Kontrollerbarhed - Controllability

Kontrollerbarhed er en vigtig egenskab ved et styresystem , og kontrollerbarhedsegenskaben spiller en afgørende rolle i mange kontrolproblemer, såsom stabilisering af ustabile systemer ved feedback eller optimal kontrol.

Kontrollerbarhed og observerbarhed er to aspekter af det samme problem.

Begrebet kontrollerbarhed angiver groft nok evnen til at flytte et system rundt i hele sit konfigurationsrum ved kun at bruge visse tilladte manipulationer. Den nøjagtige definition varierer lidt inden for rammerne eller typen af ​​anvendte modeller.

Følgende er eksempler på variationer af kontrollerbare forestillinger, der er blevet introduceret i systemerne og kontrollitteraturen:

• Statlig kontrol
• Outputstyrbarhed
• Kontrollerbarhed i adfærdsmæssige rammer

Statlig kontrol

Den tilstand af et deterministisk system, som er det sæt af værdier af alle systemets tilstandsvariable (disse variabler kendetegnet ved dynamiske ligninger) beskriver fuldstændigt systemet på ethvert givet tidspunkt. Især er der ikke behov for information om et systems fortid for at hjælpe med at forudsige fremtiden, hvis staterne på nuværende tidspunkt er kendte, og alle nuværende og fremtidige værdier af kontrolvariablerne (dem, hvis værdier kan vælges) er kendte.

Fuldstændig tilstandsstyrbarhed (eller simpelthen kontrollerbarhed, hvis der ikke gives nogen anden sammenhæng) beskriver evnen til en ekstern indgang (vektoren af ​​kontrolvariabler) til at flytte et systems interne tilstand fra en hvilken som helst starttilstand til en endelig tilstand i et endeligt tidsinterval.

Det vil sige, at vi uformelt kan definere styrbarhed som følger: Hvis der findes en indgangssekvens til at overføre systemtilstanden fra til en bestemt starttilstand og en eller anden endelig tilstand i et endeligt tidsinterval, kan systemet modelleres af repræsentationen af tilstandsrummet styres . For det enkleste eksempel på et kontinuerligt LTI-system bestemmer rækkedimensionen af ​​tilstandsrumsekspressionen intervallet; hver række bidrager med en vektor i systemets tilstandsrum. Hvis der ikke er nok sådanne vektorer til at spænde over tilstandsrummet for , kan systemet ikke opnå kontrol. Det kan være nødvendigt at ændre og tilnærme bedre de underliggende differentierede forhold, som det estimeres for at opnå kontrol. ${\ displaystyle \ mathbf {x_ {0}}}$${\ displaystyle \ mathbf {x_ {f}}}$${\ displaystyle \ mathbf {x_ {0}}}$${\ displaystyle \ mathbf {x_ {f}}}$${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} = \ mathbf {A} \ mathbf {x} (t) + \ mathbf {B} \ mathbf {u} (t)}$${\ displaystyle \ mathbf {x}}$${\ displaystyle \ mathbf {A}}$${\ displaystyle \ mathbf {B}}$

Kontrollerbarhed betyder ikke, at en nået tilstand kan opretholdes, blot at enhver tilstand kan nås.

Kontrollerbarhed betyder ikke, at vilkårlige stier kan foretages gennem tilstandsrum, kun at der findes en sti inden for det foreskrevne endelige tidsinterval.

Kontinuerlige lineære systemer

Overvej det kontinuerlige lineære system

${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = A (t) \ mathbf {x} (t) + B (t) \ mathbf {u} (t)}$

${\ displaystyle \ mathbf {y} (t) = C (t) \ mathbf {x} (t) + D (t) \ mathbf {u} (t).}$

Der eksisterer en kontrol fra tilstand på tidspunktet til stat på tidspunktet hvis og kun hvis er i kolonnerummet af ${\ displaystyle u}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle t_ {0}}$${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle t_ {1}> t_ {0}}$${\ displaystyle x_ {1} - \ phi (t_ {0}, t_ {1}) x_ {0}}$

${\ displaystyle W (t_ {0}, t_ {1}) = \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} \ phi (t_ {0}, t) B (t) B (t) ^ {T} \ phi (t_ {0}, t) ^ {T} dt}$

hvor er tilstandsovergangsmatrixen , og er Gramian Controllability . ${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle W (t_ {0}, t_ {1})}$

Faktisk, hvis er en løsning på, ville en kontrol, der er givet af , foretage den ønskede overførsel. ${\ displaystyle \ eta _ {0}}$${\ displaystyle W (t_ {0}, t_ {1}) \ eta = x_ {1} - \ phi (t_ {0}, t_ {1}) x_ {0}}$${\ displaystyle u (t) = - B (t) ^ {T} \ phi (t_ {0}, t) ^ {T} \ eta _ {0}}$

Bemærk, at matrixen defineret som ovenfor har følgende egenskaber: ${\ displaystyle W}$

• ${\ displaystyle W (t_ {0}, t_ {1})}$er symmetrisk
• ${\ displaystyle W (t_ {0}, t_ {1})}$er positiv semifinitiv for${\ displaystyle t_ {1} \ geq t_ {0}}$
• ${\ displaystyle W (t_ {0}, t_ {1})}$opfylder den lineære matrixdifferentialligning

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} W (t, t_ {1}) = A (t) W (t, t_ {1}) + W (t, t_ {1}) A (t) ^ {T} -B (t) B (t) ^ {T}, \; W (t_ {1}, t_ {1}) = 0}$

• ${\ displaystyle W (t_ {0}, t_ {1})}$ opfylder ligningen

${\ displaystyle W (t_ {0}, t_ {1}) = W (t_ {0}, t) + \ phi (t_ {0}, t) W (t, t_ {1}) \ phi (t_ { 0}, t) ^ {T}}$

Rangbetingelse for styrbarhed

Controllability Gramian involverer integrationen af ​​systemets overgangsmatrix. En enklere betingelse for kontrollerbarhed er en rangbetingelse, der er analog med Kalman-rangbetingelsen for tidsinvariante systemer.

Overvej et kontinuerligt lineært system, der glat varierer i et interval på : ${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle [t_ {0}, t]}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = A (t) \ mathbf {x} (t) + B (t) \ mathbf {u} (t)}$

${\ displaystyle \ mathbf {y} (t) = C (t) \ mathbf {x} (t) + D (t) \ mathbf {u} (t).}$

Matrixen for overgangsstatus er også glat. Indfør nxm-matrixværdifunktionen og definer ${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle M_ {0} (t) = \ phi (t_ {0}, t) B (t)}$

${\ displaystyle M_ {k} (t)}$= .${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d ^ {k}} M_ {0}} {\ mathrm {d} t ^ {k}}} (t), k \ geqslant 1}$

Overvej matrix af matrix-værdsat funktioner opnås ved en liste over alle de kolonner af den , : ${\ displaystyle M_ {i}}$${\ displaystyle i = 0,1, \ ldots, k}$

${\ displaystyle M ^ {(k)} (t): = \ left [M_ {0} (t), \ ldots, M_ {k} (t) \ right]}$.

Hvis der findes a og et ikke-negativt heltal k sådan , kan det kontrolleres. ${\ displaystyle {\ bar {t}} \ i [t_ {0}, t]}$${\ displaystyle \ operatorname {rang} M ^ {(k)} ({\ bar {t}}) = n}$${\ displaystyle \ Sigma}$

Hvis også er analytisk varierende i et interval , kan det kontrolleres på hvert ikke-privat subinterval af hvis og kun hvis der findes et og et ikke-negativt heltal k sådan, at . ${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle [t_ {0}, t]}$${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle [t_ {0}, t]}$${\ displaystyle {\ bar {t}} \ i [t_ {0}, t]}$${\ displaystyle rang}$${\ displaystyle M ^ {(k)} (t_ {i}) = n}$

Ovenstående metoder kan stadig være komplekse at kontrollere, da det involverer beregning af tilstandsovergangsmatrixen . En anden ækvivalent tilstand er defineret som følger. Lad og for hver definerer ${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle B_ {0} (t) = B (t)}$${\ displaystyle i \ geq 0}$

${\ displaystyle B_ {i + 1} (t)}$= ${\ displaystyle A (t) B_ {i} (t) - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} B_ {i} (t).}$

I dette tilfælde opnås hver direkte fra dataene Systemet kan kontrolleres, hvis der findes et og et ikke-negativt heltal, således at . ${\ displaystyle B_ {i}}$${\ displaystyle (A (t), B (t)).}$${\ displaystyle {\ bar {t}} \ i [t_ {0}, t]}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle {\ textrm {rank}} (\ left [B_ {0} ({\ bar {t}}), B_ {1} ({\ bar {t}}), \ ldots, B_ {k} ( {\ bar {t}}) \ right]) = n}$

Eksempel

Overvej et system, der varierer analytisk i og matricer ${\ displaystyle (- \ infty, \ infty)}$

${\ displaystyle A (t) = {\ begin {bmatrix} t & 1 & 0 \\ 0 & t ^ {3} & 0 \\ 0 & 0 & t ^ {2} \ end {bmatrix}}}$, Derefter og da denne matrix har rang 3, kan systemet kontrolleres i hvert ikke-kortvarigt interval på . ${\ displaystyle B (t) = {\ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \ end {bmatrix}}.}$${\ displaystyle [B_ {0} (0), B_ {1} (0), B_ {2} (0), B_ {3} (0)] = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \ \ 1 & 0 & 0 & 2 \ end {bmatrix}}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Kontinuerlige lineære tid-invariante (LTI) systemer

Overvej det kontinuerlige lineære tids-invariante system

${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = A \ mathbf {x} (t) + B \ mathbf {u} (t)}$

${\ displaystyle \ mathbf {y} (t) = C \ mathbf {x} (t) + D \ mathbf {u} (t)}$

hvor

${\ displaystyle \ mathbf {x}}$er "tilstandsvektoren",${\ displaystyle n \ times 1}$

${\ displaystyle \ mathbf {y}}$er "outputvektoren",${\ displaystyle m \ times 1}$

${\ displaystyle \ mathbf {u}}$er "input (eller kontrol) vektoren",${\ displaystyle r \ times 1}$

${\ displaystyle A}$er "statsmatrix",${\ displaystyle n \ times n}$

${\ displaystyle B}$er "inputmatrix",${\ displaystyle n \ times r}$

${\ displaystyle C}$er "outputmatrix",${\ displaystyle m \ times n}$

${\ displaystyle D}$er "feed-through (eller feedforward) matrix".${\ displaystyle m \ times r}$

Den styrbarhed matrix er givet ved ${\ displaystyle n \ times nr}$

${\ displaystyle R = {\ begin {bmatrix} B & AB & A ^ {2} B & ... & A ^ {n-1} B \ end {bmatrix}}}$

Systemet kan kontrolleres, hvis matrixen til styrbarhed har fuld række rang (dvs. ). ${\ displaystyle \ operatorname {rang} (R) = n}$

Diskrete lineære tid-invariante (LTI) systemer

For et diskret-tids lineært tilstands-rumsystem (dvs. tidsvariabel ) er tilstandsligningen ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {Z}}$

${\ displaystyle {\ textbf {x}} (k + 1) = A {\ textbf {x}} (k) + B {\ textbf {u}} (k)}$

hvor er en matrix og er en matrix (dvs. er input indsamlet i en vektor). Testen for kontrollerbarhed er, at matrixen ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle n \ times n}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle n \ times r}$${\ displaystyle \ mathbf {u}}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle r \ times 1}$${\ displaystyle n \ times nr}$

${\ displaystyle {\ mathcal {C}} = {\ begin {bmatrix} B & AB & A ^ {2} B & \ cdots & A ^ {n-1} B \ end {bmatrix}}}$

har fuld række rang (dvs. ). Det vil sige, hvis systemet kan kontrolleres, vil det have kolonner, der er lineært uafhængige ; hvis kolonner er lineært uafhængige , kan hver af staterne nås ved at give systemet de rette input via variablen . ${\ displaystyle \ operatorname {rank} ({\ mathcal {C}}) = n}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle u (k)}$

Afledning

I betragtning af tilstanden på et indledende tidspunkt, vilkårligt betegnet som k = 0, giver tilstandsligningen derefter og så videre med gentagne tilbage-substitutioner af tilstandsvariablen, hvilket til sidst giver ${\ displaystyle {\ textbf {x}} (0)}$${\ displaystyle {\ textbf {x}} (1) = A {\ textbf {x}} (0) + B {\ textbf {u}} (0),}$${\ displaystyle {\ textbf {x}} (2) = A {\ textbf {x}} (1) + B {\ textbf {u}} (1) = A ^ {2} {\ textbf {x}} (0) + AB {\ textbf {u}} (0) + B {\ textbf {u}} (1),}$

${\ displaystyle {\ textbf {x}} (n) = B {\ textbf {u}} (n-1) + AB {\ textbf {u}} (n-2) + \ cdots + A ^ {n- 1} B {\ textbf {u}} (0) + A ^ {n} {\ textbf {x}} (0)}$

eller tilsvarende

${\ displaystyle {\ textbf {x}} (n) -A ^ {n} {\ textbf {x}} (0) = [B \, \, AB \, \, \ cdots \, \, A ^ { n-1} B] [{\ textbf {u}} ^ {T} (n-1) \, \, {\ textbf {u}} ^ {T} (n-2) \, \, \ cdots \ , \, {\ textbf {u}} ^ {T} (0)] ^ {T}.}$

Implementering af en hvilken som helst ønsket værdi af tilstandsvektoren på venstre side kan dette altid løses for den stablede vektor af kontrolvektorer, hvis og kun hvis matricen af ​​matricer i begyndelsen af ​​højre side har fuld række rang. ${\ displaystyle {\ textbf {x}} (n)}$

Eksempel

Overvej f.eks. Tilfældet når og (dvs. kun en kontrolindgang). Således og er vektorer. Hvis har rang 2 (fuld rang), og så og er lineært uafhængige og spænder over hele planet. Hvis rangen er 1, så og er collinær og spænder ikke over flyet. ${\ displaystyle n = 2}$${\ displaystyle r = 1}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle AB}$${\ displaystyle 2 \ gange 1}$${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} B&AB \ end {bmatrix}}}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle AB}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle AB}$

Antag, at den oprindelige tilstand er nul.

På tidspunktet :${\ displaystyle k = 0}$${\ displaystyle x (1) = A {\ textbf {x}} (0) + B {\ textbf {u}} (0) = B {\ textbf {u}} (0)}$

På tidspunktet :${\ displaystyle k = 1}$${\ displaystyle x (2) = A {\ textbf {x}} (1) + B {\ textbf {u}} (1) = AB {\ textbf {u}} (0) + B {\ textbf {u }} (1)}$

På det tidspunkt er alle de tilgængelige tilstande på linjen dannet af vektoren . På det tidspunkt er alle de tilgængelige tilstande lineære kombinationer af og . Hvis systemet er kontrollerbart, kan disse to vektorer spænde over hele planet og kan gøres det i tide . Antagelsen om, at den oprindelige tilstand er nul, er kun af bekvemmelighed. Det er klart, at hvis alle stater kan nås fra oprindelsen, kan enhver tilstand nås fra en anden tilstand (blot et skift i koordinater). ${\ displaystyle k = 0}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle k = 1}$${\ displaystyle AB}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle k = 2}$

Dette eksempel gælder for alle positive , men sagen om er lettere at visualisere. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n = 2}$

Analogi for eksempel af n = 2

Overvej en analogi med det foregående eksemplesystem. Du sidder i din bil på et uendeligt, fladt plan og vender mod nord. Målet er at nå et hvilket som helst punkt i flyet ved at køre en afstand i en lige linje, komme til et fuldstændigt stop, dreje og køre en anden afstand igen i en lige linje. Hvis din bil ikke har nogen styring, kan du kun køre lige, hvilket betyder at du kun kan køre på en linje (i dette tilfælde nord-syd-linjen siden du startede mod nord). Manglen på styretaske ville være analog med, når rangen på er 1 (de to afstande, du kørte, er på samme linje). ${\ displaystyle C}$

Nu, hvis din bil havde styring, kunne du let køre til et hvilket som helst punkt i flyet, og dette ville være det tilsvarende tilfælde, når rangen er 2. ${\ displaystyle C}$

Hvis du ændrer dette eksempel til så analogien ville flyve i rummet for at nå enhver position i 3D-rum (ignorerer orienteringen af flyet ). Du har lov til at: ${\ displaystyle n = 3}$

• flyve i en lige linje
• drej til venstre eller højre med et hvilket som helst beløb ( Yaw )
• ret flyet opad eller nedad med en hvilken som helst mængde ( pitch )

Selvom det 3-dimensionelle tilfælde er sværere at visualisere, er begrebet kontrollerbarhed stadig analogt.

Ikke-lineære systemer

Ikke-lineære systemer i kontrolaffin form

${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} = \ mathbf {f (x)} + \ sum _ {i = 1} ^ {m} \ mathbf {g} _ {i} (\ mathbf {x }) u_ {i}}$

er lokalt tilgængelige om, hvorvidt tilgængelighedsfordelingen spænder over plads, når lig med rangen og R er givet af: ${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle R = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {g} _ {1} & \ cdots & \ mathbf {g} _ {m} & [\ mathrm {ad} _ {\ mathbf {g} _ {i }} ^ {k} \ mathbf {\ mathbf {g} _ {j}}] & \ cdots & [\ mathrm {ad} _ {\ mathbf {f}} ^ {k} \ mathbf {\ mathbf {g} _ {i}}] \ end {bmatrix}}.}$

Her er den gentagne Lie-beslag- operation defineret af ${\ displaystyle [\ mathrm {ad} _ {\ mathbf {f}} ^ {k} \ mathbf {\ mathbf {g}}]}$

${\ displaystyle [\ mathrm {ad} _ {\ mathbf {f}} ^ {k} \ mathbf {\ mathbf {g}}] = {\ start {bmatrix} \ mathbf {f} & \ cdots & j & \ cdots & \ mathbf {[\ mathbf {f}, \ mathbf {g}]} \ end {bmatrix}}.}$

Kontrollerbarhedsmatrixen for lineære systemer i det foregående afsnit kan faktisk udledes af denne ligning.

Null kontrol

Hvis et diskret kontrolsystem er nul-kontrollerbart, betyder det, at der findes et kontrollerbart, så det for en starttilstand . Med andre ord svarer det til den betingelse, at der findes en sådan matrix , der er nilpotent. ${\ displaystyle u (k)}$${\ displaystyle x (k_ {0}) = 0}$${\ displaystyle x (0) = x_ {0}}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle A + BF}$

Dette kan let vises ved kontrollerbar-ukontrollabel nedbrydning.

Outputstyrbarhed

Outputstyrbarhed er den relaterede forestilling om systemets output (betegnet y i de foregående ligninger); outputstyrbarheden beskriver en ekstern indgangs evne til at flytte output fra enhver initialtilstand til en hvilken som helst endelig tilstand i et endeligt tidsinterval. Det er ikke nødvendigt, at der er nogen sammenhæng mellem tilstandskontrollabilitet og outputkontrollabilitet. I særdeleshed:

• Et kontrollerbart system er ikke nødvendigvis output-kontrollerbart. For eksempel, hvis matrix D  = 0 og matrix C ikke har fuld rækkeangivelse, er nogle positioner for output maskeret af den begrænsende struktur af outputmatrixen og derfor uopnåelige. Desuden kan der være nogle output, der er utilgængelige af alle stater, selvom systemet kan flyttes til en hvilken som helst tilstand på en begrænset tid. Et trivielt numerisk eksempel bruger D = 0 og en C- matrix med mindst en række nuller; således er systemet ikke i stand til at producere et output, der ikke er nul langs denne dimension.
• Et outputstyrbart system er ikke nødvendigvis tilstandskontrollabelt. For eksempel, hvis dimensionen af ​​tilstandsrummet er større end dimensionen af ​​output, vil der være et sæt mulige tilstandskonfigurationer for hver enkelt output. Det vil sige, systemet kan have signifikant nul dynamik , som er baner i systemet, der ikke kan observeres fra output. Derfor er det ikke i stand til at køre en output til en bestemt position på et begrænset tidspunkt intet om systemkonfigurationen af ​​systemet.

For en lineær kontinuerlig time system, som i eksemplet ovenfor, er beskrevet af matricer , , , og den output styrbarhed matrix${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle m \ times (n + 1) r}$

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} CB & CAB & CA ^ {2} B & \ cdots & CA ^ {n-1} B&D \ end {bmatrix}}}$

har fuld række rang (dvs. rang ), hvis og kun hvis systemet kan styres af output. ${\ displaystyle m}$

Kontrollerbarhed under inputbegrænsninger

I systemer med begrænset kontrolmyndighed er det ofte ikke længere muligt at flytte en indledende tilstand til en endelig tilstand inden i det kontrollerbare underrum. Dette fænomen er forårsaget af begrænsninger på det input, der kan være forbundet med systemet (f.eks. På grund af mættende aktuator) eller pålagt systemet af andre grunde (f.eks. På grund af sikkerhedsrelaterede problemer). Kontrollerbarheden af ​​systemer med input- og tilstandsbegrænsninger undersøges i sammenhæng med teori om tilgængelighed og levedygtighed .

Kontrollerbarhed i adfærdsmæssige rammer

I den såkaldte adfærdssystemteoretiske tilgang på grund af Willems (se mennesker i systemer og kontrol ) definerer modeller, der betragtes, ikke direkte en input-output-struktur. I denne ramme beskrives systemer ved hjælp af tilladte baner for en samling variabler, hvoraf nogle kan fortolkes som input eller output.

Et system defineres derefter som kontrollerbart i denne indstilling, hvis en tidligere del af en adfærd (bane for de eksterne variabler) kan sammenkædes med en hvilken som helst fremtidig bane af adfærd på en sådan måde, at sammenkædningen er indeholdt i adfærden, dvs. er en del af den tilladte systemadfærd.

Stabilisering

En lidt svagere opfattelse end kontrollerbarhed er stabiliserbarhed . Et system siges at være stabiliserbart, når alle ukontrollerbare tilstandsvariabler kan fås til at have stabil dynamik . Selvom nogle af tilstandsvariablerne ikke kan kontrolleres (som bestemt af kontrolbarhedstesten ovenfor), forbliver altså tilstandsvariablerne stadig begrænset under systemets opførsel.

Kan nås

Lad T ∈ Т og x ∈ X (hvor X er sættet med alle mulige tilstande og Т er et tidsinterval). Det nåede sæt fra x i tid T defineres som:

${\ displaystyle R ^ {T} {(x)} = \ venstre \ {z \ i X: x {\ overskud {T} {\ rightarrow}} z \ højre \}}$hvor xT→z betegner, at der eksisterer en tilstandsovergang fra x til z i tid T.

For autonome systemer er det tilgængelige sæt angivet af:

${\ displaystyle \ mathrm {Im} (R) = \ mathrm {Im} (B) + \ mathrm {Im} (AB) + .... + \ mathrm {Im} (A ^ {n-1} B) }$,

hvor R er styrbarhedsmatrixen.

Med hensyn til det tilgængelige sæt kan systemet kontrolleres, hvis og kun hvis . ${\ displaystyle Im (R) = \ mathbb {R} ^ {n}}$

Bevis Vi har følgende ligheder:

${\ displaystyle R = [B \ AB .... A ^ {n-1} B]}$

${\ displaystyle \ mathrm {Im} (R) = \ mathrm {Im} ([B \ AB .... A ^ {n-1} B])}$

${\ displaystyle \ mathrm {dim (Im} (R)) = \ mathrm {rank} (R)}$

I betragtning af at systemet er kontrollerbart, skal kolonnerne i R være lineært uafhængige . Så:

${\ displaystyle \ mathrm {dim (Im} (R)) = n}$

${\ displaystyle \ mathrm {rank} (R) = n}$

${\ displaystyle \ mathrm {Im} (R) = \ mathbb {R} ^ {n} \ quad \ blacksquare}$

Et beslægtet sæt til det tilgængelige sæt er det kontrollerbare sæt, defineret af:

${\ displaystyle C ^ {T} {(x)} = \ left \ {z \ i X: z {\ overset {T} {\ rightarrow}} x \ right \}}$.

Forholdet mellem tilgængelighed og kontrollerbarhed præsenteres af Sontag:

(a) Et n-dimensionelt diskret lineært system kan styres, hvis og kun hvis:

${\ displaystyle R (0) = R ^ {k} {(0) = X}}$ (Hvor X er sættet med alle mulige værdier eller tilstande for x og k er tidstrinnet).

(b) Et kontinuerligt lineært system kan kontrolleres, hvis og kun hvis:

${\ displaystyle R (0) = R ^ {e} {(0) = X}}$ for alle e> 0.

hvis og kun hvis for alle e> 0. ${\ displaystyle C (0) = C ^ {e} {(0) = X}}$

Eksempel Lad systemet være et n-dimensionelt diskret-tid-invariant system fra formlen:

Φ (n, 0,0, w) = (Hvor Φ (endelig tid, indledende tid, tilstandsvariabel, begrænsninger) er defineret, er overgangsmatrixen for en tilstandsvariabel x fra en indledende tid 0 til en endelig tid n med nogle begrænsninger w).${\ displaystyle \ sum \ limits _ {i = 1} ^ {n} A ^ {i-1} Bw (n-1)}$

Det følger heraf, at den fremtidige tilstand er i ⇔ den er på billedet af det lineære kort: ${\ displaystyle R ^ {k} {(0)}}$

Im (R) = R (A, B) ≜ Im ( ),${\ displaystyle [B \ AB .... A ^ {n-1} B]}$

hvilke kort,

${\ displaystyle u ^ {n}}$→ X

Hvornår og vi identificerer R (A, B) med en matrice med nm, hvis kolonner er kolonnerne i den rækkefølge. Hvis systemet kan kontrolleres, er rangeringen n. Hvis dette er sandhed, er billedet af det lineære kort R hele X. Baseret på det har vi: ${\ displaystyle u = K ^ {m}}$${\ displaystyle X = K ^ {n}}$${\ displaystyle B, \ AB, ...., A ^ {n-1} B}$${\ displaystyle [B \ AB .... A ^ {n-1} B]}$

${\ displaystyle R (0) = R ^ {k} {(0) = X}}$med XЄ .${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Se også

• Observerbarhed
• Statlig observatør

Bemærkninger

Referencer

eksterne links

• MATLAB-funktion til kontrol af et systems styrbarhed
• Mathematica-funktion til kontrol af et systems styrbarhed