Operatore di chiusura - Closure operator

In matematica , un operatore di chiusura su un insieme S è una funzione dall'insieme delle potenze di S a se stesso che soddisfa le seguenti condizioni per tutti gli insiemi${\displaystyle \operatorname {cl} :{\mathcal {P}}(S)\rightarrow {\mathcal {P}}(S)}$${\displaystyle X,Y\subseteq S}$

${\displaystyle X\subseteq \nomeoperatore {cl} (X)}$	(cl è esteso ),
${\displaystyle X\subseteq Y\Rightarrow \operatorname {cl} (X)\subseteq \operatorname {cl} (Y)}$	(cl è monotono ),
${\displaystyle \operatorname {cl} (\operatorname {cl} (X))=\operatorname {cl} (X)}$	(cl è idempotente ).

Gli operatori di chiusura sono determinati dai loro insiemi chiusi , cioè dagli insiemi della forma cl( X ), poiché la chiusura cl( X ) di un insieme X è il più piccolo insieme chiuso contenente X . Tali famiglie di "insiemi chiusi" sono talvolta chiamate sistemi di chiusura o " famiglie di Moore ", in onore di EH Moore che studiò gli operatori di chiusura nella sua Introduzione a una forma di analisi generale del 1910 , mentre il concetto di chiusura di un sottoinsieme ebbe origine nel lavoro di Frigyes Riesz in relazione agli spazi topologici. Sebbene non formalizzata all'epoca, l'idea di chiusura ebbe origine alla fine del XIX secolo con notevoli contributi di Ernst Schröder , Richard Dedekind e Georg Cantor .

Gli operatori di chiusura sono anche chiamati " operatori di scafo ", il che evita confusione con gli "operatori di chiusura" studiati nella topologia . Un insieme con un operatore di chiusura su di esso è talvolta chiamato spazio di chiusura .

Applicazioni

Gli operatori di chiusura hanno molte applicazioni:

In topologia, gli operatori di chiusura sono operatori di chiusura topologici , che devono soddisfare

${\displaystyle \operatorname {cl} (X_{1}\cup \dots \cup X_{n})=\operatorname {cl} (X_{1})\cup \dots \cup \operatorname {cl} (X_{ n})}$

per tutti (Nota che per questo dà ). ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle n=0}$${\displaystyle \nomeoperatore {cl} (\varnothing)=\varnothing}$

In algebra e logica , molti operatori di chiusura sono operatori di chiusura finitari , cioè soddisfano

${\displaystyle \operatorname {cl} (X)=\bigcup \left\{\operatorname {cl} (Y):Y\subseteq X{\text{ e }}Y{\text{ finito}}\right\} .}$

Nella teoria degli insiemi parzialmente ordinati , che sono importanti nell'informatica teorica , gli operatori di chiusura hanno una definizione più generale che sostituisce con . (Vedi § Operatori di chiusura su insiemi parzialmente ordinati .) ${\displaystyle \subseteq}$${\displaystyle \leq}$

Operatori di chiusura in topologia

La chiusura topologica di un sottoinsieme X di uno spazio topologico è costituita da tutti i punti y dello spazio, in modo che ogni intorno di y contenga un punto di X . La funzione che associa ad ogni sottoinsieme X la sua chiusura è un operatore di chiusura topologica. Viceversa, ogni operatore topologico di chiusura su un insieme dà luogo a uno spazio topologico i cui chiusi sono esattamente gli insiemi chiusi rispetto all'operatore di chiusura.

Operatori di chiusura in algebra

Gli operatori di chiusura finiti giocano un ruolo relativamente importante nell'algebra universale , e in questo contesto sono tradizionalmente chiamati operatori di chiusura algebrici . Ogni sottoinsieme di un'algebra genera una sottoalgebra : la più piccola sottoalgebra contenente l'insieme. Questo dà luogo a un operatore di chiusura finitario.

Forse l'esempio più noto di ciò è la funzione che associa ad ogni sottoinsieme di un dato spazio vettoriale il suo arco lineare . Analogamente, la funzione che associa ad ogni sottoinsieme di un dato gruppo il sottogruppo da esso generato, e analogamente per i campi e tutti gli altri tipi di strutture algebriche .

Lo span lineare in uno spazio vettoriale e la simile chiusura algebrica in un campo soddisfano entrambe la proprietà di scambio: se x è nella chiusura dell'unione di A e { y } ma non nella chiusura di A , allora y è nella chiusura dell'unione di A e { x }. Un operatore di chiusura finitario con questa proprietà è chiamato matroide . La dimensione di uno spazio vettoriale, o il grado di trascendenza di un campo (sul suo campo primo ) è esattamente il rango del corrispondente matroide.

La funzione che mappa ogni sottoinsieme di un dato campo alla sua chiusura algebrica è anche un operatore di chiusura finitario, e in generale è diverso dall'operatore menzionato prima. Gli operatori di chiusura finiti che generalizzano questi due operatori sono studiati nella teoria dei modelli come dcl (per la chiusura definibile ) e acl (per la chiusura algebrica ).

Il guscio convesso in n -dimensionale spazio euclideo è un altro esempio di un operatore di chiusura finitario. Soddisfa la proprietà anti-scambio: se x è nella chiusura dell'unione di { y } e A , ma non nell'unione di { y } e nella chiusura di A , allora y non è nella chiusura dell'unione di { x } e A . Operatori di chiusura finiti con questa proprietà danno luogo ad antimatroidi .

Come altro esempio di operatore di chiusura utilizzato in algebra, se un'algebra ha l'universo A e X è un insieme di coppie di A , allora l'operatore che assegna a X la congruenza più piccola contenente X è un operatore di chiusura finito su A x A .

Operatori di chiusura in logica

Supponiamo di avere un formalismo logico che contiene determinate regole che consentono di derivare nuove formule da quelle date. Considera l'insieme F di tutte le formule possibili, e sia P l' insieme delle potenze di F , ordinato per . Per un insieme X di formule, sia cl( X ) l'insieme di tutte le formule che possono essere derivate da X . Allora cl è un operatore di chiusura su P . Più precisamente, possiamo ottenere cl come segue. Chiamare "continuo" un operatore J tale che, per ogni classe diretta T ,

J ( lim T ) = lim J ( T ).

Questa condizione di continuità è basata su un teorema di punto fisso per J . Consideriamo l'operatore a un passo J di una logica monotona. È l'operatore che associa un qualsiasi insieme X di formule all'insieme J ( X ) di formule che sono assiomi logici o sono ottenute da una regola di inferenza da formule in X o sono in X . Allora tale operatore è continuo e possiamo definire cl( X ) come il punto minimo fisso per J maggiore o uguale a X . In accordo con tale punto di vista, Tarski, Brown, Suszko e altri autori hanno proposto un approccio generale alla logica basato sulla teoria degli operatori di chiusura. Inoltre, tale idea è proposta nella logica di programmazione (vedi Lloyd 1987) e nella logica fuzzy (vedi Gerla 2000).

Operatori di conseguenza

Intorno al 1930, Alfred Tarski sviluppò una teoria astratta delle deduzioni logiche che modella alcune proprietà dei calcoli logici. Matematicamente, ciò che ha descritto è solo un operatore di chiusura finitario su un insieme (l'insieme di frasi ). Nella logica algebrica astratta , gli operatori di chiusura finitari sono ancora studiati sotto il nome di operatore di conseguenza , coniato da Tarski. L'insieme S rappresenta un insieme di enunciati, un sottoinsieme T di S una teoria, e cl( T ) è l'insieme di tutti gli enunciati che seguono dalla teoria. Oggigiorno il termine può riferirsi a operatori di chiusura che non necessitano di essere finiti; Gli operatori di chiusura finitaria sono talvolta chiamati operatori a conseguenze finite .

Insiemi chiusi e pseudo-chiusi

Gli insiemi chiusi rispetto ad un operatore di chiusura su S formano un sottoinsieme C dell'insieme di potenza P ( S ). Ogni intersezione di insiemi in C è di nuovo in C . In altre parole, C è un sottosemireticolo completo di P ( S ). Viceversa, se C ⊆ P ( S ) è chiuso per intersezioni arbitrarie, allora la funzione che associa ad ogni sottoinsieme X di S il più piccolo insieme Y ∈ C tale che X ⊆ Y è un operatore di chiusura.

Esiste un algoritmo semplice e veloce per generare tutti gli insiemi chiusi di un dato operatore di chiusura.

Un operatore di chiusura su un insieme è topologico se e solo se l'insieme degli insiemi chiusi è chiuso rispetto a unioni finite, cioè C è un sottoreticolo completo di P ( S ). Anche per operatori di chiusura non topologici, C può essere visto come avente la struttura di un reticolo. (L'unione di due insiemi X , essendo Y ⊆ P ( S ) cl( X Y ).) Ma allora C non è un sottoreticolo del reticolo P ( S ). ${\displaystyle \cup}$

Dato un operatore di chiusura finitaria su un insieme, le chiusure degli insiemi finiti sono esattamente gli elementi compatti dell'insieme C degli insiemi chiusi. Ne segue che C è un poset algebrico . Poiché anche C è un reticolo, in questo contesto viene spesso definito reticolo algebrico. Viceversa, se C è un poset algebrico, allora l'operatore di chiusura è finito.

Ogni operatore di chiusura su un insieme finito S è determinato in modo univoco dalle sue immagini dei suoi insiemi pseudo-chiusi . Questi sono definiti ricorsivamente: Un insieme è pseudo-chiuso se non è chiuso e contiene la chiusura di ciascuno dei suoi sottoinsiemi propri pseudo-chiusi. Formalmente: P  ⊆  S è pseudochiuso se e solo se

• P  ≠ cl( P ) e
• se Q  ⊂  P è pseudochiuso, allora cl( Q ) ⊆  P .

Operatori di chiusura su insiemi parzialmente ordinati

Un insieme parzialmente ordinato (poset) è un insieme con un ordine parziale ≤, cioè una relazione binaria che è riflessiva ( a ≤ a ), transitiva ( a ≤ b ≤ c implica a ≤ c ) e antisimmetrica ( a ≤ b ≤ a implica a  =  b ). Ogni insieme di potenze P ( S ) insieme all'inclusione è un insieme parzialmente ordinato.

Una funzione cl: P → P da un ordine parziale P a se stessa è detta operatore di chiusura se soddisfa i seguenti assiomi per tutti gli elementi x , y in P .

x ≤ cl( x )	(cl è esteso )
x ≤ y implica cl( x ) ≤ cl( y )	(cl sta aumentando )
cl(cl( x )) = cl( x )	(cl è idempotente )

Sono disponibili alternative più succinte: la definizione sopra è equivalente al singolo assioma

x ≤ cl( y ) se e solo se cl( x ) ≤ cl( y )

per ogni x , y in P .

Usando l' ordine puntuale sulle funzioni tra i poset, si può in alternativa scrivere la proprietà di estensione come id _P ≤ cl, dove id è la funzione identità . Un'auto-mappa k che è crescente e idempotente, ma soddisfa il duale della proprietà di estensione, cioè k ≤ id _P è chiamata operatore kernel , operatore interno o chiusura duale . Ad esempio, se A è un sottoinsieme di un insieme B , allora l'auto-mappa sull'insieme di potenze di B data da μ _A ( X ) = A ∪ X è un operatore di chiusura, mentre λ _A ( X ) = A ∩ X è un operatore del kernel. La funzione massimale dai numeri reali ai numeri reali, che assegna ad ogni x reale il più piccolo intero non minore di x , è un altro esempio di operatore di chiusura.

Un punto fisso della funzione cl, cioè un elemento c di P che soddisfa cl( c ) =  c , è detto elemento chiuso . Un operatore di chiusura su un insieme parzialmente ordinato è determinato dai suoi elementi chiusi. Se c è un elemento chiuso, allora x ≤ c e cl( x ) ≤ c sono condizioni equivalenti.

Ogni connessione di Galois (o mappatura residua ) dà luogo a un operatore di chiusura (come spiegato in quell'articolo). Infatti, ogni operatore di chiusura nasce così da un opportuno collegamento Galois. La connessione di Galois non è determinata in modo univoco dall'operatore di chiusura. Una connessione di Galois che dà luogo all'operatore di chiusura cl può essere descritta come segue: se A è l'insieme degli elementi chiusi rispetto a cl, allora cl: P → A è l'aggiunto inferiore di una connessione di Galois tra P e A , con l'aggiunto superiore essendo l'immersione di A in P . Inoltre, ogni aggiunto inferiore di un'immersione di un sottoinsieme in P è un operatore di chiusura. "Gli operatori di chiusura sono aggiunte inferiori di incorporamenti". Si noti tuttavia che non tutti gli incorporamenti hanno un'aggiunta inferiore.

Qualsiasi insieme parzialmente ordinato P può essere visto come una categoria , con un unico morfismo da x a y se e solo se x ≤ y . Gli operatori di chiusura sull'insieme parzialmente ordinato P non sono quindi altro che le monadi sulla categoria P . Equivalentemente, un operatore di chiusura può essere visto come un endofuntore sulla categoria degli insiemi parzialmente ordinati che ha le proprietà aggiuntive idempotenti ed estese .

Se P è un reticolo completo , allora un sottoinsieme A di P è l'insieme degli elementi chiusi per qualche operatore di chiusura su P se e solo se A è una famiglia di Moore su P , cioè l'elemento più grande di P è in A , e il minimo (incontrare) di qualsiasi sottoinsieme non vuoto di A è di nuovo in A . Qualsiasi insieme di questo tipo A è esso stesso un reticolo completo con l'ordine ereditato da P (ma l'operazione supremum (join) potrebbe differire da quella di P ). Quando P è l' algebra booleana di powerset di un insieme X , allora una famiglia di Moore su P è detta sistema di chiusura su X .

Gli operatori di chiusura su P formano essi stessi un reticolo completo; l'ordine sugli operatori di chiusura è definito da cl ₁ ≤ cl ₂ iff cl ₁ ( x ) ≤ cl ₂ ( x ) per tutte le x in P .

Guarda anche

• ech operatore di chiusura
• Collegamento Galois
• Algebra interna
• Assiomi di chiusura di Kuratowski
• Chiusura (topologia) e Interni (topologia)

Appunti

Riferimenti

• Garrett Birkhoff . 1967 (1940). Teoria del reticolo, 3a ed . Società matematica americana.
• Burris, Stanley N. e HP Sankappanavar (1981) Un corso di algebra universale Springer-Verlag. ISBN  3-540-90578-2 Edizione online gratuita .
• Brown, DJ e Suszko, R. (1973) "Logiche astratte", Dissertationes Mathematicae 102-9-42.
• Castellini, G. (2003) Operatori di chiusura categoriale . Boston MA: Birkhaeuser.
• Edelman, Paul H. (1980) Reticoli Meet-distributivi e chiusura anti-scambio, Algebra Universalis 10: 290-299.
• Ganter, Bernhard e Obiedkov, Sergei (2016) Esplorazione concettuale . Springer, ISBN  978-3-662-49290-1 .
• Gerla, G. (2000) Logica fuzzy: strumenti matematici per il ragionamento approssimativo . Editori accademici di Kluwer .
• Lloyd, JW (1987) Fondamenti di programmazione logica . Springer-Verlag .
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• Alfred Tarski (1956) Logica, semantica e metamatematica . Stampa dell'Università di Oxford .
• Ward, Morgan (1942) "Gli operatori di chiusura di un reticolo", Annals of Mathematics 43: 191-96.
• G. Gierz, KH Hofmann, K. Keimel, JD Lawson, M. Mislove, DS Scott: reticoli e domini continui , Cambridge University Press, 2003
• TS Blyth, Reticoli e strutture algebriche ordinate , Springer, 2005, ISBN  1-85233-905-5 .
• M. Erné, J. Koslowski, A. Melton, GE Strecker, A primer on Galois connection , in: Proceedings of the 1991 Summer Conference on General Topology and Applications in Honor of Mary Ellen Rudin and Her Work, Annals of the New York Academy di Scienze, vol. 704, 1993, pp. 103-125. Disponibile online in vari formati di file: PS.GZ PS

link esterno

• Stanford Encyclopedia of Philosophy : " Logica proposizionale algebrica " - di Ramon Jansana.