Kompleks tilfældig vektor - Complex random vector

I sandsynlighedsteori og statistik er en kompleks tilfældig vektor typisk en tuple af komplekse værdiansatte tilfældige variabler og er generelt en tilfældig variabel, der tager værdier i et vektorrum over feltet med komplekse tal. Hvis der er tilfældige værdier med komplekse værdier, er n -tuppen en kompleks tilfældig vektor. Komplekse tilfældige variabler kan altid betragtes som par ægte tilfældige vektorer: deres virkelige og imaginære dele. ${\ displaystyle Z_ {1}, \ ldots, Z_ {n}}$${\ displaystyle \ venstre (Z_ {1}, \ ldots, Z_ {n} \ højre)}$

Nogle begreber om virkelige tilfældige vektorer har en ligetil generalisering til komplekse tilfældige vektorer. For eksempel definitionen af middelværdien af en kompleks tilfældig vektor. Andre begreber er unikke for komplekse tilfældige vektorer.

Anvendelser af komplekse tilfældige vektorer findes i digital signalbehandling .

Del af en serie om statistik
Sandsynlighedsteori
Sandsynlighed Aksiomer Determinisme System Ubestemmelse Tilfældighed
Sandsynlighedsrum Prøveplads Begivenhed Kollektivt udtømmende begivenheder Elementær begivenhed Gensidig eksklusivitet Resultat Singleton Eksperiment Bernoulli -retssag Sandsynlighedsfordeling Bernoulli distribution Binomial fordeling Normal fordeling Sandsynlighedsmåling Tilfældig variabel Bernoulli -proces Kontinuerlig eller diskret Forventet værdi Markov kæde Observeret værdi Tilfældig gåtur Stokastisk proces
Supplerende begivenhed Fælles sandsynlighed Marginal sandsynlighed Betinget sandsynlighed
Uafhængighed Betinget uafhængighed Lov om total sandsynlighed Lov om store tal Bayes 'sætning Booles ulighed
Venn diagram Trædiagram
v t e

Definition

En sammensat tilfældig vektor på sandsynlighedsrum er en funktion således at vektoren er en reel tilfældig vektor på hvor betegner den reelle del af og betegner den imaginære del af . ${\ displaystyle \ mathbf {Z} = (Z_ {1}, \ ldots, Z_ {n})^{T}}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Z} \ colon \ Omega \ rightarrow \ mathbb {C} ^{n}}$${\ displaystyle (\ Re {(Z_ {1})}, \ Im {(Z_ {1})}, \ ldots, \ Re {(Z_ {n})}, \ Im {(Z_ {n})}} )^{T}}$${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$${\ displaystyle \ Re {(z)}}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle \ Im {(z)}}$${\ displaystyle z}$

Kumulativ fordelingsfunktion

Generaliseringen af ​​den kumulative fordelingsfunktion fra reelle til komplekse tilfældige variabler er ikke indlysende, fordi udtryk for formen ikke giver mening. Men udtryk for formen giver mening. Derfor er den kumulative fordelingsfunktion for en tilfældig vektor defineret som ${\ displaystyle P (Z \ leq 1+3i)}$${\ displaystyle P (\ Re {(Z)} \ leq 1, \ Im {(Z)} \ leq 3)}$${\ displaystyle F _ {\ mathbf {Z}}: \ mathbb {C} ^{n} \ mapsto [0,1]}$${\ displaystyle \ mathbf {Z} = (Z_ {1}, ..., Z_ {n})^{T}}$

hvor . ${\ displaystyle \ mathbf {z} = (z_ {1}, ..., z_ {n})^{T}}$

Forventning

Som i det virkelige tilfælde tages forventningen (også kaldet forventet værdi ) af en kompleks tilfældig vektor komponentmæssigt.

Kovariansmatrix og pseudokovariansmatrix

Den kovariansmatricen (også kaldet anden central øjeblik ) indeholder kovarianser mellem alle par af komponenter. Covariansmatricen af en tilfældig vektor er en matrix , hvis ^th element er kovariansen mellem i ^th og j ^th stokastiske variable. I modsætning til i tilfældet med reelle tilfældige variabler involverer kovariansen mellem to tilfældige variabler det komplekse konjugat af en af ​​de to. Kovariansmatrixen er således en hermitisk matrix . ${\ displaystyle \ operatorname {K} _ {\ mathbf {Z} \ mathbf {Z}}}$${\ displaystyle n \ gange 1}$${\ displaystyle n \ gange n}$ ${\ displaystyle (i, j)}$

${\ displaystyle \ operatorname {K} _ {\ mathbf {Z} \ mathbf {Z}} = {\ begin {bmatrix} \ mathrm {E} [(Z_ {1}-\ operatorname {E} [Z_ {1} ]) {\ overline {(Z_ {1}-\ operatorname {E} [Z_ {1}])}}] & \ mathrm {E} [(Z_ {1}-\ operatorname {E} [Z_ {1} ]) {\ overline {(Z_ {2}-\ operatorname {E} [Z_ {2}])}}] & \ cdots & \ mathrm {E} [(Z_ {1}-\ operatorname {E} [Z_ {1}]) {\ overline {(Z_ {n}-\ operatorname {E} [Z_ {n}])}}] \\\\\ mathrm {E} [(Z_ {2}-\ operatorname {E } [Z_ {2}]) {\ overline {(Z_ {1}-\ operatorname {E} [Z_ {1}])}}] og \ mathrm {E} [(Z_ {2}-\ operatorname {E } [Z_ {2}]) {\ overline {(Z_ {2}-\ operatorname {E} [Z_ {2}])}}] & \ cdots & \ mathrm {E} [(Z_ {2}-\ operatorname {E} [Z_ {2}]) {\ overline {(Z_ {n}-\ operatorname {E} [Z_ {n}])}}] \\\\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\\\\ mathrm {E} [(Z_ {n}-\ operatorname {E} [Z_ {n}]) {\ overline {(Z_ {1}-\ operatorname {E} [Z_ {1}] )}}]] og \ mathrm {E} [(Z_ {n}-\ operatorname {E} [Z_ {n}]) {\ overline {(Z_ {2}-\ operatorname {E} [Z_ {2}] )}}]] & \ cdots & \ mathrm {E} [(Z_ {n}-\ operatorname {E} [Z_ {n}]) {\ overline {(Z_ {n}-\ operatorname {E} [Z_ { n}])}}]] \ slut {bmatrix}}}$

Den pseudo-kovariansmatrix (også kaldet relation matrix ) er defineret erstatte Hermitisk gennemførelse af gennemførelse i definitionen ovenfor.

${\ displaystyle \ operatorname {J} _ {\ mathbf {Z} \ mathbf {Z}} = {\ begin {bmatrix} \ mathrm {E} [(Z_ {1}-\ operatorname {E} [Z_ {1} ]) (Z_ {1}-\ operatorname {E} [Z_ {1}])] og \ mathrm {E} [(Z_ {1}-\ operatorname {E} [Z_ {1}]) (Z_ {2 }-\ operatorname {E} [Z_ {2}])] & \ cdots & \ mathrm {E} [(Z_ {1}-\ operatorname {E} [Z_ {1}]) (Z_ {n}-\ operatorname {E} [Z_ {n}])] \\\\\ mathrm {E} [(Z_ {2}-\ operatorname {E} [Z_ {2}]) (Z_ {1}-\ operatorname {E } [Z_ {1}])] og \ mathrm {E} [(Z_ {2}-\ operatorname {E} [Z_ {2}]) (Z_ {2}-\ operatorname {E} [Z_ {2} ])] & \ cdots & \ mathrm {E} [(Z_ {2}-\ operatorname {E} [Z_ {2}]) (Z_ {n}-\ operatorname {E} [Z_ {n}])] \\\\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\\\\ mathrm {E} [(Z_ {n}-\ operatorname {E} [Z_ {n}]) (Z_ {1}-\ operatorname {E} [Z_ {1}])] & \ mathrm {E} [(Z_ {n}-\ operatorname {E} [Z_ {n}]) (Z_ {2}-\ operatorname {E} [Z_ {2}])] & \ cdots & \ mathrm {E} [(Z_ {n}-\ operatorname {E} [Z_ {n}]) (Z_ {n}-\ operatorname {E} [Z_ {n} ])] \ end {bmatrix}}}$

Ejendomme

Kovariansmatricen er en hermitisk matrix , dvs.

${\ displaystyle \ operatorname {K} _ {\ mathbf {Z} \ mathbf {Z}}^{H} = \ operatorname {K} _ {\ mathbf {Z} \ mathbf {Z}}}$.

Pseudokovariansmatricen er en symmetrisk matrix , dvs.

${\ displaystyle \ operatorname {J} _ {\ mathbf {Z} \ mathbf {Z}}^{T} = \ operatorname {J} _ {\ mathbf {Z} \ mathbf {Z}}}$.

Kovariansmatricen er en positiv semidefinit matrix , dvs.

${\ displaystyle \ mathbf {a} ^{H} \ operatorname {K} _ {\ mathbf {Z} \ mathbf {Z}} \ mathbf {a} \ geq 0 \ quad {\ text {for all}} \ mathbf {a} \ in \ mathbb {C} ^{n}}$.

Kovariansmatricer af virkelige og imaginære dele

Ved at dekomponere den tilfældige vektor i dens reelle del og imaginære del (dvs. ) har parret en kovariansmatrix af formen: ${\ displaystyle \ mathbf {Z}}$${\ displaystyle \ mathbf {X} = \ Re {(\ mathbf {Z})}}$${\ displaystyle \ mathbf {Y} = \ Im {(\ mathbf {Z})}}$${\ displaystyle \ mathbf {Z} = \ mathbf {X} +i \ mathbf {Y}}$${\ displaystyle (\ mathbf {X}, \ mathbf {Y})}$

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ operatorname {K} _ {\ mathbf {X} \ mathbf {X}} & \ operatorname {K} _ {\ mathbf {Y} \ mathbf {X}} \\\ operatorname {K} _ {\ mathbf {X} \ mathbf {Y}} & \ operatorname {K} _ {\ mathbf {Y} \ mathbf {Y}} \ end {bmatrix}}}$

Matricerne og kan relateres til kovariansmatricerne for og via følgende udtryk: ${\ displaystyle \ operatorname {K} _ {\ mathbf {Z} \ mathbf {Z}}}$${\ displaystyle \ operatorname {J} _ {\ mathbf {Z} \ mathbf {Z}}}$${\ displaystyle \ mathbf {X}}$${\ displaystyle \ mathbf {Y}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} & \ operatorname {K} _ {\ mathbf {X} \ mathbf {X}} = \ operatorname {E} [(\ mathbf {X} -\ operatorname {E} [\ mathbf {X}]) (\ mathbf {X} -\ operatorname {E} [\ mathbf {X}])^{\ mathrm {T}}] = {\ tfrac {1} {2}} \ operatorname {Re} (\ operatorname {K} _ {\ mathbf {Z} \ mathbf {Z}}+\ operatorname {J} _ {\ mathbf {Z} \ mathbf {Z}}) \\ & \ operatorname {K} _ {\ mathbf {Y} \ mathbf {Y}} = \ operatorname {E} [(\ mathbf {Y} -\ operatorname {E} [\ mathbf {Y}]) (\ mathbf {Y} -\ operatorname {E} [ \ mathbf {Y}])^{\ mathrm {T}}] = {\ tfrac {1} {2}} \ operatorname {Re} (\ operatorname {K} _ {\ mathbf {Z} \ mathbf {Z} }-\ operatorname {J} _ {\ mathbf {Z} \ mathbf {Z}}) \\ & \ operatorname {K} _ {\ mathbf {Y} \ mathbf {X}} = \ operatorname {E} [( \ mathbf {Y} -\ operatorname {E} [\ mathbf {Y}]) (\ mathbf {X} -\ operatorname {E} [\ mathbf {X}])^{\ mathrm {T}}] = { \ tfrac {1} {2}} \ operatorname {Im} (\ operatorname {J} _ {\ mathbf {Z} \ mathbf {Z}}+\ operatorname {K} _ {\ mathbf {Z} \ mathbf {Z }}) \\ & \ operatorname {K} _ {\ mathbf {X} \ mathbf {Y}} = \ ope ratorname {E} [(\ mathbf {X} -\ operatorname {E} [\ mathbf {X}]) (\ mathbf {Y} -\ operatorname {E} [\ mathbf {Y}])^{\ mathrm { T}}] = {\ tfrac {1} {2}} \ operatorname {Im} (\ operatorname {J} _ {\ mathbf {Z} \ mathbf {Z}}-\ operatorname {K} _ {\ mathbf { Z} \ mathbf {Z}}) \\\ ende {justeret}}}$

Omvendt:

${\ displaystyle {\ begin {align} & \ operatorname {K} _ {\ mathbf {Z} \ mathbf {Z}} = \ operatorname {K} _ {\ mathbf {X} \ mathbf {X}}+\ operatorname {K} _ {\ mathbf {Y} \ mathbf {Y}}+i (\ operatorname {K} _ {\ mathbf {Y} \ mathbf {X}}-\ operatorname {K} _ {\ mathbf {X} \ mathbf {Y}}) \\ & \ operatorname {J} _ {\ mathbf {Z} \ mathbf {Z}} = \ operatorname {K} _ {\ mathbf {X} \ mathbf {X}}-\ operatorname {K} _ {\ mathbf {Y} \ mathbf {Y}}+i (\ operatorname {K} _ {\ mathbf {Y} \ mathbf {X}}+\ operatorname {K} _ {\ mathbf {X} \ mathbf {Y}}) \ end {align}}}$

Kryds-kovariansmatrix og pseudo-kryds-kovariansmatrix

Den cross-kovariansmatricen mellem to komplekse tilfældige vektorer er defineret som: ${\ displaystyle \ mathbf {Z}, \ mathbf {W}}$

${\ displaystyle \ operatorname {K} _ {\ mathbf {Z} \ mathbf {W}} = {\ begin {bmatrix} \ mathrm {E} [(Z_ {1}-\ operatorname {E} [Z_ {1} ]) {\ overline {(W_ {1}-\ operatorname {E} [W_ {1}])}}] & \ mathrm {E} [(Z_ {1}-\ operatorname {E} [Z_ {1} ]) {\ overline {(W_ {2}-\ operatorname {E} [W_ {2}])}}] & \ cdots & \ mathrm {E} [(Z_ {1}-\ operatorname {E} [Z_ {1}]) {\ overline {(W_ {n}-\ operatorname {E} [W_ {n}])}}] \\\\\ mathrm {E} [(Z_ {2}-\ operatorname {E } [Z_ {2}]) {\ overline {(W_ {1}-\ operatorname {E} [W_ {1}])}}] og \ mathrm {E} [(Z_ {2}-\ operatorname {E } [Z_ {2}]) {\ overline {(W_ {2}-\ operatorname {E} [W_ {2}])}}] & \ cdots & \ mathrm {E} [(Z_ {2}-\ operatorname {E} [Z_ {2}]) {\ overline {(W_ {n}-\ operatorname {E} [W_ {n}])}}] \\\\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\\\\ mathrm {E} [(Z_ {n}-\ operatorname {E} [Z_ {n}]) {\ overline {(W_ {1}-\ operatorname {E} [W_ {1}] )}}]] og \ mathrm {E} [(Z_ {n}-\ operatorname {E} [Z_ {n}]) {\ overline {(W_ {2}-\ operatorname {E} [W_ {2}] )}}}] & \ cdots & \ mathrm {E} [(Z_ {n}-\ operatorname {E} [Z_ {n}]) {\ overline {(W_ {n}-\ operatorname {E} [W_ { n}])}}]] \ slut {bmatrix}}}$

Og pseudo-kryds-kovariansmatrixen er defineret som:

${\ displaystyle \ operatorname {J} _ {\ mathbf {Z} \ mathbf {W}} = {\ begin {bmatrix} \ mathrm {E} [(Z_ {1}-\ operatorname {E} [Z_ {1} ]) (W_ {1}-\ operatorname {E} [W_ {1}])] og \ mathrm {E} [(Z_ {1}-\ operatorname {E} [Z_ {1}]) (W_ {2 }-\ operatorname {E} [W_ {2}])] & \ cdots & \ mathrm {E} [(Z_ {1}-\ operatorname {E} [Z_ {1}]) (W_ {n}-\ operatorname {E} [W_ {n}])] \\\\\ mathrm {E} [(Z_ {2}-\ operatorname {E} [Z_ {2}]) (W_ {1}-\ operatorname {E } [W_ {1}])] og \ mathrm {E} [(Z_ {2}-\ operatorname {E} [Z_ {2}]) (W_ {2}-\ operatorname {E} [W_ {2} ])] & \ cdots & \ mathrm {E} [(Z_ {2}-\ operatorname {E} [Z_ {2}]) (W_ {n}-\ operatorname {E} [W_ {n}])] \\\\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\\\\ mathrm {E} [(Z_ {n}-\ operatorname {E} [Z_ {n}]) (W_ {1}-\ operatorname {E} [W_ {1}])] & \ mathrm {E} [(Z_ {n}-\ operatorname {E} [Z_ {n}]) (W_ {2}-\ operatorname {E} [W_ {2}])] & \ cdots & \ mathrm {E} [(Z_ {n}-\ operatorname {E} [Z_ {n}]) (W_ {n}-\ operatorname {E} [W_ {n} ])] \ end {bmatrix}}}$

To komplekse tilfældige vektorer og kaldes ukorrelerede hvis ${\ displaystyle \ mathbf {Z}}$${\ displaystyle \ mathbf {W}}$

${\ displaystyle \ operatorname {K} _ {\ mathbf {Z} \ mathbf {W}} = \ operatorname {J} _ {\ mathbf {Z} \ mathbf {W}} = 0}$.

Uafhængighed

To komplekse tilfældige vektorer og kaldes uafhængige hvis ${\ displaystyle \ mathbf {Z} = (Z_ {1}, ..., Z_ {m})^{T}}$${\ displaystyle \ mathbf {W} = (W_ {1}, ..., W_ {n})^{T}}$

hvor og betegner de kumulative fordelingsfunktioner for og som defineret i ligning 1 og angiver deres fælles kumulative fordelingsfunktion. Uafhængighed af og er ofte betegnet med . Skrevet komponentmæssigt, og kaldes uafhængige hvis ${\ displaystyle F _ {\ mathbf {Z}} (\ mathbf {z})}$${\ displaystyle F _ {\ mathbf {W}} (\ mathbf {w})}$${\ displaystyle \ mathbf {Z}}$${\ displaystyle \ mathbf {W}}$${\ displaystyle F _ {\ mathbf {Z, W}} (\ mathbf {z, w})}$${\ displaystyle \ mathbf {Z}}$${\ displaystyle \ mathbf {W}}$${\ displaystyle \ mathbf {Z} \ perp \! \! \! \ perp \ mathbf {W}}$${\ displaystyle \ mathbf {Z}}$${\ displaystyle \ mathbf {W}}$

${\ displaystyle F_ {Z_ {1}, \ ldots, Z_ {m}, W_ {1}, \ ldots, W_ {n}} (z_ {1}, \ ldots, z_ {m}, w_ {1}, \ ldots, w_ {n}) = F_ {Z_ {1}, \ ldots, Z_ {m}} (z_ {1}, \ ldots, z_ {m}) \ cdot F_ {W_ {1}, \ ldots, W_ {n}} (w_ {1}, \ ldots, w_ {n}) \ quad {\ text {for alle}} z_ {1}, \ ldots, z_ {m}, w_ {1}, \ ldots, w_ {n}}$.

Cirkulær symmetri

En kompleks tilfældig vektor kaldes cirkulært symmetrisk, hvis fordelingen af lig med fordelingen af ​​er for hver deterministisk . ${\ displaystyle \ mathbf {Z}}$${\ displaystyle \ varphi \ i [-\ pi, \ pi)}$${\ displaystyle e^{\ mathrm {i} \ varphi} \ mathbf {Z}}$${\ displaystyle \ mathbf {Z}}$

Ejendomme

• Forventningen til en cirkulært symmetrisk kompleks tilfældig vektor er enten nul, eller den er ikke defineret.
• Pseudokovariansmatrixen for en cirkulært symmetrisk kompleks tilfældig vektor er nul.

Korrekte komplekse tilfældige vektorer

En kompleks tilfældig vektor kaldes korrekt, hvis følgende tre betingelser alle er opfyldt: ${\ displaystyle \ mathbf {Z}}$

• ${\ displaystyle \ operatorname {E} [\ mathbf {Z}] = 0}$ (nul betyder)
• ${\ displaystyle \ operatorname {var} [Z_ {1}] <\ infty, \ ldots, \ operatorname {var} [Z_ {n}] <\ infty}$ (alle komponenter har begrænset variation)
• ${\ displaystyle \ operatorname {E} [\ mathbf {Z} \ mathbf {Z} ^{T}] = 0}$

To komplekse tilfældige vektorer kaldes i fællesskab korrekt , den sammensatte tilfældige vektor er korrekt. ${\ displaystyle \ mathbf {Z}, \ mathbf {W}}$${\ displaystyle (Z_ {1}, Z_ {2}, \ ldots, Z_ {m}, W_ {1}, W_ {2}, \ ldots, W_ {n})^{T}}$

Ejendomme

• En kompleks tilfældig vektor er korrekt, hvis, og kun hvis den komplekse tilfældige variabel er korrekt for alle (deterministiske) vektorer .${\ displaystyle \ mathbf {Z}}$${\ displaystyle \ mathbf {c} \ in \ mathbb {C} ^{n}}$${\ displaystyle \ mathbf {c} ^{T} \ mathbf {Z}}$
• Lineære transformationer af korrekte komplekse tilfældige vektorer er korrekte, dvs. hvis er en ordentlig tilfældig vektor med komponenter og er en deterministisk matrix, så er den komplekse tilfældige vektor også korrekt.${\ displaystyle \ mathbf {Z}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle m \ gange n}$${\ displaystyle A \ mathbf {Z}}$
• Hver cirkulært symmetrisk kompleks tilfældig vektor med begrænset varians af alle dens komponenter er korrekt.
• Der er passende komplekse tilfældige vektorer, der ikke er cirkulært symmetriske.
• En rigtig tilfældig vektor er korrekt, hvis og kun hvis den er konstant.
• To i fællesskab korrekte komplekse tilfældige vektorer er ukorrelerede, hvis og kun hvis deres kovariatmatrix er nul, dvs. hvis .${\ displaystyle \ operatorname {K} _ {\ mathbf {Z} \ mathbf {W}} = 0}$

Cauchy-Schwarz ulighed

Den Cauchy-Schwarz ulighed for komplekse tilfældige vektorer er

${\ displaystyle \ left | \ operatorname {E} [\ mathbf {Z} ^{H} \ mathbf {W}] \ right | ^{2} \ leq \ operatorname {E} [\ mathbf {Z} ^{H } \ mathbf {Z}] \ operatorname {E} [| \ mathbf {W} ^{H} \ mathbf {W} |]}$.

Karakteristisk funktion

Den karakteristiske funktion af en kompleks tilfældig vektor med komponenter er en funktion defineret af: ${\ displaystyle \ mathbf {Z}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ mathbb {C} ^{n} \ to \ mathbb {C}}$

${\ displaystyle \ varphi _ {\ mathbf {Z}} (\ mathbf {\ omega}) = \ operatorname {E} \ left [e ^{i \ Re {(\ mathbf {\ omega} ^{H} \ mathbf {Z})}} \ right] = \ operatorname {E} \ left [e^{i (\ Re {(\ omega _ {1})} \ Re {(Z_ {1})}+\ Im {( \ omega _ {1})} \ Im {(Z_ {1})}+\ cdots+\ Re {(\ omega _ {n})} \ Re {(Z_ {n})}+\ Im {(\ omega _ {n})} \ Im {(Z_ {n})})} \ højre]}$

Se også

• Kompleks normalfordeling
• Kompleks tilfældig variabel (skalarfelt)

Referencer