Mátrix hozzáadása - Matrix addition

A matematika , mátrix túlmenően az a művelet, hozzátéve két mátrixok hozzáadásával a megfelelő bejegyzéseket együtt. Vannak azonban más műveletek is, amelyek szintén hozzáadhatók a mátrixokhoz, például a közvetlen összeg és a Kronecker -összeg .

Belépési összeg

Két mátrixnak azonos számú sort és oszlopot kell hozzáadnia. Ebben az esetben, az összeg két mátrixok A és B lesz egy mátrixot, amely az azonos számú sorok és oszlopok, mint A és B . Az A és B összegét , amelyet A + B -vel jelölünk , az A és B megfelelő elemeinek hozzáadásával számítjuk ki :

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ mathbf {A} +\ mathbf {B} & = {\ begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} & \ cdots & a_ {1n} \\ a_ {21} & a_ {22} & \ cdots & a_ {2n} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {m1} & a_ {m2} & \ cdots & a_ {mn} \\\ end {bmatrix}}+{ \ begin {bmatrix} b_ {11} & b_ {12} & \ cdots & b_ {1n} \\ b_ {21} & b_ {22} & \ cdots & b_ {2n} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ b_ {m1} & b_ {m2} & \ cdots & b_ {mn} \\\ end {bmatrix}} \\ & = {\ begin {bmatrix} a_ {11}+b_ {11} & a_ {12}+b_ {12} & \ cdots & a_ {1n}+b_ {1n} \\ a_ {21}+b_ {21} & a_ {22}+b_ {22} & \ cdots & a_ {2n}+b_ {2n} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {m1}+b_ {m1} & a_ {m2}+b_ {m2} & \ cdots & a_ {mn}+b_ {mn} \\\ end {bmatrix}} \\\ end {aligned}} \, \!}$

Vagy tömörebben (feltéve, hogy A + B = C ):

${\ displaystyle c_ {ij} = a_ {ij}+b_ {ij}}$

Például:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 0 \\ 1 & 2 \ end {bmatrix}}+{\ begin {bmatrix} 0 & 0 \\ 7 & 5 \\ 2 & 1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 +0 & 3+0 \\ 1+7 & 0+5 \\ 1+2 & 2+1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 3 \\ 8 & 5 \\ 3 & 3 \ end {bmatrix}}}$

Hasonlóképpen az is lehetséges, hogy kivonjunk egy mátrixot a másikból, amennyiben azonos méretűek. Az A és B közötti A - B jelű különbséget úgy számoljuk ki, hogy kivonjuk B elemeit A megfelelő elemeiből , és mérete megegyezik A és B méretével . Például:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 0 \\ 1 & 2 \ end {bmatrix}}-{\ begin {bmatrix} 0 & 0 \\ 7 & 5 \\ 2 & 1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 -0 & 3-0 \\ 1-7 & 0-5 \\ 1-2 & 2-1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 3 \\-6 & -5 \\-1 & 1 \ end {bmatrix}}}$

Közvetlen összeg

Egy másik, ritkábban használt művelet a közvetlen összeg (⊕ -vel jelölve). Megjegyezzük, hogy a Kronecker -összeget ⊕ -vel is jelöljük; a szövegkörnyezetnek világossá kell tennie a használatot. A közvetlen összege bármely két mátrixok A méretű m × n és B méretű p × q egy méretű mátrix ( m + p ) × ( n + q ), úgymint:

${\ displaystyle \ mathbf {A} \ oplus \ mathbf {B} = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {A} & {\ boldsymbol {0}} \\ {\ boldsymbol {0}} & \ mathbf {B} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} a_ {11} & \ cdots & a_ {1n} & 0 & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ ddots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {m1} & \ cdots & a_ {mn} & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & \ cdots & 0 & b_ {11} & \ cdots & b_ {1q} \\\ vdots & \ ddots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ 0 & \ cdots & 0 & b_ {p1} & \ cdots & b_ {pq} \ end {bmatrix}}}$

Például,

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \ end {bmatrix}} \ oplus {\ begin {bmatrix} 1 & 6 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 3 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}}}$

A mátrixok közvetlen összege egy speciális típusú blokkmátrix . Különösen a négyzetes mátrixok közvetlen összege egy blokkátlós mátrix .

A diszjunkt gráfok (vagy többgráfok ) uniójának szomszédsági mátrixa a szomszédsági mátrixok közvetlen összege. A mátrixok két vektorterének közvetlen összegében lévő bármely elem két mátrix közvetlen összegeként ábrázolható.

Általában az n mátrix közvetlen összege :

${\ displaystyle \ bigoplus _ {i = 1}^{n} \ mathbf {A} _ {i} = \ operatornév {diag} (\ mathbf {A} _ {1}, \ mathbf {A} _ {2} , \ mathbf {A} _ {3}, \ ldots, \ mathbf {A} _ {n}) = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {A} _ {1} & {\ boldsymbol {0}} & \ cdots & {\ boldsymbol {0}} \\ {\ boldsymbol {0}} & \ mathbf {A} _ {2} & \ cdots & {\ boldsymbol {0}} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ {\ boldsymbol {0}} & {\ boldsymbol {0}} & \ cdots & \ mathbf {A} _ {n} \\\ end {bmatrix}} \, \!}$

ahol a nullák valójában nullák tömbjei (azaz nulla mátrixok).

Kronecker összeg

A Kronecker -összeg eltér a közvetlen összegtől, de ⊕ -vel is jelöljük. Ezt a Kronecker termék ⊗ és a normál mátrix hozzáadása segítségével határozzák meg. Ha A jelentése n -by- n , B jelentése m -by- m és jelöli a k -by- k azonosító mátrix , akkor a Kronecker összeg határozza meg: ${\ displaystyle \ mathbf {I} _ {k}}$

${\ displaystyle \ mathbf {A} \ oplus \ mathbf {B} = \ mathbf {A} \ otimes \ mathbf {I} _ {m}+\ mathbf {I} _ {n} \ otimes \ mathbf {B}. }$

Lásd még

• Mátrix szorzás
• Vektor kiegészítés

Megjegyzések

Hivatkozások

• Lipschutz, Seymour; Lipson, Marc (2017). Schaum vázlata a lineáris algebráról (6 szerk.). McGraw-Hill oktatás. ISBN 9781260011449.
• Riley, KF; Hobson, képviselő; Bence, SJ (2006). Matematikai módszerek a fizikához és a mérnöki munkához (3 szerk.). Cambridge University Press. doi : 10.1017/CBO9780511810763 . ISBN 978-0-521-86153-3.

Külső linkek

• A mátrixok közvetlen összege a PlanetMath -on .
• Absztrakt ostobaság: A lineáris transzformációk közvetlen összege és a mátrixok közvetlen összege
• Matematika Forráskönyvtár: Aritmetikai mátrixműveletek
• Mátrix Algebra és R.