Double bundle - Dual bundle
En mathématiques , le double faisceau d'un vecteur faisceau π : E → X est un vecteur faisceau π * : E * → X dont les fibres sont les espaces duaux aux fibres d' E . Le double faisceau peut être construit en utilisant la construction de faisceau associée en prenant la double représentation du groupe de structures .
Plus précisément, étant donné une banalisation locale de E avec des fonctions de transition t ij , une banalisation locale de E ∗ est donnée par la même couverture ouverte de X avec des fonctions de transition t ij ∗ = ( t ij T ) −1 (l' inverse de la transposée ) . Le double faisceau E ∗ est alors construit en utilisant le théorème de construction du faisceau de fibres .
Par exemple, le dual au faisceau tangent d'une variété différentiable est le faisceau cotangent .
Si l'espace de base X est paracompact et Hausdorff, alors un fibré vectoriel réel de rang fini E et son dual E ∗ sont isomorphes en tant que fibrés vectoriels. Cependant, tout comme pour les espaces vectoriels , il n'y a pas de choix canonique d'isomorphisme à moins que E ne soit équipé d'un produit interne . Ce n'est pas vrai dans le cas de faisceaux vectoriels complexes . Par exemple, le faisceau de lignes tautologiques sur la sphère de Riemann n'est pas isomorphe à son dual.
Les références
今 野, 宏 (2013). 微分 幾何学 . 〈現代 数学 へ の 入門〉 (en japonais). 東京: 東京 大学 出版 会. ISBN 9784130629713 .
