Normál kezelő - Normal operator

A matematika , különösen a funkcionális elemzés , egy szokásos üzemben a komplex Hilbert tér H egy folyamatos lineáris operátor N  : H → H , hogy commutes annak hermitikus adjoint N * , azaz: NN * = N * N .

A normál operátorok azért fontosak, mert a spektrum tétel érvényes rájuk. A normál operátorok osztálya jól érthető. Példák a normál operátorokra

• egységes operátorok : N * = N ⁻¹
• Remete operátorok (azaz önadjunkt operátorok): N * = N
• Ferde-hermita operátorok: N * = - N
• pozitív operátorok : N = MM * néhány M esetében (tehát N önálló).

A normál mátrix egy normál operátor mátrix kifejezése a Hilbert C ⁿ térben .

Tulajdonságok

A normál operátorokat a spektrális tétel jellemzi . A kompakt normál operátor (különösen egy normális operátor egy véges dimenziós lineáris térben) egységesen átlósítható .

Legyen egy korlátozott operátor. A következők egyenértékűek. ${\ displaystyle T}$

• ${\ displaystyle T}$ normális.
• ${\ displaystyle T ^ {*}}$ normális.
• ${\ displaystyle \ | Tx \ | = \ | T ^ {*} x \ |}$mindenki számára (használat ).${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ | Tx \ | ^ {2} = \ langle T ^ {*} Tx, x \ rangle = \ langle TT ^ {*} x, x \ rangle = \ | T ^ {*} x \ | ^ {2}}$
• Az ingázás ön- és önellátó részei . Vagyis, ha úgy van megírva, hogy akkor és akkor${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T = T_ {1} + iT_ {2}}$${\ displaystyle T_ {1}: = {\ frac {T + T ^ {*}} {2}}}$${\ displaystyle i \, T_ {2}: = {\ frac {TT ^ {*}} {2}},}$${\ displaystyle T_ {1} T_ {2} = T_ {2} T_ {1}.}$

Ha normál operátor, akkor és ugyanazzal a kernellel és ugyanazzal a tartománygal rendelkezzünk. Következésképpen a tartomány csak akkor sűrű, ha injekciós. Másképp fogalmazva: a normál operátor magja a tartományának ortogonális kiegészítője. Ebből következik, hogy az operátor magja egybeesik bármelyikével , így a normál operátor minden általánosított sajátértéke valódi. egy sajátérték normál üzemben , ha, és csak akkor, ha a komplex konjugált egy sajátértéke sajátvektorai egy normális üzemben megfelelő különböző sajátértékek ortogonálisak, és egy normális üzemben stabilizálja ortogonális komplement annak minden eigenspaces. Ez magában foglalja a szokásos spektrumtételt: a véges dimenziós tér minden normál operátorát átlósíthatja egy egységes operátor. Van még egy spektrális tétel végtelen dimenziós változata, amelyet vetítésértékű mértékekben fejezünk ki . A normál operátor maradék spektruma üres. ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle N ^ {*}}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle N ^ {k}}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle k.}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle {\ overline {\ lambda}}}$${\ displaystyle N ^ {*}.}$

Az ingázó normál operátorok terméke ismét normális; ez nem triviális, de közvetlenül Fuglede tételéből következik , amely kimondja (Putnam által általánosított formában):

Ha és normál operátorok, és ha egy korlátozott lineáris operátor olyan, hogy akkor .${\ displaystyle N_ {1}}$${\ displaystyle N_ {2}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle N_ {1} A = AN_ {2},}$${\ displaystyle N_ {1} ^ {*} A = AN_ {2} ^ {*}}$

A normál operátor operátori normája megegyezik a numerikus sugárral és a spektrális sugárral .

Egy normál operátor egybeesik Aluthge transzformációjával .

Tulajdonságok véges dimenziós esetben

Ha egy normális T operátor egy véges dimenziójú valós vagy komplex Hilbert-téren (belső terméktér) H stabilizálja egy V alteret , akkor stabilizálja V ^⊥ ortogonális komplementerét is . (Ez az állítás triviális abban az esetben, ha T önálló.)

Bizonyíték. Legyen P _V a V-re merőleges vetület . Ezután ortogonális vetülete V ^⊥ jelentése 1 _H - P _V . Az a tény, hogy a T stabilizálja V fejezhető ki ( 1 _H - P _V ) TP _V = 0, vagy a TP _V = P _V TP _V . A cél annak bemutatása, hogy P _V T ( 1 _H - P _V ) = 0.

Legyen X = P _V T ( 1 _H - P _V ). Mivel ( A , B ) ↦ tr ( AB * ) belső szorzat a H endomorfizmusainak terén , elegendő megmutatni, hogy tr ( XX * ) = 0. Először megjegyezzük, hogy

${\ displaystyle XX ^ {*} = P_ {V} T ({\ félkövér szimbólum {1}} _ {H} -P_ {V}) ^ {2} T ^ {*} P_ {V} = P_ {V} T ({\ boldsymbol {1}} _ {H} -P_ {V}) T ^ {*} P_ {V} = P_ {V} TT ^ {*} P_ {V} -P_ {V} TP_ {V } T ^ {*} P_ {V}}$.

Most a nyom és az ortogonális vetületek tulajdonságait használjuk :

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ operatornév {tr} (XX ^ {*}) & = \ operatorname {tr} \ left (P_ {V} TT ^ {*} P_ {V} -P_ {V} TP_ {V} T ^ {*} P_ {V} \ jobbra \\ & = \ operátornév {tr} (P_ {V} TT ^ {*} P_ {V}) - \ operátornév {tr} (P_ {V} TP_ {V} T ^ {*} P_ {V}) \\ & = \ operátor neve {tr} (P_ {V} ^ {2} TT ^ {*}) - \ operátor neve {tr} (P_ {V} ^ {2} TP_ {V} T ^ {*}) \\ & = \ operátor neve {tr} (P_ {V} TT ^ {*}) - \ operátor neve {tr} (P_ {V} TP_ {V} T ^ {*}) \\ & = \ operátornév {tr} (P_ {V} TT ^ {*}) - \ operátornév {tr} (TP_ {V} T ^ {*}) && {\ text {azzal a hipotézissel, hogy }} T {\ text {stabilizálódik}} V \\ & = \ operátor neve {tr} (P_ {V} TT ^ {*}) - \ operátor neve {tr} (P_ {V} T ^ {*} T) \ \ & = \ operátornév {tr} (P_ {V} (TT ^ {*} - T ^ {*} T)) \\ & = 0. \ end {igazítva}}}$

Ugyanez az érv szól a kompakt normál operátorokról a végtelen dimenziós Hilbert-terekben, ahol a Hil ( Sch * ) által tr ( AB * ) által definiált belső terméket kell megfelelően értelmezni. A korlátozott normál operátorok esetében azonban a stabil altér ortogonális komplementere nem biztos, hogy stabil. Ebből következik, hogy a Hilbert-teret általában nem képes átfedni egy normál operátor sajátvektorai. Vegyük például a kétoldalú elmozdulást (vagy kétoldalas eltolást) , amely hat , ami normális, de nincs sajátértéke. ${\ displaystyle \ ell ^ {2}}$

A Hardy térre ható váltás invariáns altereit Beurling-tétel jellemzi .

Az algebrák normál elemei

A normál operátorok fogalma egy invutív algebra általánosítja:

Az invutív algebra x elemét normálisnak mondjuk, ha xx * = x * x .

Az önadduktív és az egységes elemek normálisak.

A legfontosabb eset az, amikor egy ilyen algebra egy C * -algebra .

Korlátlan normál üzemeltetők

A normál operátorok meghatározása természetesen a korlátlan üzemeltetők valamely csoportjára általánosít. Kifejezetten azt mondják, hogy egy zárt N operátor normális, ha

${\ displaystyle N ^ {*} N = NN ^ {*}.}$

Itt a mellék N * megléte megköveteli, hogy az N tartomány sűrű legyen, és az egyenlőség magában foglalja azt az állítást, hogy az N * N tartománya megegyezik az NN * tartományával , ami általában nem feltétlenül áll fenn.

Az egyenértékű normál operátorok pontosan azok, amelyekhez

${\ displaystyle \ | Nx \ | = \ | N ^ {*} x \ | \ qquad}$

val vel

${\ displaystyle {\ mathcal {D}} (N) = {\ mathcal {D}} (N ^ {*}).}$

A spektrumtétel továbbra is érvényes a korlátlan (normál) operátorokra. A bizonyítások a korlátozott (normál) operátorokra történő redukció révén működnek.

Általánosítás

A normál operátorok elméletének sikere számos általánosítási kísérlethez vezetett a kommutativitás követelményének gyengítésével. A normál operátorokat tartalmazó üzemeltetői osztályok (felvétel sorrendben)

• Quasinormal operátorok
• Szokatlan operátorok
• Hyponormális operátorok
• Paranormális operátorok
• Normaloidok

Megjegyzések

Hivatkozások