per alcuni indipendenti da . Il valore di è piuttosto speciale; corrisponde al caso speciale della misura di Haar , quando è visto come un gruppo abeliano compatto . Nota che la misura di Bernoulli non è la stessa della misura 2-adica sugli interi diadici ! Formalmente si può osservare che è anche lo spazio base per gli interi diadici; tuttavia, gli interi diadici sono dotati di una metrica , la metrica p-adica, che induce una topologia metrica distinta dalla topologia del prodotto qui utilizzata. ${\displaystyle \mu _{p}(x_{n}=1)=p}$${\displaystyle \mu _{p}(x_{n}=0)=1-p}$${\displaystyle 0<p<1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p=1/2}$${\displaystyle\Omega}$ ${\displaystyle\Omega}$

Lo spazio può essere dotato di addizione, definita come addizione di coordinate, con un bit di riporto. Cioè, per ogni coordinata, lascia dove e ${\displaystyle\Omega}$${\displaystyle (x+y)_{n}=x_{n}+y_{n}+\varepsilon _{n}\,{\bmod {\,}}2}$${\displaystyle \varepsilon _{0}=0}$

${\displaystyle \varepsilon _{n}={\begin{cases}0&x_{n-1}+y_{n-1}<2\\1&x_{n-1}+y_{n-1}=2\end {casi}}}$

induttivamente. L'incremento di uno è quindi chiamato contachilometri (diadico) . È la trasformazione data da , dove . Si chiama contachilometri per via di come appare quando si "ribalta": è la trasformazione . Nota che e questo è misurabile, cioè per tutti${\displaystyle T:\Omega \to \Omega }$${\displaystyle T(x)=x+{\sottolineatura {1}}}$${\displaystyle {\underline {1}}:=(1,0,0,\dots)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T\left(1,\dots ,1,0,x_{k+1},x_{k+2},\dots \right)=\left(0,\dots ,0,1,x_{ k+1},x_{k+2},\dots \right)}$${\displaystyle T^{-1}(0,0,\cdots)=(1,1,\cdots)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle T^{-1}(\sigma)\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \sigma \in {\mathcal {B}}.}$

La trasformazione non è singolare per ogni . Ricordiamo che una trasformazione misurabile è non singolare quando, dato , si ha che se e solo se . In questo caso si trova ${\displaystyle T}$${\displaystyle \mu _{p}}$${\displaystyle \tau :\Omega \to \Omega }$${\displaystyle \sigma \in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \mu (\tau ^{-1}\sigma)=0}$${\displaystyle \mu (\sigma)=0}$

${\displaystyle {\frac {d\mu _{p}\circ T}{d\mu _{p}}}=\left({\frac {1-p}{p}}\right)^{\ varphi }}$

dove . Quindi non è singolare rispetto a . ${\displaystyle \varphi (x)=\min \left\{n\in \mathbb {N} \mid x_{n}=0\right\}-2}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \mu _{p}}$

La trasformazione è ergodica . Ciò segue perché, per ogni numero naturale , l'orbita di sotto è l'insieme . Ciò a sua volta implica che è conservativo , poiché ogni trasformazione ergodica non singolare invertibile in uno spazio non atomico è conservativa. ${\displaystyle T}$${\displaystyle x\in\Omega}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$${\displaystyle T^{0},T^{1},\cdots ,T^{2^{n}-1}}$${\displaystyle \{0,1\}^{n}}$${\displaystyle T}$

Si noti che per il caso speciale di , questo è un sistema dinamico che conserva la misura . ${\displaystyle p=1/2}$${\displaystyle \left(\Omega,{\mathcal {B}},\mu _{1/2},T\right)}$

Contachilometri interi

La stessa costruzione permette di definire tale sistema per ogni prodotto di spazi discreti . In generale si scrive

${\displaystyle \Omega =\prod _{n\in \mathbb {N} }A_{n}}$

per con un numero intero. La topologia del prodotto si estende naturalmente al prodotto Borel sigma-algebra on . Una misura di prodotto su è convenzionalmente definita come una misura su . La mappa corrispondente è definita da ${\displaystyle A_{n}=\mathbb {Z} /m_{n}\mathbb {Z} =\{0,1,\dots,m_{n}-1\}}$${\displaystyle m_{n}\geq 2}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle\Omega}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \textstyle \mu =\prod _{n\in \mathbb {N} }\mu _{n},}$${\displaystyle \mu _{n}}$${\displaystyle A_{n}}$

${\displaystyle T(x_{1},\dots,x_{k},x_{k+1},x_{k+2},\dots)=(0,\dots ,0,x_{k+1} ,x_{k+2},\punti )}$

dove è l'indice più piccolo per cui . Questo è di nuovo un gruppo topologico. ${\displaystyle k}$${\displaystyle x_{k}\neq m_{k}-1}$

Un caso speciale di questo è il contachilometri di Ornstein , che è definito nello spazio

${\displaystyle \Omega =\left(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \right)\times \left(\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \right)\times \left(\ mathbb {Z} /4\mathbb {Z} \right)\times \cdots}$

con la misura un prodotto di

${\displaystyle \mu _{n}(j)={\begin{cases}1/2&{\mbox{ if }}j=0\\1/2(n+1)&{\mbox{ if }} j\neq 0\\\end{casi}}}$

Modello a catasta di sabbia

Un concetto strettamente legato al contachilometri conservativo è quello del modello abeliano a catasta di sabbia . Questo modello sostituisce la sequenza lineare diretta di gruppi finiti costruita sopra da un grafo non orientato di vertici e archi. Ad ogni vertice si pone un gruppo finito con il grado del vertice . Le funzioni di transizione sono definite dal grafico Laplacian . Cioè, si può incrementare un dato vertice di uno; quando si incrementa l'elemento del gruppo più grande (in modo che ricresca fino a zero), ciascuno dei vertici adiacenti viene incrementato di uno. ${\displaystyle (V,E)}$${\displaystyle v\in V}$${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z}}$${\displaystyle n=deg(v)}$${\displaystyle v}$

I modelli Sandpile differiscono dalla definizione di cui sopra di un contachilometri conservativo in tre modi diversi. Innanzitutto, in generale, non esiste un vertice univoco individuato come vertice di partenza, mentre in quanto sopra, il primo vertice è il vertice di partenza; è quello che viene incrementato dalla funzione di transizione. Successivamente, i modelli a pila di sabbia in generale utilizzano bordi non orientati, in modo che l'avvolgimento del contachilometri si ridistribuisca in tutte le direzioni. Una terza differenza è che i modelli sandpile di solito non sono presi su un grafico infinito, e che piuttosto viene individuato un vertice speciale, il "sink", che assorbe tutti gli incrementi e non si avvolge mai. Il sink equivale a tagliare via le parti infinite di un grafo infinito e sostituirle con il sink; alternativamente, ignorando tutte le modifiche oltre quel punto di terminazione.

Contachilometri Markov

Sia un diagramma di Bratteli–Vershik ordinato , costituito da un insieme di vertici della forma (unione disgiunta) dove è un singleton e da un insieme di archi (unione disgiunta). ${\displaystyle B=(V,E)}$${\displaystyle \textstyle \coprod _{n\in \mathbb {N} }V^{(n)}}$${\displaystyle V^{0}}$${\displaystyle \textstyle \coprod _{n\in \mathbb {N} }E^{(n)}}$

Il diagramma include le mappature della suzione della sorgente e le mappature della suzione dell'intervallo . Assumiamo che siano comparabili se e solo se . ${\displaystyle s_{n}:E^{(n)}\to V^{(n-1)}}$${\displaystyle r_{n}:E^{(n)}\to V^{(n)}}$${\displaystyle e,e'\in E^{(n)}}$${\displaystyle r_{n}(e)=r_{n}(e')}$

Per tale diagramma osserviamo lo spazio prodotto dotato della topologia prodotto . Definire "Bratteli–Vershik compactum" come il sottospazio di percorsi infiniti, ${\displaystyle \textstyle E:=\prod _{n\in \mathbb {N} }E^{(n)}}$

${\displaystyle X_{B}:=\left\{x=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in E\mid x_{n}\in E^{(n)} {\text{ e }}r(x_{n})=s(x_{n+1})\right\}}$

Supponiamo che esista un solo percorso infinito per il quale ciascuno è massimale e similmente un percorso infinito . Definire la "mappa Bratteli-Vershik" con e, per ogni define , dove è il primo indice per cui non è massimale e di conseguenza sia l'unico percorso per cui sono tutte massimali ed è il successore di . Allora è l' omeomorfismo di . ${\displaystyle x_{\max }=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle x_{\text{min}}}$${\displaystyle T_{B}:X_{B}\a X_{B}}$${\displaystyle T(x_{\max })=x_{\min }}$${\displaystyle x=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\neq x_{\max }}$${\displaystyle T_{B}(x_{1},\dots,x_{k},x_{k+1},\dots)=(y_{1},\dots,y_{k},x_{k+ 1},\punti )}$${\displaystyle k}$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle (y_{1},\dots ,y_{k})}$${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{k-1}}$${\displaystyle y_{k}}$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle T_{B}}$${\displaystyle X_{B}}$

Sia una successione di matrici stocastiche tale che se e solo se . Definire "misura di Markov" sui cilindri di by . Quindi il sistema è chiamato "contachilometri Markov". ${\displaystyle P=\left(P^{(1)},P^{(2)},\dots \right)}$ ${\displaystyle P^{(n)}=\left(p_{(v,e)\in V^{n-1}\times E^{(}n)}^{(n)}\right)}$${\displaystyle p_{v,e}^{(n)}>0}$${\displaystyle v=s_{n}(e)}$${\displaystyle X_{B}}$${\displaystyle \mu _{P}([e_{1},\dots ,e_{n}])=p_{s_{1}(e_{1}),e_{1}}^{(1)} \cdots p_{s_{n}(e_{n}),e_{n}}^{(n)}}$${\displaystyle \left(X_{B},{\mathcal {B}},\mu _{P},T_{B}\right)}$

Si può dimostrare che il contachilometri non singolare è un contachilometri Markov in cui tutti sono singleton. ${\displaystyle V^{(n)}}$

Guarda anche

• Modello di sabbia abeliana

Riferimenti

Ulteriori letture

• Aaronson, J. (1997). Un'introduzione alla teoria ergodica infinita . Indagini matematiche e monografie. 50 . Società matematica americana . pp. 25-32. ISBN 9781470412814.
• Dooley, Anthony H. (2003). "Contachilometri Markov". A Bezuglyi, Sergey; Kolyada, Sergiy (a cura di). Argomenti di dinamica e teoria ergodica. Documenti di indagine e mini-corsi presentati alla conferenza internazionale e al workshop USA-Ucraina sui sistemi dinamici e la teoria ergodica, Katsiveli, Ucraina, 21-30 agosto 2000 . Londra. Matematica. Soc. lett. Nota Ser. 310 . Cambridge: Pressa dell'università di Cambridge . pp. 60-80. ISBN 0-521-53365-1. Zbl  1063.37005 .