Nollajakaja - Zero divisor

In abstraktin algebran , elementti on renkaan R kutsutaan jäljellä nolla jakaja , jos on olemassa nollasta poikkeava x on R siten, että ax = 0 , tai vastaavasti jos kartan R ja R , joka lähettää x on ax ei ole injektio . Vastaavasti renkaan elementtiä a kutsutaan oikeaksi nollajakajaksi, jos R: ssä on nolla y , niin että ya = 0 . Tämä on osittainen jaettavuus renkaissa. Elementtiä, joka on vasen tai oikea nollijakaja, kutsutaan yksinkertaisesti nollajakajaksi . Elementtiä  a, joka on sekä vasen että oikea nollijakaja, kutsutaan kaksipuoliseksi nollajakajaksi (nolla x siten, että ax = 0 voi olla erilainen kuin nolla y siten, että ya = 0 ). Jos rengas on kommutatiivinen , vasen ja oikea nollanjakaja ovat samat.

Elementti renkaasta, joka ei ole vasen nollajakaja, kutsutaan vasemmalle säännölliseksi tai vasemmalle peruutettavaksi . Vastaavasti renkaan elementtiä, joka ei ole oikea nollanjakaja, kutsutaan oikeaksi säännölliseksi tai oikealle peruutettavaksi . Rengaselementtiä, joka on vasemmalla ja oikealla puolella poistettavissa eikä siten ole nollajakaja, kutsutaan säännölliseksi tai poistettavaksi tai nollan ulkopuoliseksi jakajaksi . Nollan jakajaa, joka ei ole nolla, kutsutaan nollasta nollan jakajaksi tai ei-triviaaliseksi nollan jakajaksi . Ei-nollarengasta, jossa ei ole triviaalisia nollanjakajia, kutsutaan toimialueeksi .

Esimerkkejä

• Kun rengas ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / 4 \ mathbb {Z}}$ , jäännös luokka on nolla jakaja alkaen . ${\ displaystyle {\ overline {2}}}$${\ displaystyle {\ overline {2}} \ kertaa {\ overline {2}} = {\ overline {4}} = {\ overline {0}}}$
• Vain nolla jakaja rengas on kokonaislukujen on . ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle 0}$
• Ei- nollarenkaan nilpotentti elementti on aina kaksipuolinen nollanjakaja.
• Idempotentti elementti rengas on aina kaksipuolinen nolla jakaja, koska . ${\ displaystyle e \ neq 1}$${\ displaystyle e (1-e) = 0 = (1-e) e}$
• Rengas matriisien ${\ displaystyle n \ kertaa n}$ yli kenttä on nollasta poikkeava nolla divisors jos . Tässä on esimerkkejä nollan jakajista matriisirenkaassa (minkä tahansa nollarenkaan päällä ): ${\ displaystyle n \ geq 2}$${\ displaystyle 2 \ kertaa 2}$

  ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ - 1 & -1 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} -2 & 1 \\ - 2 & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}},}$

  ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix }} {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}}}$ .

• Suora tuote kahden tai useamman ei-nolla renkaat on aina nollasta poikkeava nolla divisors. Esimerkiksi kunkin nollasta poikkeava, niin on nolla jakaja. ${\ displaystyle R_ {1} \ kertaa R_ {2}}$${\ displaystyle R_ {i}}$${\ displaystyle (1,0) (0,1) = (0,0)}$${\ displaystyle (1,0)}$
• Antaa olla kenttä ja olla ryhmä . Oletetaan, että siinä on elementti äärellisestä järjestyksestä . Sitten ryhmärenkaassa yksi on , eikä kumpikaan tekijä ole nolla, samoin kuin nolla-nollan jakaja . ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle n> 1}$ ${\ displaystyle K [G]}$${\ displaystyle (1-g) (1 + g + \ cdots + g ^ {n-1}) = 1-g ^ {n} = 0}$${\ displaystyle 1-g}$${\ displaystyle K [G]}$

Yksipuolinen nollanjakaja

• Harkitse (muodollisten) matriisien rengasta, jossa on ja . Sitten ja . Jos , niin on vasen nollajakaja, jos ja vain, jos on tasainen, koska , ja se on oikea nollajakaja, jos ja vain, jos se on edes samoista syistä. Jos jompikumpi näistä on , niin se on kaksipuolinen nollanjakaja. ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x & y \\ 0 & z \ end {pmatrix}}}$${\ displaystyle x, z \ sisään \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle y \ sisään \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x & y \\ 0 & z \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} a & b \\ 0 & c \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} xa & xb + yc \\ 0 & zc \ end {pmatrix}}}$${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & b \\ 0 & c \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x & y \\ 0 & z \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} xa & ya + zb \\ 0 & zc \ end {pmatrix}}}$${\ displaystyle x \ neq 0 \ neq z}$${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x & y \\ 0 & z \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x & y \\ 0 & z \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 & x \\ 0 & 0 \ end {pmatrix }}}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle x, z}$${\ displaystyle 0}$
• Tässä on toinen esimerkki renkaasta, jonka elementti on nollanjakaja vain toisella puolella. Antaa olla joukko kaikkia sekvenssejä kokonaislukuja . Otetaan rengas kaikkien lisäaine karttoja mistä on , jossa pistemäinen lisäyksen ja koostumus kuin renkaan toimintaa. (Eli meidän rengas on The endomorphism rengas lisäaineen ryhmä .) Kolme esimerkkiä osia rengas on oikeus siirtää , The vasen muutos , ja uloke kartan päälle Ensimmäinen tekijä . Kaikki nämä kolme lisäaineen kartat eivät ole nolla, ja komposiitit ja ovat molemmat nolla, joten on jäljellä nolla jakaja ja on oikea nolla jakaja kehässä lisäaineen karttoja ja . Se ei kuitenkaan ole oikea nollanjakaja eikä vasemman nollan jakaja: yhdistelmä on identiteetti. on kaksipuolinen nolla-jakaja, koska , kun taas ei ole mihinkään suuntaan. ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, ...)}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ mathrm {Loppu (S)}$${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle R (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, ...) = (0, a_ {1}, a_ {2}, ...)}$ ${\ displaystyle L (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, ...) = (a_ {2}, a_ {3}, a_ {4}, ...)}$${\ displaystyle P (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, ...) = (a_ {1}, 0,0, ...)}$${\ displaystyle LP}$${\ displaystyle PR}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle LR}$${\ displaystyle RL}$${\ displaystyle RLP = 0 = PRL}$${\ displaystyle LR = 1}$

Ei-esimerkkejä

• Kokonaislukujen modulo a prime-luvun renkaalla ei ole muita nollanjakajia kuin 0. Koska jokainen ei-nolla-elementti on yksikkö , tämä rengas on rajallinen kenttä .
• Yleisemmin jako rengas ei ole nolla divisors paitsi 0.
• Ei nolla kommutatiivista rengasta, jonka ainoa nollajakaja on 0, kutsutaan integraalialueeksi .

Ominaisuudet

• N- by- n matriisin renkaassa kentän päällä vasen ja oikea nollanjakaja yhtyvät; ne ovat tarkalleen yksikön matriiseja . N- by- n matriisien renkaassa integraalialueella nollanjakajat ovat tarkalleen matriisit, joilla on determinantti nolla .
• Vasen tai oikea nollanjakaja ei voi koskaan olla yksikköä , koska jos a on käänteinen ja ax = 0 joillekin ei-nollalle x , niin 0 = a ^-1 0 = a ^-1 ax = x , ristiriita.
• Elementti on peruutettavissa sillä puolella, jolla se on säännöllinen. Toisin sanoen, jos a on vasen säännöllinen, ax = ay tarkoittaa, että x = y , ja vastaavasti oikean säännöllisen.

Nolla nollanjakajana

Erillistä käytäntöä ei tarvita tapaukselle a = 0 , koska määritelmä pätee myös tässä tapauksessa:

• Jos R on muu rengas kuin nollarengas , niin 0 on (kaksipuolinen) nollanjakaja, koska mikä tahansa ei-nolla-elementti x täyttää 0 x = 0 = x 0 .
• Jos R on nollarengas , jossa 0 = 1 , niin 0 ei ole nollanjakaja, koska ei ole nollaelementtiä , joka kerrottuna 0: lla tuottaa 0 .

Jotkut viitteet sisältävät tai sulkevat pois 0 nollijakajana kaikissa renkaissa sopimuksen mukaan, mutta ne kärsivät sitten siitä, että heidän on lisättävä poikkeuksia esimerkiksi seuraaviin lauseisiin:

• On kommutatiivinen rengas R , joukko ei-nolla-jakajia on multiplikatiivinen asetettu sisään R . (Tämä puolestaan, on tärkeää määritelmän kokonaisosamäärästä rengas .) Sama pätee joukko ei-vasen-nolla-jakoluvut sekä joukko ei-oikea-nolla-jakajia mielivaltaisella rengas, kommutatiivinen tai ei.
• In kommutatiivinen noetherin rengas R , joukko nolla jakoluvut on liitto liittyvän alkuideaali ja R .

Nollanjakaja moduulissa

Olkoon R on kommutatiivinen rengas, anna M olla R - moduuli , ja anna olla osa R . Yksi sanoo, että on M -regular jos "kertominen " kartan on injektiivinen ja että on nolla jakaja on M toisin. Joukko M -regular elementtejä on multiplikatiivinen asetettu sisään R . ${\ displaystyle M \, {\ stackel {a} {\ to}} \, M}$

Erikoistumalla " M- säännönmukaisen" ja "nollan jakajan M: n " määritelmiin tapaukseen M = R palautetaan aiemmin tässä artikkelissa annetut "säännöllisen" ja "nollan jakajan" määritelmät.

Katso myös

• Nollatuoteominaisuus
• Sanasto kommutatiivisesta algebrasta (tarkka nollanjakaja)
• Nollanjakajan kaavio

Huomautuksia

Viitteet

Lisälukemista

• "Zero divisor" , Matematiikan tietosanakirja , EMS Press , 2001 [1994]
• Michiel Hazewinkel ; Nadiya Gubareni; Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni; Vladimir V. Kirichenko. (2004), Algebras, rings and modules , Vuosikerta 1, Springer, ISBN   1-4020-2690-0 |volume= on ylimääräistä tekstiä ( ohje )
• Weisstein, Eric W. "Zero Divisor" . MathWorld .