Método de análisis de homotopía - Homotopy analysis method

Los dos caminos de trazos que se muestran arriba son homotópicos en relación con sus puntos finales. La animación representa una posible homotopía.

El método de análisis de homotopía ( HAM ) es una técnica semi-analítica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias / parciales no lineales . El método de análisis de homotopía emplea el concepto de homotopía de la topología para generar una solución en serie convergente para sistemas no lineales. Esto se habilita utilizando una serie de homotopía- Maclaurin para tratar las no linealidades en el sistema.

El HAM fue ideado por primera vez en 1992 por Liao Shijun de la Universidad de Shanghai Jiaotong en su tesis doctoral y posteriormente modificado en 1997 para introducir un parámetro auxiliar distinto de cero, conocido como el parámetro de control de convergencia , c ₀ , para construir una homotopía en un sistema diferencial en forma general. El parámetro de control de convergencia es una variable no física que proporciona una forma sencilla de verificar y hacer cumplir la convergencia de una serie de soluciones. La capacidad del HAM para mostrar de forma natural la convergencia de la solución de la serie es inusual en los enfoques analíticos y semi-analíticos de las ecuaciones diferenciales parciales no lineales.

Caracteristicas

El HAM se distingue de varios otros métodos analíticos en cuatro aspectos importantes. Primero, es un método de expansión en serie que no depende directamente de parámetros físicos pequeños o grandes. Por lo tanto, es aplicable no solo para problemas débiles sino también fuertemente no lineales, yendo más allá de algunas de las limitaciones inherentes de los métodos de perturbación estándar . En segundo lugar, el HAM es un método unificado para el método de pequeños parámetros artificiales de Lyapunov , el método de expansión delta, el método de descomposición de Adomian y el método de perturbación de homotopía . La mayor generalidad del método a menudo permite una fuerte convergencia de la solución en dominios espaciales y de parámetros más grandes. En tercer lugar, el HAM ofrece una excelente flexibilidad en la expresión de la solución y en cómo se obtiene explícitamente la solución. Proporciona una gran libertad para elegir las funciones base de la solución deseada y el correspondiente operador lineal auxiliar de la homotopía. Finalmente, a diferencia de las otras técnicas de aproximación analítica, el HAM proporciona una forma sencilla de asegurar la convergencia de la serie de soluciones.

El método de análisis de homotopía también puede combinarse con otras técnicas empleadas en ecuaciones diferenciales no lineales, como los métodos espectrales y las aproximaciones de Padé . Además, puede combinarse con métodos computacionales, como el método del elemento de contorno, para permitir que el método lineal resuelva sistemas no lineales. A diferencia de la técnica numérica de continuación de homotopía , el método de análisis de homotopía es un método de aproximación analítica en contraposición a un método computacional discreto. Además, el HAM usa el parámetro de homotopía solo a nivel teórico para demostrar que un sistema no lineal puede dividirse en un conjunto infinito de sistemas lineales que se resuelven analíticamente, mientras que los métodos de continuación requieren resolver un sistema lineal discreto a medida que se varía el parámetro de homotopía. para resolver el sistema no lineal.

Aplicaciones

En los últimos veinte años, el HAM se ha aplicado para resolver un número creciente de ecuaciones diferenciales ordinarias / parciales no lineales en ciencia, finanzas e ingeniería. Por ejemplo, se encontraron múltiples ondas resonantes de estado estacionario en aguas profundas y finitas con el criterio de resonancia de ondas de un número arbitrario de ondas gravitacionales viajeras ; esto concuerda con el criterio de Phillips para cuatro ondas con pequeña amplitud. Además, un modelo de onda unificada aplicado con el HAM admite no solo las ondas periódicas / solitarias suaves progresivas tradicionales, sino también las ondas solitarias progresivas con cresta puntiaguda en una profundidad de agua finita. Este modelo muestra que las ondas solitarias puntiagudas son soluciones consistentes junto con las conocidas suaves. Además, el HAM se ha aplicado a muchos otros problemas no lineales como la transferencia de calor no lineal , el ciclo límite de los sistemas dinámicos no lineales, la opción de venta estadounidense , la ecuación exacta de Navier-Stokes , el precio de la opción bajo volatilidad estocástica , los flujos electrohidrodinámicos Ecuación de Poisson-Boltzmann para dispositivos semiconductores y otros.

Breve descripción matemática

Una isotopía de una taza de café en una rosquilla ( toro ).

Considere una ecuación diferencial no lineal general

${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} [u (x)] = 0}$,

donde es un operador no lineal. Dejado denotar un operador lineal auxiliar, u ₀ ( x ) una estimación inicial de u ( x ), y c ₀ una constante (llamado el parámetro de control de convergencia), respectivamente. Usando el parámetro de incrustación q ∈ [0,1] de la teoría de la homotopía, se puede construir una familia de ecuaciones, ${\ Displaystyle {\ mathcal {N}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}}}$

${\ displaystyle (1-q) {\ mathcal {L}} [U (x; q) -u_ {0} (x)] = c_ {0} \, q \, {\ mathcal {N}} [U (x; q)],}$

denominada ecuación de deformación de orden cero, cuya solución varía continuamente con respecto al parámetro de inclusión q ∈ [0,1]. Esta es la ecuación lineal

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} [U (x; q) -u_ {0} (x)] = 0,}$

con estimación inicial conocida U ( x ; 0) = u ₀ ( x ) cuando q = 0, pero es equivalente a la ecuación no lineal original , cuando q = 1, es decir, U ( x ; 1) = u ( x )). Por lo tanto, a medida que q aumenta de 0 a 1, la solución U ( x ; q ) de la ecuación de deformación de orden cero varía (o se deforma) desde la estimación inicial elegida u ₀ ( x ) hasta la solución u ( x ) de la ecuación no lineal. ${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} [u (x)] = 0}$

Expandiendo U ( x ; q ) en una serie de Taylor alrededor de q = 0, tenemos la serie homotopía-Maclaurin

${\ Displaystyle U (x; q) = u_ {0} (x) + \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} u_ {m} (x) \, q ^ {m}.}$

Suponiendo que el llamado parámetro de control de convergencia c ₀ de la ecuación de deformación de orden cero se elige correctamente que la serie anterior es convergente en q = 1, tenemos la solución de series de homotopía

${\ Displaystyle u (x) = u_ {0} (x) + \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} u_ {m} (x).}$

A partir de la ecuación de deformación de orden cero, se puede derivar directamente la ecuación gobernante de u _m ( x )

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} [u_ {m} (x) - \ chi _ {m} u_ {m-1} (x)] = c_ {0} \, R_ {m} [u_ {0 }, u_ {1}, \ ldots, u_ {m-1}],}$

llamada ecuación de deformación de orden m- ^ésimo , donde y para k > 1, y el lado derecho R _m depende solo de los resultados conocidos u ₀ , u ₁ , ..., u _{m  - 1} y se puede obtener fácilmente utilizando software informático de álgebra. De esta manera, la ecuación no lineal original se transfiere a un número infinito de ecuaciones lineales, pero sin asumir ningún parámetro físico pequeño / grande. ${\ Displaystyle \ chi _ {1} = 0}$${\ Displaystyle \ chi _ {k} = 1}$

Dado que el HAM se basa en una homotopía, uno tiene gran libertad para elegir la estimación inicial u ₀ ( x ), el operador lineal auxiliar y el parámetro de control de convergencia c ₀ en la ecuación de deformación de orden cero. Por lo tanto, el HAM proporciona al matemático la libertad de elegir el tipo de ecuación de la ecuación de deformación de orden superior y las funciones base de su solución. El valor óptimo del parámetro de control de convergencia c ₀ está determinado por el mínimo del error cuadrado residual de las ecuaciones gobernantes y / o las condiciones de contorno después de que se haya resuelto la forma general para la estimación inicial y el operador lineal elegidos. Por lo tanto, el parámetro de control de convergencia c ₀ es una forma simple de garantizar la convergencia de la solución de la serie de homotopía y diferencia el HAM de otros métodos de aproximación analítica. El método en general proporciona una útil generalización del concepto de homotopía. ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}}}$

El HAM y el álgebra informática

El HAM es un método de aproximación analítica diseñado para la era de las computadoras con el objetivo de "calcular con funciones en lugar de números". Junto con un sistema de álgebra computacional como Mathematica o Maple , uno puede obtener aproximaciones analíticas de un problema altamente no lineal a un orden arbitrariamente alto por medio del HAM en solo unos pocos segundos. Inspirado por las recientes aplicaciones exitosas del HAM en diferentes campos, se ha puesto a disposición en línea un paquete de Mathematica basado en el HAM, llamado BVPh, para resolver problemas de valores límite no lineales [4] . BVPh es un paquete de resolución para ODE altamente no lineales con singularidades, múltiples soluciones y condiciones de contorno multipunto en un intervalo finito o infinito, e incluye soporte para ciertos tipos de PDE no lineales. Otro código de Mathematica basado en HAM, APOh, se ha producido para resolver una aproximación analítica explícita del límite de ejercicio óptimo de la opción de venta estadounidense, que también está disponible en línea [5] .

Análisis de respuesta de frecuencia para osciladores no lineales

Recientemente se ha informado que el HAM es útil para obtener soluciones analíticas para ecuaciones de respuesta de frecuencia no lineal. Dichas soluciones pueden capturar varios comportamientos no lineales, como comportamientos de tipo endurecimiento, tipo ablandamiento o mixtos del oscilador. Estas ecuaciones analíticas también son útiles en la predicción del caos en sistemas no lineales.

Referencias

enlaces externos

• http://numericaltank.sjtu.edu.cn/BVPh.htm
• http://numericaltank.sjtu.edu.cn/APO.htm