Lokalisointi (kommutatiivinen algebra) - Localization (commutative algebra)

Vuonna kommutatiivinen algebra ja algebrallinen geometria , lokalisointi on muodollisesti esitellä "nimittäjät" tietylle renkaan tai moduuli . Että on, se otetaan käyttöön uusi rengas / moduulin pois olemassa olevan renkaan / moduuli R , niin, että se koostuu fraktiot siten, että nimittäjä s kuuluu tiettyyn osajoukkoon S ja R . Jos S on joukko ei-nolla-elementtejä kokonaisalue , niin lokalisointi on alan jakeet : tässä tapauksessa yleistää rakentaminen rengas on rationaalilukuja renkaasta on kokonaislukuja . ${\ displaystyle {\ frac {m} {s}},}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

Tekniikasta on tullut perustavaa laatua, etenkin algebrallisessa geometriassa , koska se tarjoaa luonnollisen yhteyden nipputeoriaan . Itse asiassa termi lokalisointi on peräisin algebrallisesta geometriasta : jos R on funktion rengas, joka on määritelty jollekin geometriselle objektille ( algebralliselle lajikkeelle ) V , ja halutaan tutkia tätä lajiketta "paikallisesti" lähellä pistettä p , otetaan huomioon joukko S kaikista funktioista, jotka eivät ole nolla p: ssä ja lokalisoivat R : n suhteessa S: ään . Tuloksena oleva rengas sisältää tietoja V: n käyttäytymisestä lähellä p: tä , eikä sulje pois tietoja, jotka eivät ole "paikallisia", kuten V: n ulkopuolella olevien toimintojen nollia (vrt. Paikallisen renkaan esimerkki ). ${\ displaystyle S^{-1} R}$

Renkaan lokalisointi

Lokalisointi on kommutatiivinen rengas R , jonka moninkertaistavana suljettu joukko S on uusi rengas , jonka elementit ovat fraktioiden osoittajia on R ja nimittäjinä S . ${\ displaystyle S^{-1} R}$

Jos rengas on kokonaisalue rakentaminen yleistyy ja seuraa tarkasti kuin alalla fraktiot , ja, erityisesti, että on rationaalilukuja kuin alalla fraktioiden kokonaislukuja. Renkaiden, joissa on nollajakaja , rakenne on samanlainen, mutta vaatii enemmän hoitoa.

Monikertainen setti

Lokalisointi tehdään yleisesti ottaen huomioon renkaan R alkuaineiden multiplikatiivinen joukko S (jota kutsutaan myös kertojajoukkoksi tai kertolaskujärjestelmäksi ) , joka on R: n osajoukko, joka on suljettu kertomisen yhteydessä ja joka sisältää 1 .

Vaatimus, että S: n on oltava kertolasku, on luonnollinen, koska se tarkoittaa, että kaikki lokalisoinnin tuomat nimittäjät kuuluvat S: lle . Lokalisointi joukolla U, joka ei ole multiplikatiivisesti suljettu, voidaan myös määrittää ottamalla mahdollisiksi nimittäjiksi kaikki U : n elementtien tuotteet . Kuitenkin, sijainti on sama, saadaan käyttämällä moninkertaistavana suljettu joukko S kaikista tuotteista elementtejä U . Koska tämä usein tekee päättelystä ja merkinnöistä yksinkertaisempaa, on tavallista harkita vain lokalisointeja kertolaskuilla.

Esimerkiksi lokalisointi yksittäisen elementin s otetaan käyttöön jakeet muodossa , vaan myös tuotteet, kuten jakeet, kuten niin, nimittäjissä tulevat kuulumaan multiplikatiivisen joukko valtuuksien s . Siksi puhutaan yleensä "paikannuksesta elementin voimalla" eikä "elementin lokalisoinnista". ${\ displaystyle {\ tfrac {a} {s}},}$${\ displaystyle {\ tfrac {ab} {s^{2}}}.}$${\ displaystyle \ {1, s, s^{2}, s^{3}, \ ldots \}}$

Renkaan R paikannus kertolaskulla S on yleensä merkitty, mutta joissakin erityistapauksissa käytetään yleisesti muita merkintöjä: jos se koostuu yksittäisen elementin voimista, sitä merkitään usein, jos se on ensisijaisen ihanteen täydennys , niin sitä merkitään${\ displaystyle S^{-1} R,}$${\ displaystyle S = \ {1, t, t^{2}, \ pisteitä \}}$${\ displaystyle S^{-1} R}$${\ displaystyle R_ {t};}$${\ displaystyle S = R \ setminus {\ mathfrak {p}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle S^{-1} R}$${\ displaystyle R _ {\ mathfrak {p}}.}$

Tämän artikkelin loppuosassa otetaan huomioon vain lokalisoinnit kertolaskulla.

Integraaliset verkkotunnukset

Kun rengas R on kokonaisalue ja S ei sisällä 0 , rengas on alirengas on alalla fraktiot ja R . ${\ displaystyle S^{-1} R}$

Tarkemmin, se on alirengas alan murto-osien R , joka koostuu fraktiot siten, että tämä on alirengas koska summa ja tuote kahden elementit on sisään Tämä johtuu määritellään ominaisuus monikertaisesti joukko, joka tarkoittaa myös sitä, että tässä tapauksessa R on alaryhmä. Alla on esitetty, että tämä ei enää pidä paikkaansa yleensä, tyypillisesti silloin, kun S sisältää nollajakajia . ${\ displaystyle {\ tfrac {a} {s}}}$${\ displaystyle s \ in S.}$${\ displaystyle {\ tfrac {a} {s}}+{\ tfrac {b} {t}} = {\ tfrac {at+bs} {st}},}$${\ displaystyle {\ tfrac {a} {s}} \, {\ tfrac {b} {t}} = {\ tfrac {ab} {st}}}$${\ displaystyle S^{-1} R}$${\ displaystyle S^{-1} R.}$${\ displaystyle 1 = {\ tfrac {1} {1}} \ kaupungissa S^{-1} R.}$${\ displaystyle S^{-1} R.}$

Esimerkiksi desimaaliluvut ovat kokonaislukujen renkaan lokalisointi kymmenen potenssin kertolaskulla. Tässä tapauksessa koostuu järkevistä luvuista, jotka voidaan kirjoittaa muodossa, jossa n on kokonaisluku ja k on ei -negatiivinen kokonaisluku. ${\ displaystyle S^{-1} R}$${\ displaystyle {\ tfrac {n} {10^{k}}},}$

Yleinen rakentaminen

Yleisessä tapauksessa ongelmia ilmenee nolla divisors . Olkoon S on monikertaisesti asetettu kommutatiivinen rengas R . Jos kuva on sisällä ja jos as = 0 kanssa, niin täytyy olla ja siten joidenkin R: n ei -nollaelementtien on oltava nolla Seuraavassa rakenteessa on otettu tämä huomioon. ${\ displaystyle {\ tfrac {a} {1}}}$${\ displaystyle S^{-1} R}$${\ displaystyle a \ R: ssä,}$${\ displaystyle s \ in S,}$${\ displaystyle {\ tfrac {0} {s}} = {\ tfrac {as} {s}} = {\ tfrac {a} {1}},}$${\ displaystyle S^{-1} R.}$

Annetaan R ja S , kuten edellä, tarkastellaan ekvivalenssirelaatio siitä , että on määritetty , jos on olemassa sellainen, että${\ displaystyle R \ kertaa S}$${\ displaystyle (r_ {1}, s_ {1}) \ sim (r_ {2}, s_ {2})}$${\ displaystyle t \ in S}$${\ displaystyle t (s_ {1} r_ {2} -s_ {2} r_ {1}) = 0.}$

Lokalisointi määritellään tämän suhteen ekvivalenssiluokkien joukkoksi . Luokka ( r , s ) on merkitty tai So, yksi on silloin ja vain, jos on olemassa sellainen${\ displaystyle S^{-1} R}$${\ displaystyle {\ frac {r} {s}},}$ ${\ displaystyle r/s,}$${\ displaystyle s^{-1} r.}$${\ displaystyle {\ tfrac {r_ {1}} {s_ {1}}} = {\ tfrac {r_ {2}} {s_ {2}}}}$${\ displaystyle t \ in S}$${\ displaystyle t (s_ {1} r_ {2} -s_ {2} r_ {1}) = 0.}$

Lokalisointi on kommutoiva rengas lisäyksellä ${\ displaystyle S^{-1} R}$

${\ displaystyle {\ frac {r_ {1}} {s_ {1}}}+{\ frac {r_ {2}} {s_ {2}}} = {\ frac {r_ {1} s_ {2}+ r_ {2} s_ {1}} {s_ {1} s_ {2}}},}$

kertolasku

${\ displaystyle {\ frac {r_ {1}} {s_ {1}}} \, {\ frac {r_ {2}} {s_ {2}}} = {\ frac {r_ {1} r_ {2} } {s_ {1} s_ {2}}},}$

additiivinen identiteetti ja multiplikatiivinen identiteetti${\ displaystyle {\ tfrac {0} {1}},}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {1}}.}$

toiminto

${\ displaystyle r \ mapsto {\ frac {r} {1}}}$

määrittelee renkaan homomorfismi päässä osaksi , joka on injektio , jos ja vain jos S ei sisällä mitään nolla divisors. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle S^{-1} R,}$

Jos sitten on nollarengas , jonka ainutlaatuinen elementti on 0 . ${\ displaystyle 0 \ in S,}$${\ displaystyle S^{-1} R}$

Jos S on asetettu kaikkien säännöllinen elementtejä ja R (joka on elementtejä, jotka eivät ole nolla jakajia), kutsutaan koko rengas fraktioiden ja R . ${\ displaystyle S^{-1} R}$

Yleinen omaisuus

(Edellä määritelty) rengashomomorfismi täyttää yleisen ominaisuuden, joka kuvataan alla. Tämä luonnehtii isomorfismiin asti. Joten kaikki lokalisoinnin ominaisuudet voidaan johtaa yleisominaisuudesta riippumatta siitä, miten ne on rakennettu. Lisäksi monet tärkeät lokalisointiominaisuudet voidaan helposti päätellä yleisominaisuuksien yleisistä ominaisuuksista, kun taas niiden suora todiste voi olla yhdessä tekninen, suoraviivainen ja tylsä. ${\ displaystyle j \ kaksoispiste R \-S^{-1} R}$${\ displaystyle S^{-1} R}$

Yleinen ominaisuus, jonka tyydyttää, on seuraava: jos on rengashomomorfismi, joka yhdistää kaikki S : n elementit yksikköön (käänteinen elementti) T: ssä , on olemassa ainutlaatuinen rengashomomorfismi , joka${\ displaystyle j \ kaksoispiste R \-S^{-1} R}$${\ displaystyle f \ kaksoispiste R \ - T}$${\ displaystyle g \ kaksoispiste S^{-1} R \-T}$${\ displaystyle f = g \ circ j.}$

Luokkiteorian avulla tämä voidaan ilmaista sanomalla, että lokalisointi on funktio, joka jätetään unohtavan funktion viereen . Tarkemmin, anna ja olla luokat, joiden kohteet ovat pareja on kommutatiivinen rengas ja submonoid on, vastaavasti, multiplikatiivisen puoliryhmä tai ryhmä yksiköiden renkaan. Morphisms näistä ryhmistä ovat renkaan homomorfisuudella että kartoittaa submonoid ensimmäisen kohteen osaksi submonoid on toinen. Lopuksi olkoon unohtumaton functor, joka unohtaa, että parin toisen elementin elementit ovat käänteisiä. ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {D}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ kaksoispiste {\ mathcal {D}} \ - {\ mathcal {C}}}$

Sitten yleisominaisuuden teknisyys määrittelee bijision ${\ displaystyle f = g \ circ j}$

${\ displaystyle \ hom _ {\ mathcal {C}} ((R, S), {\ mathcal {F}} (T, U)) \ to \ hom _ {\ mathcal {D}} ((S^{ -1} R, j (S)), (T, U)).}$

Tämä voi tuntua melko hankalalta tavalta ilmaista yleismaailmallinen ominaisuus, mutta siitä on hyötyä monien ominaisuuksien näyttämisessä helposti käyttämällä sitä tosiasiaa, että kahden vasemman viereisen viereisen funktionaalinen koostumus on vasemmanpuoleinen viereinen funktio.

Esimerkkejä

• Jos on rengas kokonaislukuja , ja sitten on alalla on rationaalilukuja .${\ displaystyle R = \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle S = \ mathbb {Z} \ setminus \ {0 \},}$${\ displaystyle S^{-1} R}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$
• Jos R on kokonaisalue , ja sitten on alalla fraktiot ja R . Edellinen esimerkki on tämän tapauksen erityistapaus.${\ displaystyle S = R \ setminus \ {0 \},}$${\ displaystyle S^{-1} R}$
• Jos R on kommutatiivinen rengas , ja jos S on osajoukko sen elementit, jotka eivät ole nolla jakajia , niin on yhteensä rengas fraktioiden ja R . Tässä tapauksessa S on suurin kerroinjoukko siten, että homomorfismi on injektiivinen. Edellinen esimerkki on tämän tapauksen erityistapaus.${\ displaystyle S^{-1} R}$${\ displaystyle R \-S^{-1} R}$
• Jos x on kommutatiivisen renkaan R osa ja voidaan sitten tunnistaa (on kanonisesti isomorfinen ) (Todiste koostuu osoittamalla, että tämä rengas täyttää edellä mainitun yleisominaisuuden.) Tällaisella lokalisoinnilla on keskeinen rooli affine -malli .${\ displaystyle S = \ {1, x, x^{2}, \ pisteitä \},}$${\ displaystyle S^{-1} R}$${\ displaystyle R [x^{-1}] = R [s]/(xs-1).}$
• Jos on alkuideaali on kommutatiivinen rengas R , The joukko täydennys on vuonna R on kerrottavaa setti (jota määritelmä alkuideaali). Rengas on paikallinen rengas, joka on yleisesti merkitty ja kutsutaan paikallisen renkaan R on Tällainen lokalisointi on olennainen kommutatiivinen algebran , koska monet ominaisuudet kommutatiivinen rengas voidaan lukea sen paikallinen renkaat. Tällaista omaisuutta kutsutaan usein paikalliseksi omaisuudeksi . Esimerkiksi rengas on säännöllinen silloin ja vain, jos kaikki sen paikalliset renkaat ovat säännöllisiä.${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ ${\ displaystyle S = R \ setminus {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle S^{-1} R}$${\ displaystyle R _ {\ mathfrak {p}},}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}.}$

Renkaan ominaisuudet

Lokalisointi on rikas rakenne, jolla on monia hyödyllisiä ominaisuuksia. Tässä osassa otetaan huomioon vain renkaisiin ja yksittäiseen lokalisointiin liittyvät ominaisuudet. Ominaisuudet koskevat ihanteet , moduuleja tai useita multiplicative sarjaa pidetään muissa osissa.

• ${\ displaystyle S^{-1} R = 0}$ jos ja vain jos S sisältää 0 .
• Rengas homomorfismi on injektio, jos ja vain jos S ei sisällä mitään nolla divisors .${\ displaystyle R \-S^{-1} R}$
• Rengas homomorfismi on epimorfismi että luokan renkaista , joka ei ole surjective yleensä.${\ displaystyle R \-S^{-1} R}$
• Rengas on litteä R -moduuli (katso lisätietoja kohdasta § Moduulin lokalisointi ).${\ displaystyle S^{-1} R}$
• Jos on täydennys on alkuideaali , niin merkitään on paikallinen rengas ; eli sillä on vain yksi maksimaalinen ideaali .${\ displaystyle S = R \ setminus {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle S^{-1} R,}$${\ displaystyle R _ {\ mathfrak {p}},}$

Kiinteistöt siirretään toiseen osaan

• Lokalisointi työmatkoja, joissa on rajallisia summia, tuotteita, risteyksiä ja radikaaleja; esimerkiksi jos n viitata radikaali ihanteellisen I in R , niin${\ displaystyle {\ sqrt {I}}}$

${\ displaystyle {\ sqrt {I}} \ cdot S^{-1} R = {\ sqrt {I \ cdot S^{-1} R}} \ ,.}$

Erityisesti R on vähentää , jos ja vain jos sen koko rengas fraktioiden pienenee.

• Olkoon R on olennainen domeenin alalla fraktioiden K . Sitten sen paikallistamista ensisijaisena ideaalina voidaan pitää K: n alarenkaana . Lisäksi,${\ displaystyle R _ {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$

${\ displaystyle R = \ bigcap _ {\ mathfrak {p}} R _ {\ mathfrak {p}} = \ bigcap _ {\ mathfrak {m}} R _ {\ mathfrak {m}}}$

jossa ensimmäinen risteys on kaikkien tärkeimpien ihanteiden ja toinen maksimaalisten ihanteiden yläpuolella.

• On bijektio välillä joukko alkuideaali of S ^-1 R ja joukko alkuideaali on R , joka eivät leikkaa S . Tämä bijektio indusoi tietyn homomorfismi R → S  ^-1 R .

Kerroinjoukon kyllästys

Antaa olla kertolasku. Kyllästyminen ja on asetettu ${\ displaystyle S \ subseteq R}$ ${\ displaystyle {\ hattu {S}}}$${\ displaystyle S}$

${\ displaystyle {\ hat {S}} = \ {r \ R \ kaksoispiste \ on s \ R, rs \ S \}.}$

Kerroinjoukko S on kyllästetty, jos se on yhtä suuri kuin sen kylläisyys, eli jos tai vastaavasti, jos olettaa, että r ja s ovat S: ssä . ${\ displaystyle {\ hat {S}} = S}$${\ displaystyle rs \ in S}$

Jos S ei kyllästy, ja sitten on kerrottava käänteisluku on kuva r on siis kuvien elementit ovat käännettävissä sisään ja yleinen ominaisuus tarkoittaa, että ja ovat kanonisesti isomorfinen , että on, on ainutlaatuinen isomorphism välillä ne, jotka korjaavat R: n elementtien kuvat . ${\ displaystyle rs \ in S,}$${\ displaystyle {\ frac {s} {rs}}}$${\ displaystyle S^{-1} R.}$${\ displaystyle {\ hattu {S}}}$${\ displaystyle S^{-1} R,}$${\ displaystyle S^{-1} R}$${\ displaystyle {\ hattu {S}} {}^{-1} R}$

Jos S ja T ovat kaksi multiplikatiivista joukkoa, niin ja ovat isomorfisia silloin ja vain, jos niillä on sama kylläisyys, tai vastaavasti, jos s kuuluu yhteen kertolaskusta, on olemassa sellainen, että st kuuluu toiseen. ${\ displaystyle S^{-1} R}$${\ displaystyle T^{-1} R}$${\ displaystyle t \ in R}$

Tyydyttyneitä kertolaskuja ei käytetä laajasti nimenomaisesti, koska joukon kylläisyyden varmistamiseksi on tunnettava kaikki renkaan yksiköt .

Terminologia selitetään kontekstissa

Termi lokalisointi on peräisin nykyaikaisen matematiikan yleisestä suuntauksesta tutkia geometrisia ja topologisia esineitä paikallisesti , eli niiden käyttäytymisen suhteen kunkin pisteen lähellä. Esimerkkejä tästä suuntauksesta ovat jakotukien , bakteerien ja kasojen peruskäsitteet . On algebrallinen geometria , affiini algebrallinen joukko voidaan identifioida osamäärä rengas on polynomin renkaan sisään siten, että ne kohdat algebrallinen joukko vastaa suurin maksimaalinen ihanteita renkaan (tämä on Hilbertin Nullstellensatz ). Tämä vastaavuus on yleistetty, jolloin joukko alkuideaali on kommutatiivinen rengas topologinen avaruus varustettu Zariski topologia ; tätä topologista tilaa kutsutaan renkaan spektriksi .

Tässä yhteydessä kertojajoukon lokalisointia voidaan pitää renkaan spektrin rajoittumisena alkioiden ihanteisiin ( pisteinä ), jotka eivät leikkaa kertojajoukkoa.

Yleisemmin tarkastellaan kahta lokalisointiluokkaa:

• Multiplikatiivisen joukko on täydennys on alkuideaali renkaan R . Tässä tapauksessa puhutaan "lokalisoinnista " tai "lokalisoinnista jossain vaiheessa". Tuloksena oleva rengas, joka on merkitty, on paikallinen rengas ja se on alkioiden renkaan algebrallinen analogi .${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle R _ {\ mathfrak {p}}}$
• Joukon kertolasku koostuu renkaan R elementin t kaikista tehoista . Tuloksena oleva rengas on yleisesti merkitty ja sen spektri on Zariski -avoin joukko tärkeimpiä ihanteita, jotka eivät sisällä t: tä . Lokalisointi on siis analogia topologisen tilan rajoittamiselle pisteen naapurustolle (jokaisella ensisijaisella ihanteella on naapurustoperusta, joka koostuu tämän muotoisista Zariski -avoimista joukkoista).${\ displaystyle R_ {t},}$

In lukuteoria ja algebrallinen topologia , kun työskennellään yli rengas on kokonaislukuja , yksi viittaa ominaisuus suhteessa kokonaisluvun n ominaisuutena todellinen nimellä n tai poissa päässä n , riippuen lokalisointi että pidetään. " Pois n " tarkoittaa, että omaisuus pidetään jälkeen lokalisointi valtuuksia n , ja jos p on alkuluku , "at p " tarkoittaa, että omaisuus pidetään jälkeen lokalisointi on alkuideaali . Tämä terminologia voidaan selittää sillä, että jos p on alkuluku, lokalisoinnin nollasta poikkeavat pääideaalit ovat joko yksittäisjoukko {p} tai sen täydennys alkulukujoukossa. ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle p \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

Ihanteiden lokalisointi ja kyllästyminen

Olkoon S multiplikatiivinen joukko kommutatiivisessa renkaassa R ja olkoon kanonisen renkaan homomorfismi. Annettu ideaali I in R , anna niiden murtojen joukko, joiden osoittaja on I: ssä . Tämä on ihanteellinen ja joka on luotu j ( I ) , ja jota kutsutaan lokalisointi on I mukaan S . ${\ displaystyle j \ kaksoispiste R \-S^{-1} R}$ ${\ displaystyle S^{-1} I}$${\ displaystyle S^{-1} R}$${\ displaystyle S^{-1} R,}$

Kyllästyminen ja I mukaan S on se on ihanteellinen R , joka voi myös määritellä joukko elementtejä niin, että on olemassa kanssa${\ displaystyle j^{-1} (S^{-1} I);}$${\ displaystyle r \ in R}$${\ displaystyle s \ in S}$${\ displaystyle sr \ in I.}$

Monet ihanteiden ominaisuudet joko säilytetään kylläisyydellä ja lokalisoinnilla tai ne voidaan luonnehtia yksinkertaisemmilla lokalisointi- ja kylläisyysominaisuuksilla. Seuraavassa S on kertolasku renkaassa I ja I ja J ovat R: n ihanteita ; ideaalin I kylläisyys kertolaskulla S on merkitty tai, kun kertolasku S on selvä kontekstista,${\ displaystyle \ operaattorinimi {sat} _ {S} (I),}$${\ displaystyle \ operaattorinimi {sat} (I).}$

• ${\ displaystyle 1 \ in S^{-1} I \ quad \ iff \ quad 1 \ in \ operatorname {sat} (I) \ quad \ iff \ quad S \ cap I \ neq \ emptyyset}$
• ${\ displaystyle I \ subseteq J \ quad \ merkitsee \ quad S^{-1} I \ subseteq S^{-1} J \ quad {\ text {and}} \ quad \ operatorname {sat} (I) \ subseteq \ operaattorinimi {sat} (J)}$
  (tämä ei aina päde tiukkoihin sulkeutumisiin )
• ${\ displaystyle S^{-1} (I \ cap J) = S^{-1} I \ cap S^{-1} J, \ qquad \ operaattorinimi {sat} (I \ cap J) = \ operaattorinimi { sat} (I) \ cap \ operaattorinimi {sat} (J)}$
• ${\ displaystyle S^{-1} (I+J) = S^{-1} I+S^{-1} J, \ qquad \ operaattorinimi {sat} (I+J) = \ operaattorinimi {sat} ( I)+\ operaattorinimi {sat} (J)}$
• ${\ displaystyle S^{-1} (I \ cdot J) = S^{-1} I \ cdot S^{-1} J, \ qquad \ operaattorinimi {sat} (I \ cdot J) = \ operatorname { sat} (I) \ cdot \ operaattorinimi {sat} (J)}$
• Jos on ensisijainen ideaali, niin että se on ensisijainen ideaali ja ; jos risteys on tyhjä, niin ja${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} \ cap S = \ tyhjäsarja,}$${\ displaystyle S^{-1} {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} = \ operaattorinimi {sat} ({\ mathfrak {p}})}$${\ displaystyle S^{-1} {\ mathfrak {p}} = S^{-1} R}$${\ displaystyle \ operaattorinimi {sat} ({\ mathfrak {p}}) = R.}$

Moduulin lokalisointi

Olkoon R on kommutatiivinen rengas , S on multiplikatiivinen joukko on R , ja M olla R - moduuli . Lokalisaatio moduuli M , jonka S , jota merkitään S ^-1 M , on S ^-1 R- -moduulista, joka on rakennettu täsmälleen samalla tavalla kuin lokalisointi R , paitsi että numerators fraktioiden kuuluvat M . Toisin sanoen, kuten joukko, se koostuu ekvivalenssiluokkia , jota merkitään , parien ( m , s ) , missä ja ja kaksi paria ( m , s ) ja ( n , t ) ovat yhtä jos on olemassa elementti u on S , kuten että ${\ displaystyle {\ frac {m} {s}}}$${\ displaystyle m \ M: ssä}$${\ displaystyle s \ in S,}$

${\ displaystyle u (sn-tm) = 0.}$

Lisäys ja skalaarinen kertolasku määritellään tavanomaisille murto -osille (seuraavassa kaavassa ja ): ${\ displaystyle r \ in R,}$ ${\ displaystyle s, t \ in S,}$${\ displaystyle m, n \ in M}$

${\ displaystyle {\ frac {m} {s}}+{\ frac {n} {t}} = {\ frac {tm+sn} {st}},}$

${\ displaystyle {\ frac {r} {s}} {\ frac {m} {t}} = {\ frac {rm} {st}}.}$

Lisäksi S ⁻¹ M on myös R -moduuli, jossa on skalaarinen kertolasku

${\ displaystyle r \, {\ frac {m} {s}} = {\ frac {r} {1}} {\ frac {m} {s}} = {\ frac {rm} {s}}.}$

On helppo tarkistaa, että nämä operaatiot ovat hyvin määriteltyjä, toisin sanoen ne antavat saman tuloksen fraktioiden edustajien eri valinnoille.

Moduulin lokalisointi voidaan määritellä vastaavasti käyttämällä tensorituotteita :

${\ displaystyle S^{-1} M = S^{-1} R \ otimes _ {R} M.}$

Todistus vastaavuudesta ( kanoniseen isomorfismiin asti ) voidaan tehdä osoittamalla, että nämä kaksi määritelmää täyttävät saman yleisominaisuuden.

Moduulin ominaisuudet

Jos M on submodule olevan R -moduulista N , ja S on monikertaisesti asetettu R , yksi on Tämä tarkoittaa sitä, että jos on injektiivinen moduuli homomorfismin , sitten ${\ displaystyle S^{-1} M \ subseteq S^{-1} N.}$${\ displaystyle f \ kaksoispiste M \ - N}$

${\ displaystyle S^{-1} R \ otimes _ {R} f: \ quad S^{-1} R \ otimes _ {R} M \ to S^{-1} R \ otimes _ {R} N }$

on myös injektiivinen homomorfismi.

Koska tensoritulo on oikea tarkka functor , tämä merkitsee sitä, että lokalisointi S kartat tarkka sekvenssit ja R -modules tarkkuuden sekvenssit -modules. Toisin sanoen, lokalisointi on tarkka functor , ja on tasainen R -moduulista . ${\ displaystyle S^{-1} R}$${\ displaystyle S^{-1} R}$

Tämä tasaisuus ja se, että lokalisointi ratkaisee yleisominaisuuden, tekee lokalisoinnista monia moduulien ja renkaiden ominaisuuksia ja on yhteensopiva muiden yleisominaisuuksien ratkaisujen kanssa. Esimerkiksi luonnollinen kartta

${\ displaystyle S^{-1} (M \ otimes _ {R} N) \ to S^{-1} M \ otimes _ {S^{-1} R} S^{-1} N}$

on isomorfismi. Jos on rajallisesti esitetty moduuli , luonnollinen kartta ${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle S^{-1} \ operaattorinimi {Hom} _ {R} (M, N) \ operaattorinimelle {Hom} _ {S^{-1} R} (S^{-1} M, S ^{-1} N)}$

on myös isomorfismi.

Jos moduuli M on äärellisen syntyy yli R , yksi on

${\ displaystyle S^{-1} (\ operaattorinimi {Ann} _ {R} (M)) = \ operaattorinimi {Ann} _ {S^{-1} R} (S^{-1} M),}$

jossa tarkoittaa tuhoajaa , se on ideaali renkaan elementeistä, jotka yhdistävät kaikki moduulin elementit. Erityisesti, ${\ displaystyle \ operaattorinimi {Ann}}$

${\ displaystyle S^{-1} M = 0 \ quad \ iff \ quad S \ cap \ operaattorinimi {Ann} _ {R} (M) \ neq \ emptyyset,}$

eli jos joillekin${\ displaystyle tM = 0}$${\ displaystyle t \ in S.}$

Lokalisointi alkuvaiheessa

Määritelmä alkuideaali merkitsee välittömästi, että täydennys on alkuideaali vuonna kommutatiivinen rengas R on kerrottavaa asetettu. Tässä tapauksessa lokalisointi on yleisesti merkitty Rengas on paikallinen rengas , jota kutsutaan R : n paikalliseksi renkaaksi. Tämä tarkoittaa, että se on renkaan ainutlaatuinen maksimaalinen${\ displaystyle S = R \ setminus {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle S^{-1} R}$${\ displaystyle R _ {\ mathfrak {p}}.}$${\ displaystyle R _ {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}.}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} \, R _ {\ mathfrak {p}} = {\ mathfrak {p}} \ otimes _ {R} R _ {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle R _ {\ mathfrak {p}}.}$

Tällaiset lokalisoinnit ovat perustavanlaatuisia kommutatiiviselle algebralle ja algebralliselle geometrialle useista syistä. Yksi on se, että paikallisia renkaita on usein helpompi tutkia kuin yleisiä kommutatiivisia renkaita, erityisesti Nakayama -lemman vuoksi . Tärkein syy on kuitenkin se, että monet ominaisuudet ovat totta renkaalle silloin ja vain, jos ne ovat totta kaikille sen paikallisille renkaille. Esimerkiksi rengas on säännöllinen silloin ja vain, jos kaikki sen paikalliset renkaat ovat tavallisia paikallisia renkaita .

Ominaisuudet rengas, joka voidaan karakterisoida sen paikallinen renkaat kutsutaan paikallisia ominaisuuksia , ja ne ovat usein algebrallinen vastine geometrisen paikallisia ominaisuuksia on algebrallinen lajikkeita , jotka ovat ominaisuuksia, joita voidaan tutkia rajoitusta pienestä naapurustosta jokaisen pisteen lajikkeen . (On olemassa toinen käsite paikallisesta omaisuudesta, joka viittaa Zariski -avoimien joukkojen lokalisointiin; katso § Lokalisointi Zariski -avoimiin joukkoihin alla.)

Monet paikalliset ominaisuudet ovat seurausta siitä, että moduuli

${\ displaystyle \ bigoplus _ {\ mathfrak {p}} R _ {\ mathfrak {p}}}$

on uskollisesti tasainen moduuli , kun suora summa otetaan yli kaikkien alkuideaali (tai yli kaikkien maksimaalinen ihanteet ja R ). Katso myös Uskollisesti tasainen laskeutuminen .

Esimerkkejä paikallisista kiinteistöistä

Ominaisuus P , joka R -moduulista M on paikallinen ominaisuus , jos seuraavat ehdot ovat vastaavat:

• P pätee M: lle .
• P pätee kaikkiin, missä on R: n ensisijainen ideaali .${\ displaystyle M _ {\ mathfrak {p}},}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$
• P pätee kaikkiin, joissa on R: n maksimi -ideaali .${\ displaystyle M _ {\ mathfrak {m}},}$${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$

Seuraavat ovat paikallisia kiinteistöjä:

• M on nolla.
• M on vääntövapaa (jos R on kommutaatiotunnus ).
• M on litteä moduuli .
• M on käännettävissä moduuli (tapauksessa, jossa R on kommutatiivinen domeenin, ja M on submodule on alalla fraktiot ja R ).
• ${\ displaystyle f \ kaksoispiste M \ - N}$on injektiivinen (tai surjektiivinen), jossa N on toinen R -moduuli.

Toisaalta osa kiinteistöistä ei ole paikallisia. Esimerkiksi, ääretön suora tuote on kenttiä ei ole kokonaisalue eikä noetherin rengas , kun taas kaikki sen paikalliset renkaat ovat kenttiä, ja siksi Noetherian kokonaisalue.

Lokalisointi avoimiin Zariski -sarjoihin

Ei-kommutoiva tapaus

Paikallistamisen kuin commutative renkaat on vaikeampaa. Vaikka lokalisointi on olemassa kaikille mahdollisille yksiköille S , se voi olla erilainen kuin edellä kuvattu. Eräs ehto, joka varmistaa, että lokalisointi toimii hyvin, on Malmin tila .

Yksi tapaus ei-kommutoiville renkaille, joissa lokalisointi on selvä etu, on differentiaalisten operaattoreiden renkaat. Se on tulkintaan, esimerkiksi vierekkäisten muodollinen käänteinen D ^-1 varten erilaistumista operaattori D . Tämä tehdään monissa yhteyksissä differentiaaliyhtälöiden menetelmissä . Siitä on nyt olemassa suuri matemaattinen teoria, nimeltään mikrolokalisointi , joka yhdistää lukuisiin muihin haaroihin. Mikro- tunniste on tehdä yhteyksiä Fourier teoriaa , erityisesti.

Katso myös

• Paikallinen analyysi
• Luokan lokalisointi
• Topologisen tilan lokalisointi

Viitteet

Ulkoiset linkit

• Lokalisointi alkaen MathWorld .