Valószínűség -generáló függvény - Probability-generating function

A valószínűségszámítás , a Generátorfüggvény egy diszkrét véletlen változó egy hatványsort ábrázolása (a generáló függvény ) a valószínűségi tömegfüggvény a valószínűségi változó . Generátorfüggvény gyakran alkalmaznak a tömör leírást a szekvenciája valószínűségek Pr ( X = i ) a valószínűségi tömegfüggvény egy valószínűségi változó X , és ahhoz, hogy a jól fejlett elmélete hatványsorok a nem-negatív együtthatók.

Meghatározás

Egyváltozós eset

Ha X jelentése egy diszkrét véletlen változó figyelembe értékeket a nem-negatív egész számok {0,1, ...}, akkor a Generátorfüggvény az X definíciója

${\ displaystyle G (z) = \ operatornév {E} (z^{X}) = \ sum _ {x = 0}^{\ infty} p (x) z^{x},}$

ahol p jelentése a valószínűségi tömegfüggvény az X . Ne feledje, hogy a G _X és p _X előjegyzéseket gyakran használják annak hangsúlyozására, hogy ezek egy adott X véletlenszerű változóra és annak eloszlására vonatkoznak . A hatványsor legalább abszolút konvergál minden z komplex számra , | z | ≤ 1; sok példában a konvergencia sugara nagyobb.

Többváltozós tok

Ha X = ( X ₁ , ..., X _d  ) egy diszkrét véletlen változó figyelembe az értékeket a d dimenziós nem negatív egész szám, rács {0,1, ...} ^d , akkor az Generátorfüggvény az X jelentése ként meghatározott

${\ displaystyle G (z) = G (z_ {1}, \ ldots, z_ {d}) = \ operatorname {E} {\ bigl (} z_ {1}^{X_ {1}} \ cdots z_ {d }^{X_ {d}} {\ bigr)} = \ sum _ {x_ {1}, \ ldots, x_ {d} = 0}^{\ infty} p (x_ {1}, \ ldots, x_ { d}) z_ {1}^{x_ {1}} \ cdots z_ {d}^{x_ {d}},}$

ahol p X valószínűségi tömegfüggvénye . A teljesítmény sorozat konvergál abszolút legalább minden komplex vektorok Z = ( Z ₁ , ..., Z _d  ) ∈ ℂ ^d a max {| z ₁ |, ..., | z _d  |} ≤ 1 .

Tulajdonságok

Power sorozat

A valószínűséggeneráló függvények betartják a nem negatív együtthatójú hatványsorok minden szabályát. Különösen G (1 ^- ) = 1, ahol G (1 ^- ) = lim _{z → 1} G ( z ) alulról , mivel a valószínűségek összege egy. Tehát minden valószínűséggeneráló függvény konvergencia sugarának legalább 1-nek kell lennie, Abel tétele alapján a nem negatív együtthatójú hatványsorokra.

Valószínűségek és elvárások

A következő tulajdonságok lehetővé teszik az X -hez kapcsolódó különböző alapvető mennyiségek levezetését :

1. X valószínűségi tömegfüggvényét a G származékainak figyelembevételével nyerjük vissza ,

   ${\ displaystyle p (k) = \ operatornév {Pr} (X = k) = {\ frac {G^{(k)} (0)} {k!}}.}$

2. Az 1. tulajdonságból az következik, hogy ha az X és Y véletlen változók egyenlő valószínűséggeneráló függvényekkel rendelkeznek , akkor . Azaz, ha X és Y azonos valószínűséggeneráló függvényekkel rendelkezik, akkor azonos eloszlásúak.${\ displaystyle G_ {X} = G_ {Y}}$${\ displaystyle p_ {X} = p_ {Y}}$
3. A valószínűségi sűrűségfüggvény normalizálását a generáló függvényben fejezhetjük ki

   ${\ displaystyle \ operatornév {E} [1] = G (1^{-}) = \ összeg _ {i = 0}^{\ infty} p (i) = 1.}$

   Az elvárás az adja ${\ displaystyle X}$

   ${\ displaystyle \ operatornév {E} [X] = G '(1^{-}).}$

   Általánosabban, a k ^th faktoriális pillanatban , az X adják ${\ displaystyle \ operatornév {E} (X (X-1) \ cdots (X-k+1))}$

   ${\ displaystyle \ operatornév {E} \ left [{\ frac {X!} {(Xk)!}} \ right] = G^{(k)} (1^{-}), \ quad k \ geq 0 .}$

   Tehát a szórás az X adják

   ${\ displaystyle \ operatornév {Var} (X) = G '' (1^{-})+G '(1^{-})-\ left [G' (1^{-}) \ right]^{ 2}.}$

   Végül a k ^th nyers pillanata az X által adott

   ${\ displaystyle \ operatornév {E} [X^{k}] = \ left (z {\ frac {\ partial} {\ partial z}} \ right)^{k} G (z) {\ Big |} _ {z = 1^{-}}}$

4. ${\ displaystyle G_ {X} (e^{t}) = M_ {X} (t)}$ahol X jelentése egy véletlenszerű változó, a Generátorfüggvény (az X ), és az a pillanat-generáló függvény (az X ).${\ displaystyle G_ {X} (t)}$${\ displaystyle M_ {X} (t)}$

Független véletlen változók függvényei

A valószínűséggeneráló függvények különösen hasznosak független véletlen változók függvényeinek kezelésében . Például:

• Ha X ₁ , X ₂ , ..., X _N független (és nem feltétlenül azonos eloszlású) véletlen változók sorozata, és

${\ displaystyle S_ {N} = \ sum _ {i = 1}^{N} a_ {i} X_ {i},}$

ahol az a _i állandók, akkor a valószínűséggeneráló függvényt a

${\ displaystyle G_ {S_ {N}} (z) = \ operatornév {E} (z^{S_ {N}}) = \ operatorname {E} \ left (z^{\ sum _ {i = 1}^ {N} a_ {i} X_ {i},} \ right) = G_ {X_ {1}} (z^{a_ {1}}) G_ {X_ {2}} (z^{a_ {2}} ) \ cdots G_ {X_ {N}} (z^{a_ {N}}).}$

Például, ha

${\ displaystyle S_ {N} = \ sum _ {i = 1}^{N} X_ {i},}$

akkor a valószínűséggeneráló függvényt, G _{S N} ( z ) -et adjuk meg

${\ displaystyle G_ {S_ {N}} (z) = G_ {X_ {1}} (z) G_ {X_ {2}} (z) \ cdots G_ {X_ {N}} (z).}$

Ebből az is következik, hogy a Generátorfüggvény a különbség a két független valószínűségi változók S = X ₁ - X ₂ jelentése

${\ displaystyle G_ {S} (z) = G_ {X_ {1}} (z) G_ {X_ {2}} (1/z).}$

• Tegyük fel, hogy N is egy független, diszkrét véletlen változó figyelembe értékek a nem-negatív egész számok, és Generátorfüggvény G _N . Ha az X ₁ , X ₂ , ..., X _N függetlenek és azonos eloszlásúak, közös valószínűséggeneráló függvénnyel G _X , akkor

${\ displaystyle G_ {S_ {N}} (z) = G_ {N} (G_ {X} (z)).}$

Ez a teljes elvárás törvényét használva a következőképpen látható:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} G_ {S_ {N}} (z) & = \ operatornév {E} (z^{S_ {N}}) = \ operatorname {E} (z^{\ sum _ { i = 1}^{N} X_ {i}}) \\ [4pt] & = \ operatornév {E} {\ nagy (} \ operatornév {E} (z^{\ sum _ {i = 1}^{ N} X_ {i}} \ N közepén) {\ nagy)} = \ operatornév {E} {\ nagy (} (G_ {X} (z))^{N} {\ nagy)} = G_ {N} (G_ {X} (z)). \ End {igazítva}}}$

Ez utóbbi tény hasznos a Galton – Watson folyamatok és az összetett Poisson folyamatok tanulmányozásakor .

• Tegyük fel, hogy az N is egy független, diszkrét véletlen változó figyelembe értékek a nem-negatív egész számok, és Generátorfüggvény G _N és a valószínűség sűrűsége . Ha a X ₁ , X ₂ , ..., X _N függetlenek, de nem azonos eloszlású változók, ahol jelöli a Generátorfüggvény a , majd${\ displaystyle f_ {i} = \ Pr \ {N = i \}}$${\ displaystyle G_ {X_ {i}}}$${\ displaystyle X_ {i}}$

${\ displaystyle G_ {S_ {N}} (z) = \ sum _ {i \ geq 1} f_ {i} \ prod _ {k = 1}^{i} G_ {X_ {i}} (z). }$

Az azonos eloszlású X _{i esetében} ez leegyszerűsödik a korábban megadott identitásra. Az általános eset néha hasznos, ha S _N bontását függvénygenerálással érjük el.

Példák

• Egy majdnem biztosan konstans , azaz Pr ( X = c ) = 1 valószínűségű változó valószínűség generáló függvénye

${\ displaystyle G (z) = z^{c}.}$

• Egy binomiális véletlen változó valószínűséggeneráló függvénye , a sikerek száma n kísérletben, a p valószínűséggel a siker minden kísérletben

${\ displaystyle G (z) = \ left [(1-p)+pz \ right]^{n}.}$

Vegye figyelembe, hogy ez a p paraméterű Bernoulli véletlen változó valószínűséggeneráló függvényének n -szeres szorzata .

Tehát a Generátorfüggvény egy pénzérmét , az

${\ displaystyle G (z) = 1/2+z/2.}$

• Egy negatív binomiális véletlen változó valószínűséggeneráló függvénye a {0,1,2 ...} -on, a hibák száma az r -es sikerig, a siker valószínűségével minden p kísérletben :

${\ displaystyle G (z) = \ left ({\ frac {p} {1- (1-p) z}} \ right)^{r}.}$

(Konvergencia ehhez ).${\ displaystyle | z | <{\ frac {1} {1-p}}}$

Vegye figyelembe, hogy ez az 1 -p paraméterű  geometriai véletlen változó valószínűséggeneráló függvényének r -szorzatú szorzata a {0,1,2, ...} értéken.

• A Generátorfüggvény egy Poisson véletlen változó paraméterrel λ jelentése

${\ displaystyle G (z) = e^{\ lambda (z-1)}.}$

Kapcsolódó fogalmak

A valószínűséggeneráló függvény egy példa egy sorozat generáló függvényére : lásd még a formális hatványsorokat . Ez egyenlő a valószínűségi tömegfüggvény z-transzformációjával , és néha annak is nevezik .

A véletlen változók egyéb generáló függvényei közé tartozik a nyomatékgeneráló függvény , a jellegzetes függvény és a kumuláns generáló függvény . A valószínűséggeneráló függvény egyenértékű a faktoros nyomatékgeneráló függvénnyel is , amely a folyamatos és más véletlen változók esetében is figyelembe vehető. ${\ displaystyle \ operatornév {E} \ left [z^{X} \ right]}$

Megjegyzések

Hivatkozások

• Johnson, NL; Kotz, S .; Kemp, AW (1993) Egyváltozós diszkrét disztribúciók (2. kiadás). Wiley. ISBN  0-471-54897-9 (1.B9. Szakasz)