Vecteur aléatoire complexe - Complex random vector

En théorie des probabilités et en statistiques , un vecteur aléatoire complexe est généralement un tuple de variables aléatoires à valeurs complexes et est généralement une variable aléatoire prenant des valeurs dans un espace vectoriel sur le champ des nombres complexes. Si sont des variables aléatoires à valeurs complexes, alors le n -uplet est un vecteur aléatoire complexe. Les variables aléatoires complexes peuvent toujours être considérées comme des paires de vecteurs aléatoires réels : leurs parties réelle et imaginaire. ${\displaystyle Z_{1},\ldots ,Z_{n}}$${\displaystyle \left(Z_{1},\ldots ,Z_{n}\right)}$

Certains concepts de vecteurs aléatoires réels ont une généralisation directe aux vecteurs aléatoires complexes. Par exemple, la définition de la moyenne d'un vecteur aléatoire complexe. D'autres concepts sont propres aux vecteurs aléatoires complexes.

On trouve des applications de vecteurs aléatoires complexes dans le traitement du signal numérique .

Fait partie d'une série sur les statistiques
Théorie des probabilités
Probabilité Axiomes Déterminisme Système Indéterminisme Aléatoire
Espace de probabilité Espace d'échantillon Événement Des événements collectivement exhaustifs Événement élémentaire Exclusivité mutuelle Résultat Singleton Expérience Procès Bernoulli Distribution de probabilité Distribution de Bernoulli Distribution binomiale Distribution normale Mesure de probabilité Variable aléatoire procédé Bernoulli Continu ou discret Valeur attendue chaîne de Markov Valeur observée Marche aléatoire Processus stochastique
Événement complémentaire Probabilité conjointe Probabilité marginale Probabilite conditionnelle
Indépendance Indépendance conditionnelle Loi de probabilité totale Loi des grands nombres théorème de Bayes L'inégalité de Boole
Diagramme de Venn Diagramme d'arbre
v t e

Définition

Un vecteur aléatoire complexe sur l' espace de probabilité est une fonction telle que le vecteur est un vecteur aléatoire réel sur où désigne la partie réelle de et désigne la partie imaginaire de . ${\displaystyle \mathbf {Z} =(Z_{1},\ldots ,Z_{n})^{T}}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} \colon \Omega \rightarrow \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle (\Re {(Z_{1})},\Im {(Z_{1})},\ldots ,\Re {(Z_{n})},\Im {(Z_{n})} )^{T}}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle \Re {(z)}}$${\style d'affichage z}$${\displaystyle \Im {(z)}}$${\style d'affichage z}$

Fonction de distribution cumulative

La généralisation de la fonction de distribution cumulative des variables aléatoires réelles aux variables aléatoires complexes n'est pas évidente car les expressions de la forme n'ont aucun sens. Cependant, les expressions de la forme ont un sens. Par conséquent, la fonction de distribution cumulative d'un vecteur aléatoire est définie comme ${\style d'affichage P(Z\leq 1+3i)}$${\style d'affichage P(\Re {(Z)}\leq 1,\Im {(Z)}\leq 3)}$${\displaystyle F_{\mathbf {Z} }:\mathbb {C} ^{n}\mapsto [0,1]}$${\displaystyle \mathbf {Z} =(Z_{1},...,Z_{n})^{T}}$

où . ${\displaystyle \mathbf {z} =(z_{1},...,z_{n})^{T}}$

Attente

Comme dans le cas réel, l' espérance (également appelée valeur attendue ) d'un vecteur aléatoire complexe est prise par composant.

Matrice de covariance et matrice de pseudo-covariance

La matrice de covariance (également appelée deuxième moment central ) contient les covariances entre toutes les paires de composants. La matrice de covariance d'un vecteur aléatoire est une matrice dont le ^ième élément est la covariance entre la i ^ème et la j ^ème variables aléatoires. Contrairement au cas des variables aléatoires réelles, la covariance entre deux variables aléatoires implique le conjugué complexe de l'une des deux. Ainsi la matrice de covariance est une matrice hermitienne . ${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }}$${\style d'affichage n\fois 1}$${\style d'affichage n\ fois n}$ ${\style d'affichage (i,j)}$

${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }={\begin{bmatrix}\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1} ]){\overline {(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])}}]&\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1} ]){\overline {(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])}}]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_ {1}]){\overline {(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])}}]\\\\\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E } [Z_{2}]){\overline {(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])}}]&\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E } [Z_{2}]){\overline {(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])}}]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{2}-\ nom_opérateur {E} [Z_{2}]){\overline {(Z_{n}-\nom_opérateur {E} [Z_{n}])}}]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\ vdots \\\\\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}]){\overline {(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}] )}}]&\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}]){\overline {(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}] )}}]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}]){\overline {(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{ n}])}}]\fin {bmatrice}}}$

La matrice de pseudo-covariance (appelée aussi matrice de relation ) est définie en remplaçant transposition hermitienne par transposition dans la définition ci-dessus.

${\displaystyle \operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }={\begin{bmatrix}\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1} ])(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])]&\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])(Z_{2 }-\operatorname {E} [Z_{2}])]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])(Z_{n}-\ nomopérateur {E} [Z_{n}])]\\\\\mathrm {E} [(Z_{2}-\nomopérateur {E} [Z_{2}])(Z_{1}-\nomopérateur {E } [Z_{1}])]&\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2} ])]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])] \\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])(Z_{1}-\ nom d'opérateur {E} [Z_{1}])]&\mathrm {E} [(Z_{n}-\nom d'opérateur {E} [Z_{n}])(Z_{2}-\nom d'opérateur {E} [Z_ {2}])]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n} ])]\end{bmatrice}}}$

Propriétés

La matrice de covariance est une matrice hermitienne , c'est à dire

${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }^{H}=\operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }}$.

La matrice de pseudo-covariance est une matrice symétrique , c'est à dire

${\displaystyle \operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }^{T}=\operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }}$.

La matrice de covariance est une matrice semi-définie positive , c'est-à-dire

${\displaystyle \mathbf {a} ^{H}\operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }\mathbf {a} \geq 0\quad {\text{for all }}\mathbf {a} \in \mathbb {C} ^{n}}$.

Matrices de covariance des parties réelles et imaginaires

En décomposant le vecteur aléatoire en sa partie réelle et sa partie imaginaire (ie ), la paire a une matrice de covariance de la forme : ${\displaystyle \mathbf {Z} }$${\displaystyle \mathbf {X} =\Re {(\mathbf {Z} )}}$${\displaystyle \mathbf {Y} =\Im {(\mathbf {Z} )}}$${\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {X} +i\mathbf {Y} }$${\displaystyle (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }&\operatorname {K} _{\mathbf {Y} \mathbf {X} }\\\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }&\operatorname {K} _{\mathbf {Y} \mathbf {Y} }\end{bmatrix}}}$

Les matrices et peuvent être reliées aux matrices de covariance de et via les expressions suivantes : ${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }}$${\displaystyle \operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }}$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {Y} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }=\operatorname {E} [(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} (\nom_opérateur {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }+\nom_opérateur {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} })\\&\nom_opérateur {K} _{\ mathbf {O} \mathbf {O} }=\nom_opérateur {E} [(\mathbf {O} -\nom_opérateur {E} [\mathbf {O} ])(\mathbf {O} -\nom_opérateur {E} [ \mathbf {Y} ])^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} (\operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }-\nom_opérateur {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} })\\&\nom_opérateur {K} _{\mathbf {Y} \mathbf {X} }=\nom_opérateur {E} [( \mathbf {Y} -\operatorname {E} [\mathbf {Y} ])(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])^{\mathrm {T} }]={ \tfrac {1}{2}}\operatorname {Im} (\operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }+\operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z } })\\&\nom_opérateur {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }=\ope nom_rator {E} [(\mathbf {X} -\nom_opérateur {E} [\mathbf {X} ])(\mathbf {Y} -\nom_opérateur {E} [\mathbf {Y} ])^{\mathrm { T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Im} (\operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }-\operatorname {K} _{\mathbf { Z} \mathbf {Z} })\\\end{aligné}}}$

Inversement:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }=\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }+\operatorname {K} _{\mathbf {Y} \mathbf {Y} }+i(\operatorname {K} _{\mathbf {Y} \mathbf {X} }-\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} })\\&\operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }=\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }-\operatorname {K} _{\mathbf {Y} \mathbf {Y} }+i(\operatorname {K} _{\mathbf {Y} \mathbf {X} }+\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} })\end{aligned}}}$

Matrice de covariance croisée et matrice de pseudo-covariance croisée

La matrice de covariance croisée entre deux vecteurs aléatoires complexes est définie comme : ${\displaystyle \mathbf {Z} ,\mathbf {W} }$

${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }={\begin{bmatrix}\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1} ]){\overline {(W_{1}-\operatorname {E} [W_{1}])}}]&\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1} ]){\overline {(W_{2}-\operatorname {E} [W_{2}])}}]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_ {1}]){\overline {(W_{n}-\operatorname {E} [W_{n}])}}]\\\\\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E } [Z_{2}]){\overline {(W_{1}-\operatorname {E} [W_{1}])}}]&\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E } [Z_{2}]){\overline {(W_{2}-\operatorname {E} [W_{2}])}}]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{2}-\ nom_opérateur {E} [Z_{2}]){\overline {(W_{n}-\nom_opérateur {E} [W_{n}])}}]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\ vdots \\\\\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}]){\overline {(W_{1}-\operatorname {E} [W_{1}] )}}]&\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}]){\overline {(W_{2}-\operatorname {E} [W_{2}] )}}]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}]){\overline {(W_{n}-\operatorname {E} [W_{ n}])}}]\fin {bmatrice}}}$

Et la matrice de pseudo-covariance croisée est définie comme :

${\displaystyle \operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }={\begin{bmatrix}\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1} ])(W_{1}-\operatorname {E} [W_{1}])]&\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])(W_{2 }-\operatorname {E} [W_{2}])]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])(W_{n}-\ nomopérateur {E} [W_{n}])]\\\\\mathrm {E} [(Z_{2}-\nomopérateur {E} [Z_{2}])(W_{1}-\nomopérateur {E } [W_{1}])]&\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])(W_{2}-\operatorname {E} [W_{2} ])]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])(W_{n}-\operatorname {E} [W_{n}])] \\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])(W_{1}-\ nom d'opérateur {E} [W_{1}])]&\mathrm {E} [(Z_{n}-\nom d'opérateur {E} [Z_{n}])(W_{2}-\nom d'opérateur {E} [W_ {2}])]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])(W_{n}-\operatorname {E} [W_{n} ])]\end{bmatrice}}}$

Deux vecteurs aléatoires complexes et sont dits non corrélés si ${\displaystyle \mathbf {Z} }$${\displaystyle \mathbf {W} }$

${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }=\operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }=0}$.

Indépendance

Deux vecteurs aléatoires complexes et sont dits indépendants si ${\displaystyle \mathbf {Z} =(Z_{1},...,Z_{m})^{T}}$${\displaystyle \mathbf {W} =(W_{1},...,W_{n})^{T}}$

où et désignent les fonctions de distribution cumulative de et telles que définies dans l' Eq.1 et désignent leur fonction de distribution cumulative conjointe. L'indépendance de et est souvent désignée par . Écrit au niveau des composants, et sont appelés indépendants si ${\displaystyle F_{\mathbf {Z} }(\mathbf {z} )}$${\displaystyle F_{\mathbf {W} }(\mathbf {w} )}$${\displaystyle \mathbf {Z} }$${\displaystyle \mathbf {W} }$${\displaystyle F_{\mathbf {Z,W} }(\mathbf {z,w} )}$${\displaystyle \mathbf {Z} }$${\displaystyle \mathbf {W} }$${\displaystyle \mathbf {Z} \perp \!\!\!\perp \mathbf {W} }$${\displaystyle \mathbf {Z} }$${\displaystyle \mathbf {W} }$

${\displaystyle F_{Z_{1},\ldots ,Z_{m},W_{1},\ldots ,W_{n}}(z_{1},\ldots ,z_{m},w_{1}, \ldots ,w_{n})=F_{Z_{1},\ldots ,Z_{m}}(z_{1},\ldots ,z_{m})\cdot F_{W_{1},\ldots , W_{n}}(w_{1},\ldots ,w_{n})\quad {\text{for all }}z_{1},\ldots ,z_{m},w_{1},\ldots , w_{n}}$.

Symétrie circulaire

Un vecteur aléatoire complexe est appelé à symétrie circulaire si pour chaque déterministe la distribution de est égale à la distribution de . ${\displaystyle \mathbf {Z} }$${\displaystyle \varphi \in [-\pi ,\pi )}$${\displaystyle e^{\mathrm {i} \varphi }\mathbf {Z} }$${\displaystyle \mathbf {Z} }$

Propriétés

• L'espérance d'un vecteur aléatoire complexe à symétrie circulaire est soit nulle, soit non définie.
• La matrice de pseudo-covariance d'un vecteur aléatoire complexe à symétrie circulaire est nulle.

Vecteurs aléatoires complexes appropriés

Un vecteur aléatoire complexe est dit propre si les trois conditions suivantes sont toutes satisfaites : ${\displaystyle \mathbf {Z} }$

• ${\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {Z} ]=0}$ (moyenne zéro)
• ${\displaystyle \operatorname {var} [Z_{1}]<\infty ,\ldots ,\operatorname {var} [Z_{n}]<\infty }$ (tous les composants ont une variance finie)
• ${\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {Z} ^{T}]=0}$

Deux vecteurs aléatoires complexes sont appelés conjointement propres si le vecteur aléatoire composite est propre. ${\displaystyle \mathbf {Z} ,\mathbf {W} }$${\style d'affichage (Z_{1},Z_{2},\ldots ,Z_{m},W_{1},W_{2},\ldots ,W_{n})^{T}}$

Propriétés

• Un vecteur aléatoire complexe est propre si, et seulement si, pour tous les vecteurs (déterministes), la variable aléatoire complexe est propre.${\displaystyle \mathbf {Z} }$${\displaystyle \mathbf {c} \in \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {c} ^{T}\mathbf {Z} }$
• Les transformations linéaires de vecteurs aléatoires complexes propres sont propres, c'est-à-dire que si est un vecteur aléatoire propre avec des composants et est une matrice déterministe , alors le vecteur aléatoire complexe est également propre.${\displaystyle \mathbf {Z} }$${\style d'affichage n}$${\style d'affichage A}$${\style d'affichage m\ fois n}$${\displaystyle A\mathbf {Z} }$
• Tout vecteur aléatoire complexe à symétrie circulaire avec une variance finie de toutes ses composantes est propre.
• Il existe des vecteurs aléatoires complexes appropriés qui ne sont pas à symétrie circulaire.
• Un vecteur aléatoire réel est propre si et seulement s'il est constant.
• Deux vecteurs aléatoires complexes conjointement propres sont non corrélés si et seulement si leur matrice de covariance est nulle, c'est-à-dire si .${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }=0}$

Inégalité de Cauchy-Schwarz

L' inégalité de Cauchy-Schwarz pour les vecteurs aléatoires complexes est

${\displaystyle \left|\operatorname {E} [\mathbf {Z} ^{H}\mathbf {W} ]\right|^{2}\leq \operatorname {E} [\mathbf {Z} ^{H }\mathbf {Z} ]\nom_opérateur {E} [|\mathbf {W} ^{H}\mathbf {W} |]}$.

Fonction caractéristique

La fonction caractéristique d'un vecteur aléatoire complexe à composantes est une fonction définie par : ${\displaystyle \mathbf {Z} }$${\style d'affichage n}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle \varphi _{\mathbf {Z} }(\mathbf {\omega } )=\operatorname {E} \left[e^{i\Re {(\mathbf {\omega } ^{H}\mathbf {Z} )}}\right]=\operatorname {E} \left[e^{i(\Re {(\omega _{1})}\Re {(Z_{1})}+\Im {( \omega _{1})}\Im {(Z_{1})}+\cdots +\Re {(\omega _{n})}\Re {(Z_{n})}+\Im {(\ oméga _{n})}\Je suis {(Z_{n})})}\right]}$

Voir également

• Distribution normale complexe
• Variable aléatoire complexe (cas scalaire)

Les références