Controllabilità - Controllability

La controllabilità è una proprietà importante di un sistema di controllo e la proprietà di controllabilità svolge un ruolo cruciale in molti problemi di controllo, come la stabilizzazione di sistemi instabili mediante feedback o il controllo ottimale.

Controllabilità e osservabilità sono due aspetti dello stesso problema.

Approssimativamente, il concetto di controllabilità denota la capacità di spostare un sistema nel suo intero spazio di configurazione usando solo alcune manipolazioni ammissibili. La definizione esatta varia leggermente all'interno del quadro o del tipo di modelli applicati.

I seguenti sono esempi di variazioni delle nozioni di controllabilità che sono state introdotte nella letteratura sui sistemi e sui controlli:

• Controllabilità dello stato
• Controllabilità dell'uscita
• Controllabilità nel quadro comportamentale

Controllabilità dello stato

Lo stato di un sistema deterministico , che è l'insieme dei valori di tutte le variabili di stato del sistema (quelle variabili caratterizzate da equazioni dinamiche), descrive completamente il sistema in un dato momento. In particolare, nessuna informazione sul passato di un sistema è necessaria per aiutare a predire il futuro, se gli stati al momento sono noti e sono noti tutti i valori attuali e futuri delle variabili di controllo (quelle i cui valori possono essere scelti).

La completa controllabilità dello stato (o semplicemente controllabilità se non viene fornito nessun altro contesto) descrive la capacità di un input esterno (il vettore delle variabili di controllo) di spostare lo stato interno di un sistema da qualsiasi stato iniziale a qualsiasi stato finale in un intervallo di tempo finito.

Cioè, possiamo definire informalmente la controllabilità come segue: se per qualche stato iniziale e qualche stato finale esiste una sequenza di input per trasferire lo stato del sistema da a in un intervallo di tempo finito, allora il sistema modellato dalla rappresentazione nello spazio degli stati è controllabile . Per l'esempio più semplice di un sistema LTI continuo, la dimensione di riga dell'espressione dello spazio degli stati determina l'intervallo; ogni riga contribuisce con un vettore nello spazio degli stati del sistema. Se non ci sono abbastanza vettori per coprire lo spazio degli stati di , allora il sistema non può raggiungere la controllabilità. Potrebbe essere necessario modificare e approssimare meglio le relazioni differenziali sottostanti che stima per ottenere la controllabilità. ${\displaystyle \mathbf {x_{0}} }$${\displaystyle \mathbf {x_{f}} }$${\displaystyle \mathbf {x_{0}} }$${\displaystyle \mathbf {x_{f}} }$${\ Displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} = \ mathbf {A} \ mathbf {x} (t) + \ mathbf {B} \ mathbf {u} (t)}$${\displaystyle \mathbf {x}}$${\displaystyle \mathbf {A}}$${\displaystyle \mathbf {B}}$

Controllabilità non significa che uno stato raggiunto può essere mantenuto, semplicemente che qualsiasi stato può essere raggiunto.

Controllabilità non significa che percorsi arbitrari possono essere fatti attraverso lo spazio degli stati, solo che esiste un percorso all'interno dell'intervallo di tempo finito prescritto.

Sistemi lineari continui

Considera il sistema lineare continuo

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x}}}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)}$

${\ Displaystyle \ mathbf {y} (t) = C (t) \ mathbf {x} (t) + D (t) \ mathbf {u} (t).}$

Esiste un controllo dallo stato al tempo allo stato al tempo se e solo se è nello spazio delle colonne di ${\displaystyle u}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle t_{1}>t_{0}}$${\displaystyle x_{1}-\phi (t_{0},t_{1})x_{0}}$

${\displaystyle W(t_{0},t_{1})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\phi (t_{0},t)B(t)B(t) ^{T}\phi (t_{0},t)^{T}dt}$

dove è la matrice di transizione di stato , ed è il Gramiano di controllabilità . ${\displaystyle \phi}$${\displaystyle W(t_{0},t_{1})}$

In effetti, se è una soluzione, un controllo dato da effettuerebbe il trasferimento desiderato. ${\displaystyle \eta _{0}}$${\displaystyle W(t_{0},t_{1})\eta =x_{1}-\phi (t_{0},t_{1})x_{0}}$${\displaystyle u(t)=-B(t)^{T}\phi (t_{0},t)^{T}\eta _{0}}$

Si noti che la matrice definita come sopra ha le seguenti proprietà: ${\displaystyle W}$

• ${\displaystyle W(t_{0},t_{1})}$è simmetrico
• ${\displaystyle W(t_{0},t_{1})}$è semidefinita positiva per${\displaystyle t_{1}\geq t_{0}}$
• ${\displaystyle W(t_{0},t_{1})}$soddisfa l' equazione differenziale della matrice lineare

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}W(t,t_{1})=A(t)W(t,t_{1})+W(t,t_{1})A(t) ^{T}-B(t)B(t)^{T},\;W(t_{1},t_{1})=0}$

• ${\displaystyle W(t_{0},t_{1})}$ soddisfa l'equazione

${\displaystyle W(t_{0},t_{1})=W(t_{0},t)+\phi (t_{0},t)W(t,t_{1})\phi (t_{ 0},t)^{T}}$

Condizione di rango per la controllabilità

Il Gramian di Controllabilità prevede l'integrazione della matrice di transizione stato del sistema. Una condizione più semplice per la controllabilità è una condizione di rango analoga alla condizione di rango di Kalman per i sistemi tempo-invarianti.

Consideriamo un sistema lineare a tempo continuo che varia uniformemente in un intervallo di : ${\displaystyle\Sigma}$${\displaystyle [t_{0},t]}$${\displaystyle \mathbb {R}}$

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x}}}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)}$

${\ Displaystyle \ mathbf {y} (t) = C (t) \ mathbf {x} (t) + D (t) \ mathbf {u} (t).}$

Anche la matrice di transizione di stato è liscia. Introdurre la funzione con valori di matrice nxm e definire ${\displaystyle \phi}$${\displaystyle M_{0}(t)=\phi (t_{0},t)B(t)}$

${\displaystyle M_{k}(t)}$= .${\displaystyle {\frac {\mathrm {d^{k}} M_{0}}{\mathrm {d} t^{k}}}(t),k\geqslant 1}$

Si consideri la matrice delle funzioni a valori di matrice ottenuta elencando tutte le colonne di , : ${\displaystyle M_{i}}$${\displaystyle i=0,1,\ldots ,k}$

${\displaystyle M^{(k)}(t):=\left[M_{0}(t),\ldots ,M_{k}(t)\right]}$.

Se esiste a e un intero non negativo k tale che , allora è controllabile. ${\displaystyle {\bar {t}}\in [t_{0},t]}$${\displaystyle \operatorname {rank} M^{(k)}({\bar {t}})=n}$${\displaystyle\Sigma}$

Se è anche analiticamente variabile in un intervallo , allora è controllabile su ogni sottointervallo non banale di se e solo se esistono a e un intero non negativo k tale che . ${\displaystyle\Sigma}$${\displaystyle [t_{0},t]}$${\displaystyle\Sigma}$${\displaystyle [t_{0},t]}$${\displaystyle {\bar {t}}\in [t_{0},t]}$${\displaystyle rango}$${\displaystyle M^{(k)}(t_{i})=n}$

I metodi di cui sopra possono essere ancora complessi da verificare, poiché implicano il calcolo della matrice di transizione di stato . Un'altra condizione equivalente è definita come segue. Sia , e per ciascuno , definisci ${\displaystyle \phi}$${\displaystyle B_{0}(t)=B(t)}$${\displaystyle i\geq 0}$

${\displaystyle B_{i+1}(t)}$= ${\displaystyle A(t)B_{i}(t)-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}B_{i}(t).}$

In questo caso ognuno è ottenuto direttamente dai dati Il sistema è controllabile se esiste a e un intero non negativo tale che . ${\displaystyle B_{i}}$${\displaystyle (A(t),B(t)).}$${\displaystyle {\bar {t}}\in [t_{0},t]}$${\displaystyle k}$${\displaystyle {\textrm {rank}}(\left[B_{0}({\bar {t}}),B_{1}({\bar {t}}),\ldots ,B_{k}( {\bar {t}})\right])=n}$

Esempio

Consideriamo un sistema che varia analiticamente in e matrici ${\displaystyle (-\infty,\infty)}$

${\displaystyle A(t)={\begin{bmatrix}t&1&0\\0&t^{3}&0\\0&0&t^{2}\end{bmatrix}}}$, Allora e poiché questa matrice ha rango 3, il sistema è controllabile su ogni intervallo non banale di . ${\displaystyle B(t)={\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}}.}$${\displaystyle [B_{0}(0),B_{1}(0),B_{2}(0),B_{3}(0)]={\begin{bmatrix}0&1&0&-1\\1&0&0&0\ \1&0&0&2\end{bmatrice}}}$${\displaystyle \mathbb {R}}$

Sistemi lineari continui tempo-invarianti (LTI)

Consideriamo il sistema tempo-invariante lineare continuo

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x}}}(t)=A\mathbf {x} (t)+B\mathbf {u} (t)}$

${\ Displaystyle \ mathbf {y} (t) = C \ mathbf {x} (t) + D \ mathbf {u} (t)}$

dove

${\displaystyle \mathbf {x}}$è il "vettore di stato",${\displaystyle n\volte 1}$

${\displaystyle \mathbf {y} }$è il "vettore di uscita",${\displaystyle m\times 1}$

${\displaystyle \mathbf {u} }$è il "vettore di input (o controllo)",${\displaystyle r\times 1}$

${\displaystyle A}$è la "matrice di stato",${\displaystyle n\volte n}$

${\displaystyle B}$è la "matrice di input",${\displaystyle n\volte r}$

${\displaystyle C}$è la "matrice di output",${\displaystyle m\volte n}$

${\displaystyle D}$è la "matrice feedthrough (o feedforward)".${\displaystyle m\times r}$

La matrice di controllabilità è data da ${\displaystyle n\volte nr}$

${\displaystyle R={\begin{bmatrix}B&AB&A^{2}B&...&A^{n-1}B\end{bmatrix}}}$

Il sistema è controllabile se la matrice di controllabilità ha rango di riga completo (cioè ). ${\displaystyle \nomeoperatore {rank} (R)=n}$

Sistemi lineari discreti tempo-invarianti (LTI)

Per un sistema nello spazio degli stati lineare a tempo discreto (cioè variabile temporale ) l'equazione di stato è ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle {\textbf {x}}(k+1)=A{\textbf {x}}(k)+B{\textbf {u}}(k)}$

dove è una matrice ed è una matrice (cioè sono gli input raccolti in un vettore). Il test per la controllabilità è che la matrice ${\displaystyle A}$${\displaystyle n\volte n}$${\displaystyle B}$${\displaystyle n\volte r}$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle r}$${\displaystyle r\times 1}$${\displaystyle n\volte nr}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}={\begin{bmatrix}B&AB&A^{2}B&\cdots &A^{n-1}B\end{bmatrix}}}$

ha rango di riga completo (ad esempio, ). Cioè, se il sistema è controllabile, avrà colonne linearmente indipendenti ; se le colonne di sono linearmente indipendenti , ciascuno degli stati è raggiungibile fornendo al sistema opportuni input tramite la variabile . ${\displaystyle \operatorname {rank} ({\mathcal {C}})=n}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle u(k)}$

Derivazione

Dato lo stato in un momento iniziale, arbitrariamente indicato come k = 0, l'equazione di stato dà allora e così via con ripetute sostituzioni a ritroso della variabile di stato, ottenendo infine ${\displaystyle {\textbf {x}}(0)}$${\displaystyle {\textbf {x}}(1)=A{\textbf {x}}(0)+B{\textbf {u}}(0),}$${\displaystyle {\textbf {x}}(2)=A{\textbf {x}}(1)+B{\textbf {u}}(1)=A^{2}{\textbf {x}} (0)+AB{\textbf {u}}(0)+B{\textbf {u}}(1),}$

${\displaystyle {\textbf {x}}(n)=B{\textbf {u}}(n-1)+AB{\textbf {u}}(n-2)+\cdots +A^{n- 1}B{\textbf {u}}(0)+A^{n}{\textbf {x}}(0)}$

o equivalente

${\displaystyle {\textbf {x}}(n)-A^{n}{\textbf {x}}(0)=[B\,\,AB\,\,\cdots \,\,A^{ n-1}B][{\textbf {u}}^{T}(n-1)\,\,{\textbf {u}}^{T}(n-2)\,\,\cdots \ ,\,{\textbf {u}}^{T}(0)]^{T}.}$

Imponendo qualsiasi valore desiderato del vettore di stato sul lato sinistro, questo può sempre essere risolto per il vettore impilato dei vettori di controllo se e solo se la matrice delle matrici all'inizio del lato destro ha rango di riga completo. ${\displaystyle {\textbf {x}}(n)}$

Esempio

Si consideri ad esempio il caso in cui e (cioè un solo ingresso di controllo). Quindi, e sono vettori. If ha rango 2 (rango completo), e così e sono linearmente indipendenti e si estendono sull'intero piano. Se il rango è 1, allora e sono collineari e non si estendono sul piano. ${\displaystyle n=2}$${\displaystyle r=1}$${\displaystyle B}$${\displaystyle AB}$${\displaystyle 2\times 1}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}B&AB\end{bmatrix}}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle AB}$${\displaystyle B}$${\displaystyle AB}$

Supponiamo che lo stato iniziale sia zero.

Al momento :${\displaystyle k=0}$${\displaystyle x(1)=A{\textbf {x}}(0)+B{\textbf {u}}(0)=B{\textbf {u}}(0)}$

Al momento :${\displaystyle k=1}$${\ Displaystyle x (2) = A {\ textbf {x}} (1) + B {\ textbf {u}} (1) = AB {\ textbf {u}} (0) + B {\ textbf {u }}(1)}$

Al momento tutti gli stati raggiungibili sono sulla linea formata dal vettore . Al tempo tutti gli stati raggiungibili sono combinazioni lineari di e . Se il sistema è controllabile, questi due vettori possono estendersi sull'intero piano e possono farlo per tempo . L'ipotesi fatta che lo stato iniziale sia zero è solo per comodità. Chiaramente se tutti gli stati possono essere raggiunti dall'origine, allora qualsiasi stato può essere raggiunto da un altro stato (solo uno spostamento di coordinate). ${\displaystyle k=0}$${\displaystyle B}$${\displaystyle k=1}$${\displaystyle AB}$${\displaystyle B}$${\displaystyle k=2}$

Questo esempio vale per tutti positivi , ma il caso di è più facile da visualizzare. ${\displaystyle n}$${\displaystyle n=2}$

Analogia per esempio di n = 2

Considera un'analogia con il sistema di esempio precedente. Sei seduto nella tua macchina su un piano infinito e piatto e rivolto a nord. L'obiettivo è raggiungere qualsiasi punto dell'aereo percorrendo una distanza in linea retta, fermarsi completamente, svoltare e percorrere un'altra distanza, di nuovo, in linea retta. Se la tua auto non ha sterzo, puoi guidare solo dritto, il che significa che puoi guidare solo su una linea (in questo caso la linea nord-sud da quando hai iniziato a guardare a nord). La mancanza della cassa dello sterzo sarebbe analoga a quando il rango di è 1 (le due distanze percorse sono sulla stessa linea). ${\displaystyle C}$

Ora, se la tua auto avesse lo sterzo, potresti facilmente guidare in qualsiasi punto dell'aereo e questo sarebbe il caso analogo a quando il rango di è 2. ${\displaystyle C}$

Se si modifica questo esempio per allora l'analogia sarebbe volare nello spazio per raggiungere qualsiasi posizione nello spazio 3D (ignorando l' orientamento del velivolo ). Sei autorizzato a: ${\displaystyle n=3}$

• volare in linea retta
• gira a sinistra o a destra di qualsiasi importo ( imbardata )
• dirigere il piano verso l'alto o verso il basso di qualsiasi importo ( Pitch )

Sebbene il caso tridimensionale sia più difficile da visualizzare, il concetto di controllabilità è ancora analogo.

Sistemi non lineari

Sistemi non lineari nella forma affine al controllo

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x}}}=\mathbf {f(x)} +\sum _{i=1}^{m}\mathbf {g} _{i}(\mathbf {x } )u_{i}}$

sono localmente accessibili circa se la distribuzione di accessibilità si estende sullo spazio, quando è uguale al rango di e R è dato da: ${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle R={\begin{bmatrix}\mathbf {g} _{1}&\cdots &\mathbf {g} _{m}&[\mathrm {ad} _{\mathbf {g} _{i }}^{k}\mathbf {\mathbf {g} _{j}} ]&\cdots &[\mathrm {ad} _{\mathbf {f} }^{k}\mathbf {\mathbf {g} _{i}} ]\end{bmatrice}}.}$

Ecco, l' operazione ripetuta della parentesi di Lie definita da ${\displaystyle [\mathrm {ad} _{\mathbf {f} }^{k}\mathbf {\mathbf {g} } ]}$

${\displaystyle [\mathrm {ad} _{\mathbf {f} }^{k}\mathbf {\mathbf {g} } ]={\begin{bmatrix}\mathbf {f} &\cdots &j&\cdots & \mathbf {[\mathbf {f} ,\mathbf {g} ]} \end{bmatrix}}.}$

La matrice di controllabilità per i sistemi lineari nella sezione precedente può infatti essere derivata da questa equazione.

Controllabilità nulla

Se un sistema di controllo discreto è controllabile da zero, significa che esiste un controllabile in modo che per qualche stato iniziale . In altre parole, è equivalente alla condizione che esista una matrice tale che sia nilpotente. ${\displaystyle u(k)}$${\displaystyle x(k_{0})=0}$${\displaystyle x(0)=x_{0}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle A+BF}$

Questo può essere facilmente dimostrato da una decomposizione controllabile-incontrollabile.

Controllabilità dell'uscita

La controllabilità dell'output è la nozione correlata all'output del sistema (indicato con y nelle equazioni precedenti); la controllabilità dell'uscita descrive la capacità di un ingresso esterno di spostare l'uscita da qualsiasi condizione iniziale a qualsiasi condizione finale in un intervallo di tempo finito. Non è necessario che esista una relazione tra controllabilità dello stato e controllabilità dell'output. In particolare:

• Un sistema controllabile non è necessariamente controllabile in uscita. Ad esempio, se la matrice D  = 0 e la matrice C non ha rango di riga completo, allora alcune posizioni dell'output sono mascherate dalla struttura limite della matrice di output e quindi irraggiungibili. Inoltre, anche se il sistema può essere spostato in qualsiasi stato in un tempo finito, potrebbero esserci alcune uscite inaccessibili a tutti gli stati. Un banale esempio numerico usa D =0 e una matrice C con almeno una riga di zeri; quindi, il sistema non è in grado di produrre un output diverso da zero lungo quella dimensione.
• Un sistema controllabile in uscita non è necessariamente controllabile dallo stato. Ad esempio, se la dimensione dello spazio degli stati è maggiore della dimensione dell'uscita, allora ci sarà un insieme di possibili configurazioni di stato per ogni singola uscita. Cioè, il sistema può avere dinamiche zero significative , che sono traiettorie del sistema che non sono osservabili dall'output. Di conseguenza, essere in grado di pilotare un'uscita in una posizione particolare in un tempo finito non dice nulla sulla configurazione dello stato del sistema.

Per un sistema lineare a tempo continuo, come l'esempio sopra, descritto dalle matrici , , , e , la matrice di controllabilità dell'uscita${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle m\volte (n+1)r}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}CB&CAB&CA^{2}B&\cdots &CA^{n-1}B&D\end{bmatrix}}}$

ha rango di riga completo (cioè rango ) se e solo se il sistema è controllabile in uscita. ${\displaystyle m}$

Controllabilità sotto vincoli di input

Nei sistemi con autorità di controllo limitata, spesso non è più possibile spostare uno stato iniziale in uno stato finale all'interno del sottospazio controllabile. Questo fenomeno è causato da vincoli sull'ingresso che potrebbero essere intrinseci al sistema (ad es. per saturazione dell'attuatore) o imposti al sistema per altri motivi (ad es. per motivi di sicurezza). La controllabilità di sistemi con vincoli di input e di stato è studiata nel contesto della teoria della raggiungibilità e della viabilità .

Controllabilità nel quadro comportamentale

Nel cosiddetto approccio teorico del sistema comportamentale dovuto a Willems (vedi persone in sistemi e controllo ), i modelli considerati non definiscono direttamente una struttura input-output. In questo quadro i sistemi sono descritti da traiettorie ammissibili di un insieme di variabili, alcune delle quali potrebbero essere interpretate come input o output.

Un sistema è quindi definito controllabile in questa impostazione, se qualsiasi parte passata di un comportamento (traiettoria delle variabili esterne) può essere concatenata con qualsiasi traiettoria futura del comportamento in modo tale che la concatenazione sia contenuta nel comportamento, cioè fa parte del comportamento ammissibile del sistema.

Stabilizzabilità

Una nozione leggermente più debole della controllabilità è quella di stabilizzabilità . Un sistema si dice stabilizzabile quando tutte le variabili di stato incontrollabili possono avere dinamiche stabili . Pertanto, anche se alcune delle variabili di stato non possono essere controllate (come determinato dal test di controllabilità sopra), tutte le variabili di stato rimarranno comunque limitate durante il comportamento del sistema.

Set raggiungibile

Sia T ∈ Т e x ∈ X (dove X è l'insieme di tutti i possibili stati e Т è un intervallo di tempo). L'insieme raggiungibile da x nel tempo T è definito come:

${\displaystyle R^{T}{(x)}=\left\{z\in X:x{\overset {T}{\rightarrow }}z\right\}}$, dove xT→z denota che esiste una transizione di stato da x a z nel tempo T.

Per i sistemi autonomi l'insieme raggiungibile è dato da:

${\displaystyle \mathrm {Im} (R)=\mathrm {Im} (B)+\mathrm {Im} (AB)+....+\mathrm {Im} (A^{n-1}B) }$,

dove R è la matrice di controllabilità.

In termini di insieme raggiungibile, il sistema è controllabile se e solo se . ${\displaystyle Im(R)=\mathbb {R} ^{n}}$

Dimostrazione Abbiamo le seguenti uguaglianze:

${\displaystyle R=[B\ AB....A^{n-1}B]}$

${\displaystyle \mathrm {Im} (R)=\mathrm {Im} ([B\ AB....A^{n-1}B])}$

${\ Displaystyle \ mathrm {dim (Im} (R)) = \ mathrm {rank} (R)}$

Considerando che il sistema è controllabile, le colonne di R dovrebbero essere linearmente indipendenti . Così:

${\displaystyle \mathrm {dim(Im} (R))=n}$

${\displaystyle \mathrm {rank} (R)=n}$

${\ Displaystyle \ mathrm {Im} (R) = \ mathbb {R} ^ {n} \ quad \ blacksquare }$

Un insieme correlato all'insieme raggiungibile è l'insieme controllabile, definito da:

${\displaystyle C^{T}{(x)}=\left\{z\in X:z{\overset {T}{\rightarrow }}x\right\}}$.

La relazione tra raggiungibilità e controllabilità è presentata da Sontag:

(a) Un sistema lineare discreto n-dimensionale è controllabile se e solo se:

${\displaystyle R(0)=R^{k}{(0)=X}}$ (Dove X è l'insieme di tutti i possibili valori o stati di x e k è il passo temporale).

(b) Un sistema lineare tempo continuo è controllabile se e solo se:

${\displaystyle R(0)=R^{e}{(0)=X}}$ per tutti e>0.

se e solo se per tutti e>0. ${\displaystyle C(0)=C^{e}{(0)=X}}$

Esempio Sia il sistema un sistema tempo discreto invariante di n dimensioni dalla formula:

Φ(n,0,0,w)= (Dove (tempo finale, tempo iniziale, variabile di stato, restrizioni) è definita la matrice di transizione di una variabile di stato x da un tempo iniziale 0 a un tempo finale n con alcune restrizioni w).${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}A^{i-1}Bw(n-1)}$

Ne segue che lo stato futuro è in è nell'immagine della mappa lineare: ${\displaystyle R^{k}{(0)}}$

Im(R)=R(A,B)≜ Im( ),${\displaystyle [B\ AB....A^{n-1}B]}$

quali mappe,

${\displaystyle u^{n}}$→X

Quando e identifichiamo R(A,B) con una matrice di nm le cui colonne sono le colonne di in quell'ordine. Se il sistema è controllabile il rango di è n. Se questo è vero, l'immagine della mappa lineare R è tutta X. Sulla base di ciò, abbiamo: ${\displaystyle u=K^{m}}$${\displaystyle X=K^{n}}$${\displaystyle B,\AB,....,A^{n-1}B}$${\displaystyle [B\ AB....A^{n-1}B]}$

${\displaystyle R(0)=R^{k}{(0)=X}}$con XЄ .${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Guarda anche

• osservabilità
• osservatore di stato

Appunti

Riferimenti

link esterno

• Funzione MATLAB per la verifica della controllabilità di un sistema
• Funzione Mathematica per la verifica della controllabilità di un sistema