Átlagos

A köznyelvben az átlag egyetlen szám, amely egy számlistát reprezentál. Az átlagolás különböző fogalmait különböző összefüggésekben használják. Az "átlag" gyakran a számtani átlagra utal, a számok összege osztva az átlagolt szám számával. A statisztikában az átlagot , a mediánt és a módust a központi tendencia mérőszámaként ismerik, a köznyelvben pedig ezek bármelyikét átlagértéknek nevezhetjük . A legtöbben értjük az "átlagos" szót, mert a mindennapi használatban általában olyan számokra vagy csoportokra utal, amelyek normális eloszlású vagy haranggörbével rendelkeznek, például az emberek magasságát vagy vérnyomását. Ha azonban ezeknek a számoknak az eloszlása ​​nem normális, akkor az, amit általában "átlagosnak" gondolunk, ferde lesz. Ilyen például az ujjak száma: néhány embernek hiányzik az ujja, nagyon ritkán van több, és szinte soha nem több, mint egy, ami olyan helyzethez vezet, hogy az ujjak tényleges átlagos száma (több mint 9, de kevesebb, mint 10) nem különösen hasznos információkat.

Calculus

Pitagorasz jelentése

A számtani átlag, a geometriai átlag és a harmonikus átlag összefoglaló néven Pitagorasz átlag.

Számtani átlag

A leggyakoribb átlagtípus a számtani átlag. Ha n számot adunk meg, minden számot egy _i -vel jelölünk (ahol i = 1,2, ..., n ), akkor a számtani átlag a szám összege osztva n - nel vagy

${\text{AM}}={\frac {1}{n}}\sum​​i=1}^{n}a_{i}={\frac {a_{1}+a_{2 }+\cdots +a_{n}}{n}}$

Két szám, például 2 és 8 számtani középértékét, amelyet gyakran egyszerűen átlagnak neveznek, úgy kapjuk meg, hogy olyan A értéket találunk, hogy 2 + 8 = A + A. Megállapítható, hogy A = (2 + 8) / 2 = 5) A 2 és 8 sorrendjének megváltoztatása 8-ra és 2-re nem változtatja meg az A kapott értéket. Az 5-ös átlag nem kisebb a minimum 2-nél és nem nagyobb, mint a maximum. 8) Ha növeljük a tagok számát a 2-es, 8-as és 11-es listában a számtani középértéket úgy kapjuk meg, hogy megoldjuk A értékét a 2 + 8 + 11 = A + A + A egyenletben . Megállapítható, hogy A = (2 + 8 + 11) / 3 = 7)

Geometriai átlag

n pozitív szám geometriai középértékét úgy kapjuk meg, hogy az összeset összeszorozzuk, majd felvesszük az n- edik gyöket. Algebrai értelemben az 1 _, a 2 _, ... a _n geometriai középértékét a következőképpen definiáljuk:

${\text{GM}}={\sqrt[{n}]{\prod{i=1}^{n}a_{i}}}={\sqrt[{n}]{a_{ 1 }a_{2}\cdots a_{n}}}$

A geometriai átlagot a számok rekordjainak számtani középértékének antilogjának tekinthetjük .

Példa: 2 és 8 geometriai átlaga${\text{GM}}={\sqrt {2\cdot 8}}=4$

Harmonikus közép

Az a ₁ , a ₂ , ..., an _n számok nem üres gyűjteményének harmonikus középértéke, amelyek mindegyike különbözik 0-tól, az a i _reciproka számtani középértékének reciprokaként definiálható :

${\text{HM}}={\frac {1}{{\dfrac {1}{n}}\displaystyle \sum \limits​​i=1}^{n}{\frac {1} {a_{i}}}}={\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}+\cdots +{\ tört {1}{a_{n}}}}}$

Példa arra, hogy a harmonikus átlag hasznos, ha több rögzített távolságú utazás sebességét vizsgáljuk. Például, ha az A pontból B -be jutás sebessége 60 km/h volt, és a B -ből A - ba való visszatérés sebessége 40 km/h, akkor a harmonikus középsebességet a következő képlet adja meg:

${\frac {2}{{\frac {1}{60}}+{\frac {1}{40}}}}=48$

Egyenlőtlenség az AM, GM és HM tekintetében

A számtani, geometriai és harmonikus átlagok jól ismert egyenlőtlensége bármely pozitív számhalmazra

${\text{AM}}\geq {\text{GM}}\geq {\text{HM}}$

(Az A , G és H betűk ábécé sorrendje megmarad az egyenlőtlenségben.) Lásd : Számtani és geometriai átlagok egyenlőtlensége .

Ezért a fenti harmonikus átlag példánál: AM = 50, GM ≈ 49 és HM = 48 km/h.

Statisztikai hely

A módot , a mediánt és a középtartományt gyakran az átlag mellett használják a leíró statisztikák központi tendenciájának becsléseként . Mindezeket úgy tekinthetjük, mint amelyek bizonyos mértékig minimalizálják a változást.

Az értékek közös átlagainak összehasonlítása: {1, 2, 2, 3, 4, 7, 9}

Fickó	Leírás	Példa	Eredmény
számtani jelentése	Egy adathalmazban lévő értékek összege osztva az értékek számával:$\scriptstyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum​​i=1}^{n}x_{i}$	(1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 7 + 9) / 7	4
Középső	Az átlagérték, amely elválasztja az adatkészlet nagyobb és kisebb felét	1, 2, 2, 3 , 4, 7, 9	3
Divat	A leggyakoribb érték egy adatkészletben.	1, 2 , 2 , 3, 4, 7, 9	két
Közép tartomány	Egy halmaz legmagasabb és legalacsonyabb értékének számtani átlaga.	(1 + 9) / 2	5

Divat

Két eltérő ferdeségű log-normális eloszlás számtani átlagának , mediánjának és módusának összehasonlítása .

A listában leggyakrabban előforduló számot üzemmódnak nevezzük. Például a lista (1, 2, 2, 3, 3, 3, 4) üzemmódja 3. Előfordulhat, hogy két vagy több olyan szám fordul elő, amelyek ugyanolyan gyakorisággal és gyakrabban fordulnak elő, mint bármely más szám. Ebben az esetben nincs elfogadott móddefiníció. Egyes szerzők azt mondják, hogy ezek mind módok, mások pedig azt, hogy nincs mód.

Medián

A medián a csoport középső száma, amikor sorrendben vannak. (Ha páros számú szám van, akkor a két fél átlagát vesszük.)

Ezért a medián megkereséséhez rendezze a listát elemeinek nagysága szerint, majd ismételten távolítsa el a legmagasabb és legalacsonyabb értékekből álló párt, amíg egy vagy két érték nem marad. Ha pontosan egy érték marad, az a medián; ha két érték, akkor a medián ennek a kettőnek a számtani átlaga. Ez a módszer az 1-es, 7-es, 3-as, 13-as listát veszi, és azt mondja neki, hogy olvassa el az 1-et, 3-at, 7-et, 13-at. Ezután az 1-es és a 13-as eltávolításra kerül, így megkapjuk a 3-as, 7-es listát. Mivel ebben a fennmaradó listában két elem van, a medián a számtani középértéke, (3 + 7) / 2 = 5.

Középkategória

A középtartomány egy halmaz legmagasabb és legalacsonyabb értékének számtani átlaga.

A típusok összefoglalása

Név	Egyenlet vagy leírás
számtani átlag	${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum​​i=1}^{n}x_{i}={\frac {1}{n}}(x_ {1}+\cdots +x_{n})$
Középső	Az átlagérték, amely elválasztja az adathalmaz felső és alsó felét.
geometriai medián	Az R n - beli pontok mediánjának forgatása – invariáns kiterjesztése
Mód	A leggyakoribb érték az adatkészletben.
geometriai átlag	${\sqrt[{n}]{\prod{i=1}^{n}x_{i}}}={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2} \ dotsb x_{n}}}$
harmonikus átlag	${\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{ n}}}}}$
Négyzetgyök (vagy RMS)	${\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}={\sqrt {{\frac {1} { n}}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\right)}}$
köbös átlag	${\sqrt[{3}]{{\frac {1}{n}}\sum​​i=1}^{n}x_{i}^{3}}}={\sqrt[{ 3}]{{\frac {1}{n}}\left(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+\cdots +x_{n}^{3}\jobbra)} }$
Általánosított átlag	${\sqrt[{p}]{{\frac {1}{n}}\cdot \sum​​i=1}^{n}x_{i}^{p}}}$
Súlyozott átlag	${\frac {\sum​​i=1}^{n}w_{i}x_{i}}{\sum​​i=1}^{n}w_{i}}}={\ frac {w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+\cdots +w_{n}x_{n}}{w_{1}+w_{2}+\cdots +w_{n} }}$
Csonka átlag	Az adatértékek számtani középértéke a legmagasabb és legalacsonyabb adatértékek bizonyos száma vagy aránya után el lett hagyva
Interkvartilis átlag	A levágott átlag speciális esete az interkvartilis tartomány használatával . Az interkvartilis levágott átlag speciális esete, amely olyan kvantiliseken (gyakran deciliseken vagy percentiliseken) működik, amelyek egyenlő távolságra vannak, de a medián ellentétes oldalán.
Közép tartomány	${\frac {1}{2}}\left(\max x+\min x\right)$
Winsorized Mean	Hasonló a vágott átlaghoz, de a kiugró értékek eltávolítása helyett a legnagyobb és legkisebb fennmaradó értékkel egyenlőek

A matematikai szimbólumok táblázata magyarázza az alábbiakban használt szimbólumokat.

Különféle típusok

További kifinomultabb átlagok: trimean , trimean és normalized mean , általánosításaikkal együtt. ]

Létrehozhatunk saját átlagos mérőszámot az általánosított f -mean használatával :

$y=f^{-1}\left({\frac {1}{n}}\left[f(x_{1})+f(x_{2})+\cdots +f(x_{ n})\jobbra]\jobbra)$

ahol f bármely invertálható függvény. Ennek egyik példája a harmonikus átlag f ( x ) = 1/ x használatával, a geometriai átlag pedig egy másik, f ( x ) = log x használatával .

Az eszközök generálásának ez a módszere azonban nem elég általános ahhoz, hogy minden átlagot rögzítsen. Az átlag meghatározásának egy általánosabb módszere egy argumentumlista bármely g ( x ₁ , x ₂ , ... x _n ) függvényét veszi fel, amely folytonos , minden argumentumban szigorúan növekszik , és szimmetrikus (az argumentumok permutációja alatt invariáns ). Az y átlaga az az érték, amely a lista minden tagját lecserélve ugyanazt a függvényértéket eredményezi: g ( y , y , ..., y ) = g ( x ₁ , x ₂ , ... , x _n ) ) Ez az általánosabb definíció még mindig megragadja az összes átlag azon fontos tulajdonságát, hogy az azonos elemek listájának átlaga maga az elem. A g ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) = x ₁ + x ₂ + ··· + x _n függvény adja a számtani átlagot. A g ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) = x ₁ x ₂ ··· x _n függvény (ahol a lista elemei pozitív számok) megadja a geometriai átlagot. A g ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) = −( x ₁ ⁻¹ + x ₂ ⁻¹ + · · · + x _n ⁻¹ ) függvény (ahol a lista elemei pozitív számok) a harmonikus jelentést adja. ]

Átlagos százalékos hozam és CAGR

A pénzügyekben használt átlag egyik típusa az átlagos százalékos hozam . Ez egy példa a geometriai átlagra. Ha a hozamok évesek, akkor azt összetett éves növekedési rátának ( CAGR ) nevezik. Például, ha egy két éves időszakot tekintünk, és a befektetés megtérülése az első évben -10%, a második évben pedig +60%, akkor megkapható az átlagos százalékos hozam vagy CAGR, R . Az egyenlet megoldása: (1 - 10%) × (1 + 60%) = (1 - 0,1) × (1 + 0,6) = (1 + R ) × (1 + R ) . Az R értéke, amely ezt az egyenletet igazzá teszi, 0,2, vagyis 20%. Ez azt jelenti, hogy a teljes hozam a 2 éves periódusban ugyanaz, mintha minden évben 20%-os növekedés történt volna. Az évek sorrendjében nincs különbség: az átlagos százalékos hozam +60% és -10% esetén ugyanaz, mint a -10% és +60% esetén.

Ez a módszer általánosítható olyan példákra, ahol a periódusok nem egyenlőek. Vegyünk például egy féléves időszakot, amelyre a hozam –23%, és egy két és fél éves időszakot, amelyre a hozam +13%. A kombinált időszak átlagos százalékos hozama az egyéves hozam, R , amely a következő egyenlet megoldása: (1 − 0,23) ^0,5 × (1 + 0,13) ^2,5 = (1 + R ) 0,5 ^+2,5 átlagos R hozam 0,0600 vagy 6,00%.

Mozgóátlag

Adott idősorok , például napi tőzsdei árak vagy éves hőmérsékletek, az emberek gyakran szeretnének egységesebb sorozatot készíteni. Ez segít megmutatni a mögöttes trendeket vagy esetleg az időszakos viselkedést. Ennek egyszerű módja a mozgóátlag : kiválasztunk egy n számot, és az első n érték számtani középértékének figyelembevételével új sorozatot hozunk létre , majd a legrégebbi érték eldobásával egy hellyel feljebb lépünk, a másikhoz pedig új értéket vezetünk be. végét a listából, és így tovább. Ez a mozgóátlag legegyszerűbb formája. A bonyolultabb formák esetében súlyozott átlagot kell használni . A súlyozás felhasználható különféle periodikus viselkedések fokozására vagy elnyomására, és a szűrési irodalomban nagyon széleskörű megbeszélés folyik arról, hogy milyen súlyokat kell használni . A digitális jelfeldolgozásban a "mozgó átlag" kifejezést akkor is használják, ha a súlyok összege nem 1,0 (tehát a kimeneti sorozat az átlagok skálázott változata). Ennek az az oka, hogy az elemzőt általában csak a trend vagy a periodikus viselkedés érdekli.

Előzmények

Eredet

Az első feljegyzett alkalom, amikor a számtani átlagot 2-ről n esetre terjesztették ki becslési használatra , a 16. században történt. A 16. század végétől fokozatosan vált általánossá a mérési hibák csökkentésére különböző területeken. ​ Abban az időben a csillagászok egy tényleges értéket akartak tudni zajos mérésekből, például egy bolygó helyzetét vagy a Hold átmérőjét. Több mért érték átlagát felhasználva a tudósok azt feltételezték, hogy a hibák viszonylag kis számot adnak az összes mért értékhez képest. A megfigyelési hibák csökkentésének átlagának módszerét elsősorban a csillagászatban fejlesztették ki. A számtani közép lehetséges előfutára az átlagtartomány ( a két szélsőérték átlaga), amelyet például az arab csillagászatban a 9. és 11. század között használnak, de a kohászatban és a hajózásban is.

Azonban számos régebbi, homályos utalás található a számtani átlag használatára (amelyek nem olyan egyértelműek, de ésszerűen összefüggenek az átlag mai definíciójával). Egy 4. századi szövegben azt írták, hogy (a zárójelben szereplő szöveg egy esetlegesen hiányzó szöveg, amely tisztázhatja a jelentést): ]

Először is fel kell állítani egy sorban a monád számsorát kilencig: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ezután össze kell adnunk az összes mennyiségét, és mivel a sor kilenc tagot tartalmaz, meg kell keresnünk az összeg kilencedik részét, hogy megnézzük, hogy az már természetes módon jelen van-e a sorban lévő számok között; és azt fogjuk találni, hogy az a tulajdonság, hogy [egy] kilenced [összeg], csak magához a [számtani] feléhez tartozik. . .

Vannak még régebbi potenciális referenciák. Vannak olyan feljegyzések, amelyek szerint Kr. e. 700 körül. C., a kereskedők és a feladók megállapodtak abban, hogy a rakományban és a hajóban keletkezett károkat (a tengeri károk esetén "hozzájárulásukat") egyenlő arányban kell megosztani közöttük. Ezt az átlaggal is ki lehetett volna számítani, bár úgy tűnik, hogy nincs közvetlen feljegyzés a számításról.

Etimológia

A gyökér az arabban عوار awar néven található , hiba vagy bármi hibás vagy sérült, beleértve a részben romlott árut is; és عواري ʿawārī (más néven عوارة ʿawāra ) = "vagy az ʿawār -hoz kapcsolódik, a részleges sérülés állapota". A nyugati nyelveken belül a szó története a középkori tengeri kereskedelemben kezdődik a Földközi-tengeren. A 12. és 13. századi genovai latin Avaria „a kereskedelmi tengeri utazásból eredő, nem szokásos károkat, veszteségeket és költségeket” jelentette; és ugyanez az avaria jelentése Marseille-ben 1210-ben, Barcelonában 1258-ban és Firenzében a 13. század végén. A tizenötödik századi francia avarie ugyanazt a jelentést adta, és megszületett az angol "averay" (1491) és az angol "average" kifejezés. ( 1502) azonos jelentésű. Az olasz avaria , a katalán avaria és a francia avarie ma is a „ártalom” fő jelentése. Az angol nyelv jelentésének nagy átalakulása a nyugati kereskedelmi hajózási jog szerződéseinek gyakorlatával és a modern nyugati elvekkel kezdődött, amelyek szerint ha a hajó heves viharba ütközött, és az áruk egy részét a fedélzetre kell dobni, hogy a hajó könnyebb és biztonságosabb legyen, minden kereskedőnek, akinek áruja a hajón volt, arányosan kellett szenvednie (és nem azoknak, akiknek áruja a fedélzetre került); és általában minden avariának arányos eloszlásának kellett lennie . Innentől kezdve a brit biztosítók, hitelezők és kereskedők átvették azt a szót, hogy veszteségeikről a teljes eszközportfóliójukon belül beszélnek, és átlagos arányúak. Ebből alakult ki a mai jelentés, amely a 18. század közepén kezdődött, és angolul indult. [ 1]

A tengeri kár egy meghatározott átlag , amelyet csak a sérült ingatlan tulajdonosa vesz fel, vagy egy általános átlag , ahol a tulajdonos a tengerészeti társaság összes felétől arányos hozzájárulást igényelhet. A nagyátlag illesztésénél alkalmazott számítások típusa az „átlag” „számtani átlag” kifejezéséhez vezetett.

Egy második angol használat, amelyet már 1674-ben dokumentáltak, és néha "averziónak" írják, a szántóföldi növények maradványai és második növekedése, amelyeket alkalmasnak tartottak igásállatok ("avers") fogyasztásra. ]

A szónak van egy nem kapcsolódó használata (legalább a 11. századból). Úgy tűnik, hogy ez egy régi jogi kifejezés a bérlőnek a seriffel szembeni munkavállalására, valószínűleg angolul az "avera" kifejezésre, amely megtalálható az angol Domesday Bookban (1085).

Az Oxford English Dictionary azonban azt mondja, hogy a német hafen haven származékokat és az elveszett arab ʿawâr , a harm szót „ eldobták ”, és a szó romantikus eredetű. ]

Lásd még

• Átlagos abszolút eltérés
• átlagok törvénye
• Várható érték
• Központi határérték tétel

Külső linkek

• A medián az összes mintamegfigyelés súlyozott számtani átlaga
• Két érték számtani és geometriai átlagának számítása és összehasonlítása.