Addition matricielle - Matrix addition

En mathématiques , l' addition matricielle est l'opération consistant à additionner deux matrices en additionnant les entrées correspondantes. Cependant, il existe d'autres opérations qui pourraient également être considérées comme une addition pour les matrices, telles que la somme directe et la somme de Kronecker .

Somme d'entrée

Deux matrices doivent avoir un nombre égal de lignes et de colonnes pour être additionnées. Dans ce cas, la somme de deux matrices A et B sera une matrice qui a le même nombre de lignes et de colonnes que A et B . La somme de A et B , notée A + B , est calculée en ajoutant les éléments correspondants de A et B :

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} +\mathbf {B} &={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_ {22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{bmatrix}}+{ \begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_ {12}&\cdots &a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots &a_{2n}+b_{2n}\\\ vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}\\\end{bmatrix}} \\\end{aligné}}\,\!}$

Ou plus concis (en supposant que A + B = C ):

${\style d'affichage c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}}$

Par exemple:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1 +0&3+0\\1+7&0+5\\1+2&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3\\8&5\\3&3\end{bmatrix}}}$

De même, il est également possible de soustraire une matrice d'une autre, tant qu'elles ont les mêmes dimensions. La différence de A et B , notée A − B , est calculée en soustrayant les éléments de B des éléments correspondants de A , et a les mêmes dimensions que A et B . Par exemple:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1 -0&3-0\\1-7&0-5\\1-2&2-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3\\-6&-5\\-1&1\end{bmatrix}}}$

Somme directe

Une autre opération, moins souvent utilisée, est la somme directe (notée ⊕). Notez que la somme de Kronecker est également notée ⊕ ; le contexte doit rendre l'utilisation claire. La somme directe de toute paire de matrices A de taille m × n et B de taille p × q est une matrice de taille ( m + p ) × ( n + q ) définie comme :

${\displaystyle \mathbf {A} \oplus \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} &{\boldsymbol {0}}\\{\boldsymbol {0}}&\mathbf {B} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_ {m1}&\cdots &a_{mn}&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&b_{11}&\cdots &b_{1q}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \ \0&\cdots &0&b_{p1}&\cdots &b_{pq}\end{bmatrix}}}$

Par exemple,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\2&3&1\end{bmatrix}}\oplus {\begin{bmatrix}1&6\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&2&0&0\\2&3&1&0&0\\ 0&0&0&1&6\\0&0&0&0&1\end{bmatrice}}}$

La somme directe des matrices est un type spécial de matrice de blocs . En particulier, la somme directe des matrices carrées est une matrice diagonale par blocs .

La matrice d'adjacence de l'union de graphes disjoints (ou multigraphes ) est la somme directe de leurs matrices d'adjacence. Tout élément de la somme directe de deux espaces vectoriels de matrices peut être représenté comme une somme directe de deux matrices.

En général, la somme directe de n matrices est :

${\displaystyle \bigoplus _{i=1}^{n}\mathbf {A} _{i}=\operatorname {diag} (\mathbf {A} _{1},\mathbf {A} _{2} ,\mathbf {A} _{3},\ldots ,\mathbf {A} _{n})={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{1}&{\boldsymbol {0}}&\ cdots &{\boldsymbol {0}}\\{\boldsymbol {0}}&\mathbf {A} _{2}&\cdots &{\boldsymbol {0}}\\\vdots &\vdots &\ddots & \vdots \\{\boldsymbol {0}}&{\boldsymbol {0}}&\cdots &\mathbf {A} _{n}\\\end{bmatrix}}\,\!}$

où les zéros sont en fait des blocs de zéros (c'est-à-dire des matrices nulles).

somme de couronnes

La somme de Kronecker est différente de la somme directe, mais est également notée ⊕. Il est défini à l'aide du produit de Kronecker et de l'addition matricielle normale. Si A est n -by- n , B est m -by- m et désigne la matrice d'identité k -by- k alors la somme de Kronecker est définie par : ${\displaystyle \mathbf {I} _{k}}$

${\displaystyle \mathbf {A} \oplus \mathbf {B} =\mathbf {A} \otimes \mathbf {I} _{m}+\mathbf {I} _{n}\otimes \mathbf {B} . }$

Voir également

• Multiplication matricielle
• Ajout de vecteur

Remarques

Les références

• Lipschutz, Seymour; Lipson, Marc (2017). Esquisse d'algèbre linéaire de Schaum (6 éd.). Éducation McGraw-Hill. ISBN 9781260011449.
• Riley, KF ; Hobson, député ; Bence, SJ (2006). Méthodes mathématiques pour la physique et l'ingénierie (3 éd.). La presse de l'Universite de Cambridge. doi : 10.1017/CBO9780511810763 . ISBN 978-0-521-86153-3.

Liens externes

• Somme directe de matrices chez PlanetMath .
• Absurdité abstraite : somme directe des transformations linéaires et somme directe des matrices
• Bibliothèque de sources mathématiques : Opérations matricielles arithmétiques
• Algèbre matricielle et R