Dinamica topologica - Topological dynamics

In matematica , la dinamica topologica è una branca della teoria dei sistemi dinamici in cui vengono studiate le proprietà qualitative asintotiche dei sistemi dinamici dal punto di vista della topologia generale .

Scopo

L'oggetto centrale di studio in dinamica topologica è un sistema dinamico topologico , cioè uno spazio topologico , insieme a una trasformazione continua , un flusso continuo, o più in generale, un semigruppo di trasformazioni continue di quello spazio. Le origini della dinamica topologica risiedono nello studio delle proprietà asintotiche di traiettorie di sistemi di equazioni differenziali ordinarie autonome , in particolare, il comportamento di insiemi di limiti e varie manifestazioni di "ripetitività" del moto, come traiettorie periodiche, ricorrenza e minimalità, stabilità, punti non vaganti . George Birkhoff è considerato il fondatore del settore. Un teorema di struttura per i flussi distali minimi dimostrato da Hillel Furstenberg nei primi anni '60 ha ispirato molto lavoro sulla classificazione dei flussi minimi. Molte ricerche negli anni '70 e '80 sono state dedicate alla dinamica topologica delle mappe unidimensionali, in particolare alle auto-mappe lineari a tratti dell'intervallo e del cerchio.

A differenza della teoria dei sistemi dinamici lisci, dove l'oggetto principale di studio è una varietà liscia con un diffeomorfismo o un flusso regolare, gli spazi di fase considerati nella dinamica topologica sono spazi metrici generali (di solito, compatti ). Ciò richiede lo sviluppo di tecniche completamente diverse ma consente un ulteriore grado di flessibilità anche nell'impostazione liscia, perché i sottoinsiemi invarianti di una varietà sono spesso molto complicati topologicamente (cfr ciclo limite , attrattore strano ); inoltre, gli spazi di spostamento derivanti da rappresentazioni simboliche possono essere considerati su un piano di parità con azioni più geometriche. La dinamica topologica ha connessioni intime con la teoria ergodica dei sistemi dinamici, e molti concetti fondamentali di quest'ultima hanno analoghi topologici (cfr. Entropia di Kolmogorov – Sinai ed entropia topologica ).

Guarda anche

Riferimenti

  • DV Anosov (2001) [1994], "Topological dynamics" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
  • Joseph Auslander (a cura di). "Dinamica topologica" . Scholarpedia .
  • Robert Ellis, Lectures on topological dynamics . WA Benjamin, Inc., New York 1969
  • Walter Gottschalk , Gustav Hedlund , Topological dynamics . Pubblicazioni del colloquio dell'American Mathematical Society, vol. 36. American Mathematical Society, Providence, RI, 1955
  • J. de Vries, Elementi di dinamica topologica . Matematica e sue applicazioni, 257. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1993 ISBN  0-7923-2287-8
  • Ethan Akin, The General Topology of Dynamical Systems , AMS Bookstore, 2010, ISBN  978-0-8218-4932-3
  • J. de Vries, Topological Dynamical Systems: An Introduction to the Dynamics of Continuous Mappings , De Gruyter Studies in Mathematics, 59, De Gruyter, Berlino, 2014, ISBN  978-3-1103-4073-0
  • Jian Li e Xiang Dong Ye, Recenti sviluppi della teoria del caos nelle dinamiche topologiche , Acta Mathematica Sinica, Serie inglese, 2016, Volume 32, Numero 1, pp. 83–114.