La géométrie sans point de Whitehead - Whitehead's point-free geometry

En mathématiques , la géométrie sans point est une géométrie dont la notion ontologique primitive est région plutôt que point . Deux systèmes axiomatiques sont présentés ci-dessous, l'un fondé sur la méréologie , l'autre sur la méréotopologie et connu sous le nom de théorie des connexions . Un point peut marquer un espace ou des objets.

Motivation

La géométrie sans points a été formulée pour la première fois dans Whitehead (1919, 1920), non comme une théorie de la géométrie ou de l' espace - temps , mais des « événements » et d'une « relation d' extension » entre les événements. Les objectifs de Whitehead étaient autant philosophiques que scientifiques et mathématiques.

Whitehead n'a pas exposé ses théories d'une manière qui satisferait les canons de formalité actuels. Les deux théories formelles du premier ordre décrites dans cette entrée ont été conçues par d'autres afin de clarifier et d'affiner les théories de Whitehead. Le domaine du discours pour les deux théories se compose de « régions ». Toutes les variables non quantifiées dans cette entrée doivent être considérées comme tacitement quantifiées universellement ; par conséquent, tous les axiomes doivent être considérés comme des fermetures universelles . Aucun axiome ne requiert plus de trois variables quantifiées ; par conséquent, une traduction des théories du premier ordre en algèbre relationnelle est possible. Chaque ensemble d'axiomes n'a que quatre quantificateurs existentiels .

Géométrie sans point basée sur l'inclusion (méréologie)

Les axiomes G1 à G7 sont, mais pour la numérotation, ceux de la Def. 2.1 dans Gerla et Miranda (2008) (voir aussi Gerla (1995)). Les identifiants de la forme WP n , inclus dans la description verbale de chaque axiome, renvoient à l'axiome correspondant dans Simons (1987 : 83).

La relation binaire primitive fondamentale est l' inclusion , désignée par l' infixe « ≤ », qui correspond à la relation binaire de Parthood qui est une caractéristique standard des théories méréologiques . La signification intuitive de x ≤ y est « x fait partie de y ». En supposant que l'égalité, notée infixe "=", fait partie de la logique d'arrière-plan, la relation binaire Proper Part , notée infixe "<", est définie comme :

${\displaystyle x<y\leftrightarrow (x\leq y\land x\not =y).}$

Les axiomes sont :

• L'inclusion commande partiellement le domaine .

G1. ( réflexif )${\style d'affichage x\leq x.}$

G2. ( transitif ) WP4 .${\displaystyle (x\leq z\land z\leq y)\rightarrow x\leq y.}$

G3. ( antisymétrique )${\displaystyle (x\leq y\land y\leq x)\rightarrow x=y.}$

• Étant donné deux régions, il existe une région qui les inclut toutes les deux. WP6 .

G4. ${\displaystyle \exists z[x\leq z\land y\leq z].}$

• Proper Part ordonne de manière dense le domaine . WP5 .

G5. ${\displaystyle x<y\rightarrow \exists z[x<z<y].}$

• Les régions atomiques et une région universelle n'existent pas. Le domaine n'a donc ni borne supérieure ni borne inférieure. WP2 .

G6. ${\displaystyle \exists y\exists z[y<x\land x<z].}$

• Principe des pièces appropriées. Si toutes les parties propres de x sont des parties propres de y , alors x est inclus dans y . WP3 .

G7. ${\displaystyle \forall z[z<x\rightarrow z<y]\rightarrow x\leq y.}$

Un modèle de G1-G7 est un espace d'inclusion .

Définition (Gerla et Miranda 2008 : déf. 4.1). Étant donné un espace d'inclusion S, une classe abstraite est une classe G de régions telle que S\G est totalement ordonnée par inclusion. De plus, il n'existe pas de région comprise dans toutes les régions comprises dans G .

Intuitivement, une classe abstraite définit une entité géométrique dont la dimensionnalité est inférieure à celle de l'espace d'inclusion. Par exemple, si l'espace d'inclusion est le plan euclidien , alors les classes abstraites correspondantes sont des points et des lignes .

La géométrie sans point basée sur l'inclusion (ci-après « géométrie sans point ») est essentiellement une axiomatisation du système W de Simons (1987 : 83) . À son tour, W formalise une théorie dans Whitehead (1919) dont les axiomes ne sont pas explicités. La géométrie sans point est W avec ce défaut réparé. Simons (1987) n'a pas réparé ce défaut, proposant plutôt dans une note de bas de page que le lecteur le fasse à titre d'exercice. La relation primitive de W est Proper Part, un ordre partiel strict . La théorie de Whitehead (1919) a une seule relation binaire primitive K définie comme xKy ↔ y  <  x . Donc K est l' inverse de la partie propre. Le WP1 de Simons affirme que Proper Part est irréflexible et correspond donc à G1 . G3 établit que l'inclusion, contrairement à la partie propre, est antisymétrique .

La géométrie sans point est étroitement liée à un ordre linéaire dense D , dont les axiomes sont G1-3 , G5 , et l'axiome de totalité Par conséquent, la géométrie sans point basée sur l'inclusion serait une extension appropriée de D (à savoir D ∪ { G4 , G6 , G7 }), si ce n'était que la relation D "≤" est un ordre total . ${\displaystyle x\leq y\lor y\leq x.}$

Théorie des connexions (méréotopologie)

Une approche différente a été proposée dans Whitehead (1929), inspirée de De Laguna (1922). Whitehead a pris comme primitive la notion topologique de "contact" entre deux régions, résultant en une "relation de connexion" primitive entre les événements. La théorie des connexions C est une théorie du premier ordre qui distille les 12 premières des 31 hypothèses du chapitre 2 de la partie 4 de Processus et réalité en 6 axiomes, C1-C6 . C est un bon fragment des théories proposées par Clarke (1981), qui a noté leur caractère méréologique . Les théories qui, comme C , comportent à la fois des inclusions et des primitives topologiques, sont appelées meréotopologies .

C a une relation primitive , la "connexion" binaire, désignée par la lettre préfixée C . Que x soit inclus dans y peut maintenant être défini comme x ≤ y ↔ ∀z[ Czx → Czy ]. Contrairement au cas des espaces d'inclusion, la théorie des connexions permet de définir l'inclusion « non tangentielle », un ordre total qui permet la construction de classes abstraites. Gerla et Miranda (2008) soutiennent que ce n'est qu'ainsi que la meréotopologie peut définir sans ambiguïté un point .

Les axiomes C1-C6 ci - dessous sont, mais pour la numérotation, ceux de la Def. 3.1 dans Gerla et Miranda (2008) :

• C est réflexif . C.1.

C1. ${\style d'affichage \ Cxx.}$

• C est symétrique . C.2.

C2. ${\displaystyle Cxy\rightarrow Cyx.}$

• C est extensionnel . C.11.

C3. ${\displaystyle \forall z[Czx\leftrightarrow Czy]\rightarrow x=y.}$

• Toutes les régions ont des parties propres, de sorte que C est une théorie sans atome . P.9.

C4. ${\displaystyle \exists y[y<x].}$

• Étant donné deux régions, il existe une région connectée aux deux.

C5. ${\displaystyle \exists z[Czx\land Czy].}$

• Toutes les régions ont au moins deux parties non connectées. C.14.

C6. ${\displaystyle \exists y\exists z[(y\leq x)\land (z\leq x)\land \neg Cyz].}$

Un modèle de C est un espace de connexion .

Après la description verbale de chaque axiome se trouve l'identifiant de l'axiome correspondant dans Casati et Varzi (1999). Leur système SMT ( forte mereotopologie ) est constitué de C1-C3 , et est essentiellement dû à Clarke (1981). Toute meréotopologie peut être rendue sans atome en invoquant C4 , sans risquer de paradoxe ou de trivialité. Par conséquent, C étend la variante sans atome de SMT au moyen des axiomes C5 et C6 , suggérés par le chapitre 2 de la partie 4 de Process and Reality . Pour une discussion avancée et détaillée des systèmes liés à C , voir Roeper (1997).

Biacino et Gerla (1991) ont montré que chaque modèle de la théorie de Clarke est une algèbre booléenne , et les modèles de telles algèbres ne peuvent pas distinguer la connexion du chevauchement. Il est douteux que l'un ou l'autre des faits soit fidèle à l'intention de Whitehead.

Voir également

• Méréologie
• Meréotopologie
• Topologie inutile

Remarques

Les références

• Biacino L., et Gerla G., 1991, " Connection Structures ", Notre Dame Journal of Formal Logic 32 : 242-47.
• Casati, R., et Varzi, AC, 1999. Parties et lieux : les structures de la représentation spatiale . Presse MIT.
• Clarke, Bowman, 1981, « A calculus of individual based on 'connection' », Notre Dame Journal of Formal Logic 22 : 204-18.
• ------, 1985, " Individuals and Points ", Notre Dame Journal of Formal Logic 26 : 61-75.
• De Laguna, T., 1922, "Point, line and surface as sets of solids," The Journal of Philosophy 19 : 449-61.
• Gerla, G., 1995, " Pointless Geometries " in Buekenhout, F., Kantor, W. eds., Handbook of incidence geometry: buildings and fondations . Hollande du Nord : 1015-31.
• --------, et Miranda A., 2008, " Inclusion and Connection in Whitehead's Point-free Geometry ", in Michel Weber et Will Desmond, (eds.), Handbook of Whiteheadian Process Thought , Francfort/Lancaster, ontos verlag, Process Thought X1 & X2.
• Gruszczynski R., et Pietruszczak A., 2008, " Développement complet de la géométrie des solides de Tarski ", Bulletin of Symbolic Logic 14:481-540. L'article contient une présentation d'un système de géométrie sans points provenant des idées de Whitehead et basé sur la méréologie de Lesniewski. Il traite également brièvement de la relation entre les systèmes de géométrie sans point et à base de points. Les propriétés de base des structures méréologiques sont également données.
• Grzegorczyk, A., 1960, "Axiomatisabilité de la géométrie sans points," Synthèse 12 : 228-235.
• Kneebone, G., 1963. Logique mathématique et fondement des mathématiques . Réimpression de Douvres, 2001.
• Lucas, JR , 2000. Racines conceptuelles des mathématiques . Routledge. Chpt. 10, sur la « prototopologie », traite des systèmes de Whitehead et est fortement influencé par les écrits inédits de David Bostock .
• Roeper, P., 1997, "Region-Based Topology," Journal of Philosophical Logic 26 : 251-309.
• Simons, P., 1987. Parties : Une étude en ontologie . Université d'Oxford. Presse.
• Whitehead, AN , 1916, « La Théorie Relationiste de l'Espace », Revue de Métaphysique et de Morale 23 : 423-454. Traduit comme Hurley, PJ, 1979, "The relational theory of space," Philosophy Research Archives 5 : 712-741.
• --------, 1919. Une enquête concernant les principes de la connaissance naturelle . Université de Cambridge Presse. 2e éd., 1925.
• --------, 1920. Le concept de la nature . Université de Cambridge Presse. 2004, livre de poche, Prometheus Books. Étant les conférences Tarner de 1919 prononcées au Trinity College .
• --------, 1979 (1929). Processus et réalité . Presse libre.