Hyvin järjestetty - Well-order

On matematiikka , joka on hyvin kertaluvun (tai hyvin tilaus tai hyvinjärjestys suhde ) on joukko S on yhteensä järjestys on S kanssa ominaisuus, että jokainen ei-tyhjä osajoukko ja S on ainakin osa tämän tilauksen. Joukkoa S yhdessä hyvin järjestetyn suhteen kanssa kutsutaan sitten hyvin järjestetyksi joukoksi . Joissakin akateemisissa artikkeleissa ja oppikirjoissa nämä termit ovat sen sijaan kirjoitettuja myös järjestyksessä , järjestyksessä ja järjestyksessä tai hyvin järjestyksessä , hyvin järjestettyinä ja hyvin järjestettyinä .

Jokaisessa ei-tyhjässä hyvin järjestetyssä sarjassa on vähiten elementtiä. Jokaisella hyvin järjestetyn joukon elementillä s , lukuun ottamatta mahdollista suurinta elementtiä , on ainutlaatuinen seuraaja (seuraava elementti), nimittäin kaikkien alkioiden osajoukon pienin elementti, joka on suurempi kuin s . Pienimmän elementin lisäksi voi olla elementtejä, joilla ei ole edeltäjiä (katso esimerkki alla olevasta luvusta Luonnolliset numerot ). Hyvin järjestetty joukko S sisältää jokaiselle osajoukon T , jossa on ylempi rajaavat ainakin ylärajaa , eli ainakin osa osajoukko kaikista ylärajat T on S .

Jos ≤ on ei-tiukka kaivojen tilaus, niin <on tiukka kaivojen tilaus. Suhde on tiukka hyvin järjestys vain ja vain, jos se on perusteltu tiukka kokonaisjärjestys . Tiukkojen ja ei-tiukkojen kaivotilausten välinen ero jätetään usein huomiotta, koska ne ovat helposti vaihdettavissa.

Jokainen hyvin järjestetty joukko on ainutlaatuinen tilata isomorfinen ainutlaatuinen järjestysluku , nimeltään järjestys tyyppi on hyvin järjestetty joukko. Hyvinjärjestys lauseen , joka vastaa valinta-aksiooma , todetaan, että jokainen joukko voi hyvin tilata. Jos joukko on hyvin järjestetty (tai vaikka se vain tunnustaisi perustellun suhteen ), transfinite-induktion todistustekniikkaa voidaan käyttää osoittamaan, että annettu lause on totta joukon kaikille elementeille.

Huomautusta siitä, että luonnolliset luvut ovat hyvin järjestettyjä tavallisella vähemmän kuin suhteella, kutsutaan yleisesti hyvin järjestyväksi periaatteeksi (luonnollisille numeroille).

Järjestysluvut

Pääartikkeli: Järjestysnumero

Jokainen hyvin järjestetty joukko on ainutlaatuinen tilata isomorfinen ainutlaatuinen järjestysluku , nimeltään järjestys tyyppi on hyvin järjestetty joukko. Jokaisen elementin sijainti järjestetyssä joukossa annetaan myös järjestysluvulla. Lopullisen joukon tapauksessa laskennan perustoiminto , löytää tietyn objektin järjestysnumero tai löytää esine, jolla on tietty järjestysnumero, vastaa järjestysnumeroiden osoittamista yksitellen esineille. Äärellisen joukon koko (elementtien lukumäärä, kardinaalinumero ) on yhtä suuri kuin tilaustyyppi. Laskeminen jokapäiväisessä mielessä alkaa tyypillisesti yhdestä, joten se määrittää kullekin objektille alkuperäisen segmentin koon kyseisen objektin viimeisenä elementtinä. Huomaa, että nämä luvut ovat yhtä enemmän kuin isomorfisen järjestyksen mukaiset muodolliset järjestysnumerot, koska ne ovat yhtä suuria kuin aikaisempien objektien lukumäärä (mikä vastaa nollasta laskemista). Joten äärelliselle n : lle hyvin järjestetyn joukon lauseke " n- edellinen elementti" vaatii kontekstin, jotta voidaan tietää, lasketaanko tämä nollasta vai yhdestä. Merkinnässä "p-kolmas elementti", jossa p voi olla myös ääretön järjestysluku, se lasketaan tyypillisesti nollasta.

Äärettömälle joukolle tilaustyyppi määrittää kardinaalin , mutta ei päinvastoin: tietyn kardinaalin hyvin järjestetyillä sarjoilla voi olla monia erilaisia ​​järjestystyyppejä, katso yksinkertainen esimerkki osiosta Luonnolliset numerot . Saat numeroituvasti ääretön joukko, joukko mahdollisia toimeksiantotyyppejä on vielä lukemattomia.

Esimerkkejä ja vasta-esimerkkejä

Luonnolliset luvut

Normaalijärjestys ≤ luonnollisista numeroista on hyvin järjestetty ja sillä on lisäominaisuus, että jokaisella nollasta poikkeavalla luonnollisella luvulla on ainutlaatuinen edeltäjä.

Toinen luonnollinen numeroiden järjestys saadaan määrittelemällä, että kaikki parilliset luvut ovat pienempiä kuin kaikki parittomat numerot, ja tavallinen järjestys pätee tasoihin ja kertoimiin:

0 2 4 6 8 ... 1 3 5 7 9 ...

Tämä on hyvin järjestetty joukko tilaustyyppejä ω + ω. Jokaisella elementillä on seuraaja (suurinta elementtiä ei ole). Kaksi elementtiä puuttuu edeltäjä: 0 ja 1.

Kokonaislukuja

Toisin kuin luonnollisten numeroiden vakiojärjestys ≤, kokonaislukujen vakiojärjestys ≤ ei ole hyvä järjestys, koska esimerkiksi negatiivisten kokonaislukujen joukko ei sisällä vähiten elementtiä.

Seuraava suhde R on esimerkki kokonaislukujen järjestyksestä: x R y vain ja vain, jos jokin seuraavista ehdoista täyttyy:

  1. x = 0
  2. x on positiivinen ja y on negatiivinen
  3. x ja y ovat molemmat positiivisia ja x ≤ y
  4. x ja y ovat molemmat negatiivisia ja | x | ≤ | y |

Tämä suhde R voidaan visualisoida seuraavasti:

0 1 2 3 4 ... −1 −2 −3 ...

R on isomorfinen järjestyslukuun ω + ω nähden.

Toinen suhde kokonaislukujen järjestykseen on seuraava määritelmä: x  ≤ z   y vain ja vain, jos (| x | <| y | tai (| x | = | y | ja x  ≤  y )). Tämä kaivojärjestys voidaan visualisoida seuraavasti:

0 −1 1 −2 2 −3 3 −4 4 ...

Tämän tilaustyyppi on ω.

Reals

Minkä tahansa todellisen välin vakiojärjestys ≤ ei ole hyvä järjestys, koska esimerkiksi avoin väli (0, 1) ⊆ [0,1] ei sisällä vähiten elementtiä. Vuodesta ZFC aksioomat set theory (mukaan lukien valinta-aksiooma ) voidaan osoittaa, että on hyvin järjestyksessä realia. Myös Wacław Sierpiński osoitti, että ZF + GCH ( yleistetty jatkumohypoteesi ) merkitsevät valinnan aksiomia ja siten reaalien hyvin järjestystä. Siitä huolimatta on mahdollista osoittaa, että ZFC + GCH -aksiomit yksinään eivät riitä todistamaan todellisen (kaavalla) hyvin järjestyksen olemassaoloa. Kuitenkin on yhdenmukaista ZFC: n kanssa, että reaalien olemassa on määriteltävä hyvin järjestys - esimerkiksi se on sopusoinnussa ZFC: n kanssa, että V = L , ja ZFC + V = L: sta seuraa, että tietty kaava järjestää reaalit tai itse asiassa kaikki aseta.

Reaalilukujen lukematon osajoukko, jonka vakiojärjestys on ≤, ei voi olla hyvin järjestetty: Oletetaan, että X on R: n osajoukko, jonka järjestys on ≤. Jokaista X in X , let s ( x ) jatkoksi X on ≤ tilaaminen X (paitsi X on viimeinen osa X ). Olkoon A = {( x , s ( x )) | x ∈ X }, jonka elementit ovat tyhjiä ja disjointvälit. Kukin tällainen aikaväli sisältää ainakin yhden järkevä määrä, joten on olemassa injektio välillä ja Q . On injektio X ja (paitsi mahdollisesti varten viimeinen elementti X , joka voitaisiin sovittaa nolla myöhemmin). Ja on hyvin tiedossa, että Q: sta injektoidaan luonnollisia lukuja (jotka voitaisiin valita nollan välttämiseksi). Siten X: stä syötetään luonnollisia lukuja, mikä tarkoittaa, että X on laskettavissa. Toisaalta, lukemattomasti loputon realijoukko voi olla tai ei olla hyvin järjestyksessä standardin "≤" kanssa. Esimerkiksi,

  • Luonnolliset luvut ovat hyvin järjestettyjä tavanomaisessa järjestyksessä ≤.
  • Joukossa {1 / n: n = 1,2,3, ...} ei ole vähiten elementtiä, joten se ei ole hyvin järjestys vakiojärjestyksessä ≤.

Esimerkkejä kaivotilauksista:

  • Numerojoukko {- 2 - n | 0 ≤ n <ω} on tilaustyyppi ω.
  • Numerojoukko {- 2 - n - 2 - m - n | 0 ≤ m , n <ω} on järjestystyyppi ω 2 . Edellinen sarja on joukko kasautumispiste määräaikaan. Reaalilukujoukon sisällä joko tavallisella topologialla tai järjestystopologialla 0 on myös joukon rajapiste. Se on myös rajapistejoukon rajapiste.
  • Numerojoukko {- 2 - n | 0 ≤ n <ω} ∪ {1}: lla on järjestystyyppi ω + 1. Tämän joukon järjestystopologian avulla 1 on joukon rajapiste. Reaalilukujen tavallisella topologialla (tai vastaavasti järjestystopologialla) se ei ole.

Vastaavat formulaatiot

Jos sarja on kokonaan järjestetty , seuraavat vastaavat toisiaan:

  1. Sarja on hyvin järjestetty. Toisin sanoen jokaisella ei-tyhjällä alijoukolla on vähiten elementtiä.
  2. Transfinite induktio toimii koko tilatulla sarjalla.
  3. Jokaisen joukon tiukasti pienenevän sarjan alkioiden on lopetettava vain hyvin monen vaiheen jälkeen (olettaen riippuvan valinnan aksioman ).
  4. Jokainen alijärjestys on isomorfinen alkuperäiselle segmentille.

Tilaa topologia

Jokaisesta hyvin järjestetystä joukosta voidaan tehdä topologinen tila antamalla sille tilaus topologia .

Tämän topologian suhteen voi olla kahdenlaisia ​​elementtejä:

  • eristetyt pisteet - nämä ovat vähimmäismäärä ja elementit edeltäjän kanssa.
  • rajapisteet - tätä tyyppiä ei esiinny äärellisissä joukkoissa, ja voi esiintyä tai ei välttämättä äärettömässä joukossa; ääretön asetetaan ilman rajakohta ovat sarjaa järjestyksessä tyyppi ω, esimerkiksi N .

Alaryhmille voimme erottaa:

  • Alajoukot, joiden enimmäismäärä (toisin sanoen osajoukot, jotka ovat itsensä rajoittamia ); tämä voi olla yksittäinen piste tai koko joukon rajapiste; jälkimmäisessä tapauksessa se voi olla tai ei olla myös osajoukon rajapiste.
  • Alajoukot, jotka eivät ole itsessään rajoittamattomia, mutta rajoittuvat koko sarjaan; heillä ei ole enimmäismäärää, mutta ylemmyys osajoukon ulkopuolella; jos osajoukko ei ole tyhjä, tämä ylemmyys on osajoukon ja siten myös koko joukon rajapiste; jos osajoukko on tyhjä, tämä ylivaltatila on koko joukon vähimmäismäärä.
  • Alajoukot, joita ei ole rajoitettu koko sarjaan.

Osajoukko on cofinal koko joukkoon, jos ja vain jos se on rajatonta koko joukossa, tai se on suurin, joka on myös suurin koko joukon.

Hyvin järjestetty joukko topologisena tilana on ensilaskettava tila vain ja vain, jos sen tilaustyyppi on pienempi tai yhtä suuri kuin ω 1 ( omega-yksi ), eli jos ja vain jos joukko on laskettavissa tai sillä on pienin joukko laskematon tilaustyyppi.

Katso myös

Viitteet

  1. ^ Feferman, S. (1964). Msgstr "Pakottamisen ja yleisjoukkojen käsitteiden joitain sovelluksia" . Fundamenta Mathematicae . 56 (3): 325–345. doi : 10.4064 / fm-56-3-325-345 .