Homotópia-analízis - Homotopy analysis method

A fent bemutatott két szaggatott útvonal végpontjaikhoz képest homotóp. Az animáció egy lehetséges homotópiát képvisel.

A homotopia analízis módszer ( HAM ) egy félanalitikai módszer a nemlineáris hétköznapi / parciális differenciálegyenletek megoldására . A homotópia-analízis módszer a topológiából származó homotópia fogalmát alkalmazza konvergens soros megoldás előállítására nemlineáris rendszerek számára. Ezt lehetővé teszi egy homotópia- Maclaurin sorozat felhasználása a rendszer nemlinearitásának kezelésére.

A HAM-ot először 1992-ben dolgozta ki Liao Shijun, a Shanghai Jiaotong Egyetem doktori disszertációjában, majd 1997-ben tovább módosította, hogy bevezessen egy nulla értékű segédparamétert, amelyet konvergencia-kontroll paraméternek neveznek , c ₀ , hogy homotópiát hozzon létre egy differenciálrendszer általában. A konvergencia-vezérlő paraméter egy nem fizikai változó, amely egyszerű megoldást kínál a megoldássorok konvergenciájának ellenőrzésére és érvényesítésére. A HAM azon képessége, hogy természetesen megmutassa a sorozatoldat konvergenciáját, szokatlan a nemlineáris parciális differenciálegyenletek analitikai és félanalitikai megközelítésében.

Jellemzők

A HAM négy fontos szempontból különbözteti meg a különböző analitikai módszerektől . Először is, ez egy sorozatbővítési módszer, amely nem függ közvetlenül a kis vagy nagy fizikai paraméterektől. Így nemcsak gyengén, de erősen nemlineáris problémákra is alkalmazható, túllépve a szokásos perturbációs módszerek néhány benne rejlő korlátot . Másodszor, a HAM egységes módszer a Lyapunov mesterséges kisparaméteres módszerhez, a delta-expanziós módszerhez, az Adomi-bontási módszerhez és a homotópia-perturbációs módszerhez . A módszer nagyobb általánossága gyakran lehetővé teszi a megoldás erőteljes konvergenciáját a nagyobb térbeli és paraméteres területeken. Harmadszor, a HAM kiváló rugalmasságot biztosít a megoldás kifejezésében és abban, ahogyan a megoldást kifejezetten előállítják. Nagy szabadságot ad a kívánt megoldás alapfunkcióinak és a homotópia megfelelő segéd lineáris operátorának megválasztásában . Végül, a többi analitikai közelítési technikával ellentétben, a HAM egyszerű módot kínál az oldatsorozat konvergenciájának biztosítására .

A homotópia-analízis módszer kombinálható más, nemlineáris differenciálegyenletekben alkalmazott technikákkal, például spektrális módszerekkel és Padé-közelítőkkel is . Ez tovább kombinálható számítási módszerekkel, például a határelem módszerrel , hogy a lineáris módszer lehetővé tegye a nemlineáris rendszerek megoldását. A homotópia folytatásának numerikus technikájától eltérően a homotópiai elemzési módszer analitikai közelítő módszer, szemben a diszkrét számítási módszerrel. Ezenkívül a HAM csak elméleti szinten használja a homotópia paramétert annak bemutatására, hogy egy nemlineáris rendszer felosztható végtelen lineáris rendszerek halmazára, amelyeket analitikusan oldanak meg, míg a folytatási módszerek diszkrét lineáris rendszer megoldását igénylik, mivel a homotópia paramétere változik hogy megoldja a nemlineáris rendszert.

Alkalmazások

Az elmúlt húsz évben a HAM-ot egyre növekvő számú nemlineáris hétköznapi / részleges differenciálegyenlet megoldására alkalmazták a tudományban, a pénzügyekben és a mérnöki tudományokban. Például a mély és véges vízmélységben több állandó állapotú rezonáns hullámot találtak a haladó gravitációs hullámok tetszőleges számának hullámrezonancia kritériumával ; ez egyetértett Phillips kritériumával négy hullámra, kis amplitúdóval. Ezenkívül a HAM-mal alkalmazott egységes hullámmodell nemcsak a hagyományos sima, progresszív periodikus / magányos hullámokat ismeri el, hanem a véges vízmélységben csúcsos címerű progresszív magányos hullámokat is. Ez a modell azt mutatja, hogy a tetőzött magányos hullámok az ismert sima hullámokkal együtt következetes megoldások. Ezenkívül számos más nemlineáris problémára is alkalmazták a HAM-ot, például a nemlineáris hőátadásra , a nemlineáris dinamikus rendszerek határciklusára , az amerikai eladási opcióra , a pontos Navier – Stokes-egyenletre , a sztochasztikus volatilitás alatti opciós árképzésre , az elektrohidrodinamikai áramlásokra, a Poisson – Boltzmann-egyenlet félvezető eszközökhöz és másokhoz.

Rövid matematikai leírás

Egy kávéscsésze izotópja fánkká ( tórusz ).

Vegyünk egy általános nemlineáris differenciálegyenletet

${\ displaystyle {\ mathcal {N}} [u (x)] = 0}$,

hol van egy nemlineáris operátor. Hagy jelölésére egy kiegészítő lineáris operátor, u ₀ ( X ) egy kezdeti becslés a u ( x ), és c ₀ konstans (az úgynevezett konvergencia-vezérlő paraméter), ill. A homotópiaelmélet q ∈ [0,1] beágyazási paraméterének felhasználásával összeállíthatunk egy egyenletcsaládot, ${\ displaystyle {\ mathcal {N}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$

${\ displaystyle (1-q) {\ mathcal {L}} [U (x; q) -u_ {0} (x)] = c_ {0} \, q \, {\ mathcal {N}} [U (x; q)],}$

zeroth-sorrendű alakváltozási egyenletnek nevezzük, amelynek megoldása a q ∈ [0,1] beágyazási paraméterhez képest folyamatosan változik . Ez a lineáris egyenlet

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} [U (x; q) -u_ {0} (x)] = 0,}$

ismert kezdeti találgatással U ( x ; 0) = u ₀ ( x ), amikor q = 0, de egyenértékű az eredeti nemlineáris egyenlettel , amikor q = 1, azaz U ( x ; 1) = u ( x )). Ezért, mint a Q növekszik 0-tól 1, az oldatot U ( x ; q ) a nulladrendű deformációs egyenlet változik (vagy deformálódik) a kiválasztott kezdeti becslésnek u ₀ ( X ), hogy az oldat u ( x ) a figyelembe vett nemlineáris egyenlet. ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} [u (x)] = 0}$

Kiterjesztve az U ( x ; q ) értéket Taylor-sorozatban q = 0 körül, megkapjuk a homotópia-Maclaurin sorozatot

${\ displaystyle U (x; q) = u_ {0} (x) + \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} u_ {m} (x) \, q ^ {m}.}$

Feltételezve, hogy a zeroth-sorrendű alakváltozás egyenletének úgynevezett konvergencia-kontroll paraméterét c ₀ megfelelően választottuk meg, hogy a fenti sorozat q = 1- nél konvergens , megkapjuk a homotópia-sorozat megoldását

${\ displaystyle u (x) = u_ {0} (x) + \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} u_ {m} (x).}$

A nulladik sorrendű alakváltozási egyenletből közvetlenül levezethető az u _m ( x ) irányadó egyenlete

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} [u_ {m} (x) - \ chi _ {m} u_ {m-1} (x)] = c_ {0} \, R_ {m} [u_ {0 }, u_ {1}, \ ldots, u_ {m-1}],}$

az úgynevezett m ^edik -rendelési deformáció egyenletet, ahol a és a k > 1, és a jobb oldali R _m függ csak fel a már ismert eredményeket u ₀ , u ₁ , ..., u _{m  - 1} , és könnyen előállítható számítógépes algebra szoftver segítségével. Ily módon az eredeti nemlineáris egyenlet végtelen számú lineárisra kerül, de semmilyen kicsi / nagy fizikai paraméter feltételezése nélkül. ${\ displaystyle \ chi _ {1} = 0}$${\ displaystyle \ chi _ {k} = 1}$

Mivel a HAM homotópián alapul, nagy szabadsága van megválasztani a kezdeti u ₀ ( x ) kitalálást , a segéd lineáris operátort és a c ₀ konvergencia-szabályozási paramétert a zeroth-sorrendű deformációs egyenletben. Így a HAM biztosítja a matematikus számára a magas rendű alakváltozási egyenlet egyenlettípusának és megoldásának alapfunkcióinak megválasztását. A konvergencia-kontroll paraméter c ₀ optimális értékét a szabályozó egyenletek és / vagy peremfeltételek négyzetes maradványhibájának minimuma határozza meg, miután az általános forma megoldódott a választott kezdeti kitalálás és lineáris operátor számára. Így a c ₀ konvergencia-vezérlő paraméter egyszerű módszer a homotópia-sorozat konvergenciájának garantálására, és megkülönbözteti a HAM-ot más analitikai közelítési módszerektől. A módszer összességében hasznos általánosítást ad a homotópia fogalmáról. ${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$

A HAM és a számítógépes algebra

A HAM egy analitikai közelítő módszer, amelyet a számítógépes korszakra terveztek, és amelynek célja a "számok helyett funkciókkal történő számítás". Egy olyan számítógépes algebrai rendszerrel, mint a Mathematica vagy a Maple , egy nagyon nemlineáris probléma analitikai közelítése tetszőlegesen magas sorrendre nyerhető a HAM segítségével néhány másodperc alatt. A HAM nemrégiben különböző területeken végrehajtott sikeres alkalmazásai ihlette a HAM-on alapuló Mathematica csomagot, BVPh néven, elérhetővé tették online nemlineáris határérték-problémák megoldására [4] . A BVPh egy rendkívül nemlineáris ODE-k megoldócsomagja, amely szingularitásokkal, többféle megoldással és többpontos peremfeltételekkel rendelkezik akár véges, akár végtelen intervallumban, és tartalmaz támogatást bizonyos típusú nemlineáris PDE-khez. Egy másik HAM-alapú Mathematica kódot, az APOh-t készítettek az amerikai eladási opció optimális gyakorlati határa explicit analitikai közelítésének megoldására, amely online is elérhető [5] .

Nemlineáris oszcillátorok frekvenciaválaszának elemzése

A HAM-ról nemrégiben beszámoltak, hogy hasznos a nemlineáris frekvencia-válaszegyenletek analitikai megoldásainak előállításához. Az ilyen megoldások képesek megragadni különféle nemlineáris viselkedéseket, mint például az oszcillátor keményedési, lágyító típusú vagy vegyes viselkedését. Ezek az analitikai egyenletek a nemlineáris rendszerek káoszának előrejelzésében is hasznosak.

Hivatkozások

Külső linkek

• http://numericaltank.sjtu.edu.cn/BVPh.htm
• http://numericaltank.sjtu.edu.cn/APO.htm