Opérateur normal

En analyse fonctionnelle , l' opérateur normal généralise le concept de matrice normale à partir de l'algèbre linéaire .

définition

Si un espace de Hilbert désigne l'ensemble de tous les endomorphismes continus de , un opérateur est dit normal s'il commute avec son opérateur adjoint, c'est-à-dire si ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} (X)}$ ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A \ in {\ mathcal {L}} (X)}$ ${\ displaystyle A ^ {\ ast}}$

${\ displaystyle AA ^ {\ ast} = A ^ {\ ast} A}$

s'applique.

Exemples

• Les opérateurs auto-adjoints et unitaires sont évidemment normaux.
• Le décalage unilatéral est un exemple d'opérateur non normal.

Propriétés

Soyez un opérateur normal. Ensuite: ${\ displaystyle A \ in {\ mathcal {L}} (X)}$

• ${\ displaystyle \ | Axe \ | = \ | A ^ {\ ast} x \ |}$ pour tous ${\ displaystyle x \ dans X}$
• ${\ Displaystyle \ | Axe \ | ^ {2} \ leq \ | A ^ {2} x \ | \ | x \ |}$ pour tous ${\ displaystyle x \ dans X}$
• La norme de l' opérateur de est égale au rayon spectral : où désigne le spectre de .${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ | A \ | = \ sup \ {| \ lambda | \ colon \ lambda \ in \ sigma (A) \}.}$${\ displaystyle \ sigma (A)}$${\ displaystyle A}$
• De l' algèbre C ^* générée et de l' algèbre de Von Neumann produite sont commutatives. Ce fait permet un calcul fonctionnel .${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$
• La diagonalisabilité des matrices normales en algèbre linéaire est généralisée aux opérateurs normaux sous la forme du théorème spectral .
• Une classification des opérateurs normaux existe par rapport aux opérateurs modulo compacts d' équivalence unitaire en passant à l'algèbre de Calkin , qui est dans le cas des dimensions finies . Ceci est expliqué dans l'article sur l'algèbre de Calkin.${\ displaystyle \ {0 \}}$
• Un opérateur borné dans un espace de Hilbert complexe peut être décomposé en «partie réelle» et «partie imaginaire» Les opérateurs sont auto-adjoints . est normal si et seulement si .${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A = W_ {1} + i \, W_ {2}}$${\ displaystyle W_ {1} = {\ tfrac {1} {2}} (A + A ^ {\ ast})}$${\ displaystyle W_ {2} = {\ tfrac {1} {2i}} (AA ^ {\ ast}).}$${\ displaystyle W_ {i}}$ ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle W_ {1} W_ {2} = W_ {2} W_ {1}}$

Termes connexes

Un opérateur est appelé ${\ displaystyle A \ in {\ mathcal {L}} (X)}$

• quasinormal , s'il est échangé avec , c'est-à-dire .${\ displaystyle A \, \!}$${\ displaystyle A ^ {\ ast} A}$${\ displaystyle AA ^ {\ ast} A = A ^ {\ ast} AA}$
• sous - normal s'il existe un espace de Hilbert tel que le sous - espace de et un opérateur normal tel que et${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle B \ in {\ mathcal {L}} (Y)}$${\ displaystyle B (X) \ subset X}$${\ displaystyle A = B | _ {X} \, \!}$
• hyponormal si pour tous .${\ Displaystyle \ | A ^ {\ ast} x \ | \ leq \ | Axe \ |}$${\ displaystyle x \ dans X}$
• paranormal , si pour tout le monde .${\ Displaystyle \ | Axe \ | ^ {2} \ leq \ | A ^ {2} x \ | \ | x \ |}$${\ displaystyle x \ dans X}$
• normaloïde , si opérateur norm = rayon spectral, d. h.: .${\ displaystyle \ | A \ | = \ sup \ {| \ lambda |; \ lambda \ in \ sigma (A) \}}$

Les implications suivantes s'appliquent:

normal quasi - normal sous-normal normaloïde paranormal hyponormal. ${\ displaystyle \ Rightarrow}$${\ displaystyle \ Rightarrow}$${\ displaystyle \ Rightarrow}$${\ displaystyle \ Rightarrow}$${\ displaystyle \ Rightarrow}$

Opérateurs illimités

Un opérateur illimité avec un domaine est appelé normal si ${\ Displaystyle A: D (A) \ subseteq X \ à X}$ ${\ displaystyle D (A)}$

${\ displaystyle \ | Axe \ | = \ | A ^ {\ ast} x \ |, \ qquad \ forall x \ in D (A) = D (A ^ {\ ast})}$

s'applique. La caractérisation équivalente de la normalité mentionnée ci-dessus montre qu'il s'agit d'une généralisation de la normalité des opérateurs bornés. Tous les opérateurs auto-adjoints sont normaux, car pour eux s'applique . ${\ displaystyle A ^ {\ ast} = A}$

Littérature

• Harro Heuser : Analyse fonctionnelle . BG Teubner, Stuttgart (1986), ISBN 3-519-22206-X .
• Gerald Teschl : Mathematical Methods in Quantum Mechanics , American Mathematical Society, Providence (2009), ISBN 978-0-8218-4660-5 . ( version gratuite en ligne )