Muistattomuus - Memorylessness

In todennäköisyys ja tilastot , memorylessness on ominaisuus tiettyjen jakaumat . Se viittaa yleensä tapauksiin, joissa "odotusajan" jakautuminen tiettyyn tapahtumaan asti ei riipu siitä, kuinka paljon aikaa on jo kulunut. Muistittomien tilanteiden mallintamiseksi tarkasti meidän täytyy jatkuvasti "unohtaa", missä tilassa järjestelmä on: prosessin historia ei vaikuta todennäköisyyksiin.

Vain kahdenlaisia ​​jakaumia on muistiton : ei-negatiivisten kokonaislukujen geometriset jakaumat ja ei-negatiivisten todellisten lukujen eksponentiaaliset jakaumat .

Markovin prosessien yhteydessä muistittomuus viittaa Markov -ominaisuuteen , mikä on vieläkin vahvempi olettamus, joka viittaa siihen, että tulevaisuuteen liittyvien satunnaismuuttujien ominaisuudet riippuvat vain kuluvan ajan olennaisista tiedoista, eivät menneisyyden tiedoista. Tämä artikkeli kuvaa käyttöä Markov -ominaisuuden ulkopuolella.

Esimerkkejä odotusajasta

Muistin kanssa

Useimmat ilmiöt eivät ole muistittomia, mikä tarkoittaa, että tarkkailijat saavat niistä tietoja ajan myötä. Oletetaan esimerkiksi, että X on satunnaismuuttuja , auton moottorin käyttöikä ilmaistuna "ajettujen kilometrien lukumäärällä, kunnes moottori hajoaa". Intuitiosi perusteella on selvää, että moottorilla, jolla on ajettu jo 300 000 mailia, on paljon pienempi X kuin toisella (vastaava) moottorilla, jolla on ajettu vain 1000 mailia. Näin ollen tällä satunnaismuuttujalla ei olisi muistittomuutta.

Ilman muistia

Sitä vastoin tarkastellaan tilannetta, joka ilmentää muistittomuutta. Kuvittele pitkä eteinen, jonka seinään on vuorattu tuhansia kassakaappeja. Jokaisessa tallelokerossa on valitsin, jossa on 500 asentoa, ja jokaiselle on annettu avauspaikka satunnaisesti. Kuvittele, että epäkeskinen ihminen kävelee käytävää pitkin ja pysähtyy kerran jokaisen tallelokeron kohdalle ja tekee yhden satunnaisen yrityksen avata se. Tässä tapauksessa voisimme määritellä satunnaismuuttujan X etsinnän elinkaareksi ilmaistuna "yrityksen lukumäärällä, jonka henkilön on tehtävä, ennen kuin hän avasi kassakaapin". Tässä tapauksessa E [ X ] on aina yhtä suuri kuin 500 riippumatta siitä, kuinka monta yritystä on jo tehty. Jokaisella uudella yrityksellä on (1/500) mahdollisuus onnistua, joten henkilö avaa todennäköisesti täsmälleen yhden tallelokeron joskus seuraavien 500 yrityksen aikana - mutta jokaisella uudella epäonnistumisella he eivät "edisty" kohti lopulta onnistumista. Vaikka turvallinen krakkausyksikkö epäonnistui juuri 499 kertaa (tai 4 999 kertaa), odotamme odottavamme vielä 500 yritystä, kunnes havaitsemme seuraavan menestyksen. Jos tämä henkilö sen sijaan keskittäisi yrityksensä yhteen tallelokeroon ja "muistaisi" aiemmat yritykset avata se, hänen olisi taattava avaavan kassakaappi enintään 500 yrityksen jälkeen (ja itse asiassa vasta alussa odottaa 250 yritystä, ei 500).

Tosielämän esimerkkejä muistittomuudesta ovat radioaktiivisen hajoamisen universaali laki , joka kuvaa aikaa tietyn radioaktiivisen hiukkasen hajoamiseen ja mahdollisesti aikaa uuden Bitcoin- lohkon löytämiseen , vaikka tämä on asetettu kyseenalaiseksi. Usein käytetty (teoreettinen) esimerkki muistittomuudesta jonoteoriassa on aika, jonka varastonpitäjän on odotettava ennen seuraavan asiakkaan saapumista.

Erillinen muistittomuus

Oletetaan, että X on erillinen satunnaismuuttuja, jonka arvot ovat joukossa {0, 1, 2, ...}. X: n todennäköisyysjakauma on muistiton, jos jollakin m: llä ja n : llä {0, 1, 2, ...} on

${\ displaystyle \ Pr (X> m+n \ mid X \ geq m) = \ Pr (X> n).}$

Tässä Pr ( X > m + n | X ≥ m ) tarkoittaa ehdollista todennäköisyyttä , että X: n arvo on suurempi kuin m + n, koska se on suurempi tai yhtä suuri kuin m .

Vain memoryless diskreetti jakaumat ovat geometrisia jakaumia , joka laskea, kuinka monta itsenäistä , samoin jakautuneita Bernoulli kokeita tarvitaan, jotta yksi "menestys". Toisin sanoen nämä ovat odotusajan jakaumat Bernoullin prosessissa .

Huomaa, että yllä oleva määritelmä koskee geometrisen jakauman määritelmää tuella {0, 1, 2, ...}. Vaihtoehtoinen parametrointi tuella {1, 2, ...} vastaa hieman erilaista määritelmää erilliselle muistittomuudelle: nimittäin${\ displaystyle \ Pr (X> m+n \ mid X> m) = \ Pr (X> n).}$

Usein väärinkäsitys

Kokeiden lukumäärän X todennäköisyysjakauman "muistettomuus" ensimmäiseen onnistumiseen asti tarkoittaa, että esim.

${\ displaystyle \ Pr (X> 40 \ X X \ geq 30) = \ Pr (X> 10).}$

Se ei tarkoita sitä, että

${\ displaystyle \ Pr (X> 40 \ X X \ geq 30) = \ Pr (X> 40),}$

mikä olisi totta vain, jos tapahtumat X > 40 ja X ≥ 30 olisivat riippumattomia, ts${\ displaystyle \ Pr (X \ geq 30) = 1.}$

Jatkuva muistittomuus

Oletetaan, että X on jatkuva satunnaismuuttuja, jonka arvot ovat ei-negatiivisissa reaalilukuissa [0, ∞) . X: n todennäköisyysjakauma on muistiton, jos meillä on jokin ei-negatiivinen reaaliluku t ja s

${\ displaystyle \ Pr (X> t+s \ mid X> t) = \ Pr (X> s).}$

Tämä on samanlainen kuin diskreetti versio, paitsi että s ja t on rajoitettu olemaan vain ei-negatiivisia reaalilukuja kokonaislukujen sijasta . Sen sijaan, että laskettaisiin esimerkiksi kokeiluja ensimmäiseen "menestykseen" asti, saatamme merkitä aikaa ensimmäisen puhelun saapumiseen kytkentäkeskukseen.

Muistiton jakauma on eksponentiaalinen jakauma

Ainoa muistiton jatkuva todennäköisyysjakauma on eksponentiaalinen jakauma , joten muistittomuus luonnehtii eksponentiaalista jakaumaa täysin kaikkien jatkuvien jakaumien välillä. Kiinteistö on johdettu seuraavalla todisteella:

Nähdäksesi tämän määritä ensin selviytymisfunktio , S , as

${\ displaystyle S (t) = \ Pr (X> t).}$

Huomaa, että S ( t ) pienenee silloin yksitoikkoisesti . Suhteesta

${\ displaystyle \ Pr (X> t+s \ mid X> t) = \ Pr (X> s)}$

ja ehdollisen todennäköisyyden määritelmästä seuraa, että

${\ displaystyle {\ frac {\ Pr (X> t+s)} {\ Pr (X> t)}} = \ Pr (X> s).}$

Tämä antaa toiminnallisen yhtälön (joka on seurausta muistittomuuden ominaisuudesta):

${\ displaystyle S (t+s) = S (t) S (s)}$

Tästä meillä on oltava esimerkiksi:

${\ displaystyle S (2) = S (1)^{2} \ quad}$

${\ displaystyle S (1) = S (1/2)^{2} {\ text {ie}} \ quad S (1/2) = S (1)^{1/2}.}$

Yleisesti:

${\ displaystyle S (a) = S (1)^{a}}$

Ainoa jatkuva funktio, joka täyttää tämän yhtälön minkä tahansa positiivisen, järkevän a: n suhteen, on:

${\ displaystyle S (a) = S (1)^{a} = e^{\ ln (S (1)) a} = e^{-\ lambda a},}$

missä ${\ displaystyle \ lambda =-\ ln (S (1)).}$

Siksi, koska S ( a ) on todennäköisyys ja sillä on oltava, minkä tahansa muistittomuustoiminnon on oltava eksponentiaalinen. ${\ displaystyle \ lambda> 0,}$

Toisin sanoen, S on yksitoikkoinen vähennysfunktio (eli silloin tällöin ) ${\ displaystyle x \ leq y,}$${\ displaystyle S (x) \ geq S (y).}$

Pelkästään funktionaalinen yhtälö merkitsee sitä, että S rajoittuu minkä tahansa tietyn luvun rationaalisiin monikertoihin on eksponentiaalinen funktio . Yhdessä sen tosiasian kanssa, että S on yksitoikkoinen, tämä tarkoittaa, että S koko sen alueella on eksponentiaalinen funktio.

Huomautuksia

Viitteet

• Feller, W. (1971) Johdatus todennäköisyysteoriaan ja sen sovelluksiin, osa II (2. painos), Wiley. Osa I.3 ISBN  0-471-25709-5