Sarjan täydennys

Joukon A komplementti

on

toinen joukko

A

joka sisältää kaikki elementit ( universumissa

U

), jotka eivät ole

A :ssa.

Joukon komplementti tai täydentävä joukko on toinen joukko, joka sisältää kaikki elementit, jotka eivät ole alkuperäisessä joukossa. Sen määrittämiseksi on tarpeen määrittää, minkä tyyppisiä elementtejä käytetään, tai muuten, mikä on universaali joukko . Jos esimerkiksi puhumme luonnollisista luvuista , alkulukujoukon $P$ komplementti on ei-alkulukujen joukko $C$ , joka koostuu yhdistelmäluvuista ja luvusta 1 :

\mathbf {P} =\{2,3,5,7,\ldots \}

C=\{1,4,6,8,9,\ldots \}

Joukko P puolestaan $on$ $C$ :n komplementti . Komplementtijoukko on merkitty vaakaviivalla tai yläindeksillä « $∁$ », joten meillä on: $P ∁ = C$ ja myös $C = P$ .

$A$ :n komplementaarinen joukko on ero (tai suhteellinen komplementti ) universaalin joukon ja $A$ :n välillä , joten molemmilla operaatioilla (komplementaarisella ja differentiaalisella) on samanlaiset ominaisuudet.

Määritelmä

Täydennys sarjalle

A.

_

Kun on annettu joukko $A$ , sen komplementti on joukko, jonka muodostavat elementit, jotka eivät kuulu $A$ :hen :

$A$ :n komplementti on toinen joukko A $∁$ $,$ jonka alkiot ovat kaikki ne, jotka eivät ole $A$ :ssa :

$x\in A^{\complement }{\text{ if ys}}{\acute {\text{o}}}{\text{lo if }}x\notin A$

Tämä määritelmä edellyttää, että universaali joukko $U$ on määritelty , muuten lauseessa "kaikki $x$ eivät ole $A:$ ssa " sana "kaikki" on moniselitteinen. $Jos universaali joukko U$ mainitaan eksplisiittisesti , niin $A$ :n komplementti on joukko $U$ :n alkioita, jotka eivät ole $A$ :ssa , joten suhde eroon on selvä:

$A^{\complement }=U\setminus A$

Toisaalta, kun otetaan huomioon universaali joukko, kahden joukon välinen ero voidaan ilmaista käyttämällä komplementaarisuuden käsitettä:

$A\setminus B=A\cap B^{\complement }$

Esimerkki.

Kaikkien miesten joukon komplementti on kaikkien naisten joukko (puhuen henkilöistä ).
Luonnollisista luvuista puhuttaessa joukon ${1, 5, 6, 7, 8, 10}$ komplementti on joukko ${2, 3, 4, 9, 11, 12, ...}$ .
Kuvan joukon $A$ komplementti on sinisellä varjostettu alue (yleisjoukko $U$ on suorakulmion koko alue).

Ominaisuudet

Koska yleisjoukko sisältää kaikki tarkasteltavat elementit ja tyhjä joukko ei sisällä yhtään, meillä on seuraava:

$U^{\complement }=\varnothing {\text{ , }}\varnothing{\complement }=U$

Koska komplementaarisuuden käsite liittyy logiikan negaatioon , ensimmäisellä on samanlaisia ominaisuuksia kuin jälkimmäisellä:

involutionaalinen omaisuus . $A$ : n komplementin komplementti on itse $A$ :

$(A^{\complement })^{\complement }=A$

Joukon ja sen komplementin liitto on universaali joukko:

$A\cup A^{\complement }=U$

Joukko ja sen komplementti ovat erillisiä :

$A\cap A^{\complement }=\varnothing$

$A$ :n komplementti sisältyy minkä tahansa A $:$ n osajoukon komplementtiin :

$B\subseteq A\rightarrow A^{\complement }\subseteq B^{\complement }$

Myös joissakin liiton ja risteyksen välisissä suhteissa komplementin kautta:

De Morganin lait

Kahden joukon liiton komplementti on komplementtien leikkauspiste:

$(A\cup B)^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement }$

Kahden joukon leikkauspisteen komplementti on komplementtien liitto:

$(A\cap B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }$

Täydentävä suhde

Binäärirelaatio R määritellään karteesisen tulon X × Y osajoukoksi . Komplementtisuhde on joukon R komplementti X × Y :ssä . Suhteen R komplementti voidaan kirjoittaa muodossa ${\bar {R}}$

{\bar {R}}\ =\ (X\kertaa Y)\setminus R.

Tässä R nähdään usein loogisena matriisina , jossa rivit edustavat X :n elementtejä ja sarakkeet Y :n elementtejä . aRb :n totuus vastaa 1:tä rivillä a , sarakkeessa b . Tuotetaan "R":n komplementtisuhde, joka vastaa kaikkien ykkösten muuttamista nollaksi ja kaikkien nollien muuttamista 1:ksi komplementtilogiikkataulukossa.

Relaatioiden koostumuksen ja käänteisen suhteen ohella komplementaariset suhteet ja joukkojen algebra ovat algebrallisen logiikan perustoimintoja

Katso myös

Viitteet

Tämä teos sisältää osittaisen käännöksen, joka on johdettu englanninkielisestä Wikipediasta " Comlementary relation ", jonka sen julkaisijat ovat julkaisseet GNU Free Documentation -lisenssillä ja Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License -lisenssillä .

Lipschutz, Seymour (1991). Joukkoteoria ja siihen liittyvät aiheet . McGraw-Hill. ISBN 968-422-926-7 .