Whitehead pont nélküli geometriája - Whitehead's point-free geometry

A matematika , pont nélküli geometria egy geometria , amelynek primitív ontológiai fogalom régió helyett pontot . Az alábbiakban két axiomatikus rendszert mutatunk be, az egyiket a mereológia , a másikat a mereotopológia és a kapcsolatelmélet . Egy pont teret vagy objektumokat jelölhet.

Motiváció

A pontmentes geometriát először Whiteheadben (1919, 1920) fogalmazták meg , nem a geometria vagy a téridő elméleteként , hanem az "események" és az események közötti "kiterjesztési reláció " formájában. Whitehead célja éppúgy filozófiai volt, mint tudományos és matematikai.

Whitehead nem úgy fogalmazta meg elméleteit, hogy kielégítse a formalitás mai kánonjait. Az ebben a bejegyzésben leírt két formális elsőrendű elméletet mások fejlesztették ki, hogy tisztázzák és finomítsák Whitehead elméleteit. A domain a diskurzus mindkét elmélet áll a „régiók”. Ebben a bejegyzésben szereplő valamennyi számszerűtlen változót hallgatólagosan általánosan számszerűsítettnek kell tekinteni ; ezért minden axiómát univerzális lezárásnak kell tekinteni . Egy axióma sem igényel háromnál több számszerűsített változót; ezért lehetséges az elsőrendű elméletek relációs algebrai fordítása . Minden axiómahalmaznak csak négy egzisztenciális kvantorja van .

Befogadáson alapuló pontmentes geometria (mereológia)

A G1 – G7 axiómák a def. 2.1 Gerla és Miranda (2008) (lásd még Gerla (1995)). Az egyes axiómák verbális leírásában szereplő WP n alakú azonosítók a Simons (1987: 83) megfelelő axiómájára vonatkoznak.

Az alapvető primitív bináris reláció az integráció , jelöljük infix „≤”, amely megfelel a bináris Parthood kapcsolatban, hogy ez alapfunkció a mereological elméletek. Az x ≤ y intuitív jelentése " x az y része ". Feltételezve, hogy a "=" infix -szel jelölt egyenlőség a háttérlogika része, a "<" infix -szel jelölt megfelelő bináris reláció a következőképpen definiálható:

${\ displaystyle x <y \ leftrightarrow (x \ leq y \ land x \ not = y).}$

Az axiómák a következők:

• Az Inclusion részben megrendeli a tartományt .

G1. ( reflexív )${\ displaystyle x \ leq x.}$

G2. ( tranzitív ) WP4 .${\ displaystyle (x \ leq z \ land z \ leq y) \ rightarrow x \ leq y.}$

G3. ( antiszimmetrikus )${\ displaystyle (x \ leq y \ land y \ leq x) \ rightarrow x = y.}$

• Tekintettel bármely két régióra, létezik egy régió, amely mindkettőt tartalmazza. WP6 .

G4. ${\ displaystyle \ létezik z [x \ leq z \ land y \ leq z].}$

• A Proper Part sűrűn rendeli a tartományt . WP5 .

G5. ${\ displaystyle x <y \ rightarrow \ létezik z [x <z <y].}$

• Mind az atomi régiók, mind az univerzális régiók nem léteznek. Ezért a tartománynak nincs sem felső, sem alsó határa. WP2 .

G6. ${\ displaystyle \ létezik y \ létezik z [y <x \ land x <z].}$

• Megfelelő alkatrészek elve. Ha x minden megfelelő része y megfelelő része , akkor x szerepel y -ben . WP3 .

G7. ${\ displaystyle \ forall z [z <x \ rightarrow z <y] \ rightarrow x \ leq y.}$

A modell a G1-G7 egy felvétel térben .

Definíció (Gerla és Miranda 2008: Def. 4.1). Mivel néhány felvétel S tér, egy absztrakciós osztály egy osztály G régiók oly módon, hogy az S \ G mostantól Teljesen rendezett beiktatásával. Ezenkívül nem létezik olyan régió, amely a G -ban szereplő összes régióban szerepel .

Intuitív módon az absztrakt osztály olyan geometriai entitást határoz meg, amelynek dimenziója kisebb, mint a zárványtéré. Például, ha az inklúziós tér az euklideszi sík , akkor a megfelelő absztrakt osztályok pontok és vonalak .

A befogadáson alapuló pontmentes geometria (ezentúl "pontmentes geometria") lényegében Simons (1987: 83) W rendszerének axiomatizációja. W viszont Whiteheadben (1919) formalizál egy elméletet, amelynek axiómáit nem teszik egyértelművé. A pontmentes geometria W , ezzel a hibával javítva. Simons (1987) nem javította ki ezt a hibát, hanem lábjegyzetben javasolta, hogy az olvasó ezt gyakorlásként tegye meg. A W primitív relációja a Proper Part, a szigorú részrend . Whitehead elmélete (1919) egyetlen primitív K bináris relációval rendelkezik , amely xKy ↔ y  <  x . Ezért K a fordítottja megfelelő rész. Simons WP1 -je azt állítja, hogy a megfelelő rész nem reflexív, és így megfelel a G1 -nek . A G3 megállapítja, hogy a beillesztés, ellentétben a megfelelő résszel, antiszimmetrikus .

A pontmentes geometria szoros rokonságban áll egy sűrű D lineáris renddel , amelynek axiómái G1-3 , G5 , és a teljes axióma. Ezért a zárványalapú pontmentes geometria a D megfelelő kiterjesztése lenne (nevezetesen D ∪ { G4 , G6 , G7 }), ha nem az lenne, hogy a "≤" D összefüggés teljes sorrend . ${\ displaystyle x \ leq y \ lor y \ leq x.}$

Kapcsolatelmélet (mereotopológia)

Más megközelítést javasolt Whitehead (1929), amelyet De Laguna (1922) ihletett. Whitehead primitívnek vette a két régió közötti „kapcsolat” topológiai fogalmát, ami primitív „kapcsolati kapcsolatot” eredményezett az események között. A C kapcsolati elmélet egy elsőrendű elmélet, amely a Folyamat és valóság 4. részének 2. fejezetében szereplő 31 feltevésből az első 12- t 6 axiómába, C1-C6-ba sorolja . A C a Clarke (1981) által javasolt elméletek megfelelő töredéke, aki megjegyezte azok mereológiai jellegét. Azokat az elméleteket, amelyek a C -hez hasonlóan tartalmaznak befogadást és topológiai primitíveket, mereotopológiáknak nevezzük .

A C -nek van egy primitív relációja , a bináris "kapcsolat", amelyet az előtagú C állító betű jelöl . Ha x szerepel az y -ban, akkor most x ≤ y ↔ ∀z [ Czx → Czy ] -ként definiálható . A beillesztési terek esettől eltérően a kapcsolatelmélet lehetővé teszi a "nem érintőleges" befogadás meghatározását, egy teljes sorrendet, amely lehetővé teszi az absztrakt osztályok felépítését. Gerla és Miranda (2008) azzal érvel, hogy a mereotopológia csak így határozhat meg egyértelműen egy pontot .

Az alábbi C1-C6 axiómák a def. 3.1 Gerla és Miranda (2008):

• C jelentése reflexív . C.1.

C1. ${\ displaystyle \ Cxx.}$

• C jelentése szimmetrikus . C.2.

C2. ${\ displaystyle Cxy \ rightarrow Cyx.}$

• C jelentése extenziós . C.11.

C3. ${\ displaystyle \ forall z [Czx \ leftrightarrow Czy] \ rightarrow x = y.}$

• Minden régióban megfelelő részeit, így a C egy atomless elmélet. P.9.

C4. ${\ displaystyle \ létezik y [y <x].}$

• Tekintettel bármely két régióra, van egy régió, amely mindkettőhöz kapcsolódik.

C5. ${\ displaystyle \ létezik z [Czx \ land Czy].}$

• Minden régióban van legalább két nem összekapcsolt rész. C.14.

C6. ${\ displaystyle \ létezik y \ létezik z [(y \ leq x) \ land (z \ leq x) \ land \ neg Cyz].}$

A C modell egy kapcsolódási tér .

Az egyes axiómák szóbeli leírását követően Casati és Varzi (1999) megfelelő axiómájának azonosítója található. Rendszerük, az SMT ( erős mereotopológia ) C1-C3-ból áll , és lényegében Clarke-nak köszönhető (1981). Bármilyen mereotopology lehet atomless hivatkozva C4 , kockázata nélkül paradoxon vagy triviális. Ezért a C kiterjeszti az SMT atom nélküli változatát a C5 és C6 axiómák segítségével, amint azt a Folyamat és valóság 4. részének 2. fejezete javasolja . A C -vel kapcsolatos rendszerek fejlett és részletes tárgyalását lásd Roeper (1997).

Biacino és Gerla (1991) kimutatták, hogy Clarke elméletének minden modellje boole -algebra , és az ilyen algebrák modelljei nem tudják megkülönböztetni a kapcsolatot az átfedéstől. Kétséges, hogy bármelyik tény hű -e Whitehead szándékához.

Lásd még

• Mereológia
• Mereotopológia
• Értelmetlen topológia

Megjegyzések

Hivatkozások

• Biacino L. és Gerla G., 1991, " Connection Structures ", Notre Dame Journal of Formal Logic 32: 242-47.
• Casati, R., és Varzi, AC, 1999. Részek és helyek: a térábrázolás struktúrái . MIT Nyomja meg.
• Clarke, Bowman, 1981, " Egyénszámítás " kapcsolaton "alapuló ," Notre Dame Journal of Formal Logic 22 : 204-18.
• ------, 1985, " Individuals and Points ", Notre Dame Journal of Formal Logic 26 : 61-75.
• De Laguna, T., 1922, "Pont, egyenes és felület mint szilárd halmaz", The Journal of Philosophy 19 : 449-61.
• Gerla, G., 1995, " Pointless Geometries " in Buekenhout, F., Kantor, W. szerk., Handbook of incidence geometry: building and fundations . Észak-Hollandia: 1015-31.
• --------, és Miranda A., 2008, " Inclusion and Connection in Whitehead's Point-free Geometry ", in Michel Weber és Will Desmond, (szerk.), Handhead of Whiteheadian Process Thought , Frankfurt / Lancaster, ontos verlag, Process Thought X1 & X2.
• Gruszczynski R. és Pietruszczak A., 2008, " Tarski szilárdanyag-geometriájának teljes kifejlesztése ", Bulletin of Symbolic Logic 14: 481-540. Az írás a Whitehead elképzeléseiből származó, Lesniewski-féle mereológián alapuló pontmentes geometriarendszer bemutatását tartalmazza. Röviden tárgyalja a pontmentes és pont alapú geometriarendszerek kapcsolatát is. A mereológiai struktúrák alapvető tulajdonságai is bemutatásra kerülnek.
• Grzegorczyk, A., 1960, "A geometria axiomatizálhatósága pontok nélkül", Synthese 12 : 228-235.
• Kneebone, G., 1963. Matematikai logika és a matematika alapja . Doveri újranyomtatás, 2001.
• Lucas, JR , 2000. A matematika fogalmi gyökerei . Útvonal. Chpt. 10., "prototopológia", Whitehead rendszereit tárgyalja, és erősen befolyásolják David Bostock publikálatlan írásai .
• Roeper, P., 1997, "Region-Based Topology", Journal of Philosophical Logic 26 : 251-309.
• Simons, P., 1987. Részek: Tanulmány az ontológiából . Oxford Univ. Nyomja meg.
• Whitehead, AN , 1916, "La Theorie Relationiste de l'Espace", Revue de Metaphysique et de Morale 23 : 423-454. Fordítva: Hurley, PJ, 1979, "A tér relációs elmélete", Philosophy Research Archives 5 : 712-741.
• --------, 1919. Vizsgálat a természeti tudás alapelveiről . Cambridge Univ. Nyomja meg. 2. kiadás, 1925.
• --------, 1920. A természet fogalma . Cambridge Univ. Nyomja meg. 2004 -es könyv, Prometheus Books. A Trinity College 1919 -es Tarner -előadásai .
• --------, 1979 (1929). Folyamat és valóság . Szabad sajtó.