Integrointitekijä - Integrating factor

On matematiikka , integrointi tekijä on funktio , joka on valittu helpottamaan ratkaisemiseen tietyn yhtälö, johon eroja . Sitä käytetään yleisesti tavallisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen , mutta sitä käytetään myös monimuuttujalaskennassa, kun kertominen integrointikertoimen avulla mahdollistaa epätarkan differentiaalin tekemisen tarkkaa differentiaalia varten (joka voidaan sitten integroida skalaarikentän muodostamiseksi ). Tämä on erityisen hyödyllistä termodynamiikassa, jossa lämpötilasta tulee integroiva tekijä, joka tekee entropiasta tarkan eron.

Käyttää

Integroiva tekijä on mikä tahansa lauseke, jolla differentiaaliyhtälö kerrotaan integraation helpottamiseksi. Esimerkiksi epälineaarinen toisen kertaluvun yhtälö

{\ displaystyle {\ frac {d^{2} y} {dt^{2}}} = Ei^{2/3}}

myöntää integroivana tekijänä: ${\ texttyle {\ frac {dy} {dt}}}$

{\ displaystyle {\ frac {d^{2} y} {dt^{2}}} {\ frac {dy} {dt}} = Ei^{2/3} {\ frac {dy} {dt}} .}

Integroimiseksi huomaa, että yhtälön molemmat puolet voidaan ilmaista johdannaisina siirtymällä taaksepäin ketjusäännön mukaisesti :

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ vasen ({\ frac {1} {2}} \ vasen ({\ frac {dy} {dt}} \ oikea)^{2} \ oikea) = {\ frac {d} {dt}} \ vasen (A {\ frac {3} {5}} y^{5/3} \ oikea).}

Siksi,

{\ displaystyle \ vasen ({\ frac {dy} {dt}} \ oikea)^{2} = {\ frac {6A} {5}} y^{5/3}+C_ {0}.}

missä on vakio. ${\ displaystyle C_ {0}}$

Tämä lomake voi olla hyödyllisempi sovelluksesta riippuen. Suorittamalla erottaminen muuttujia antaa

{\ displaystyle \ int _ {y (0)}^{y (t)} {\ frac {dy} {\ sqrt {{\ frac {6A} {5}} y^{5/3}+C_ {0 }}}} = t}

Tämä on epäsuora ratkaisu, joka sisältää ei -olennaisen integraalin . Tätä samaa menetelmää käytetään yksinkertaisen heilurin jakson ratkaisemiseen .

Ensimmäisen asteen lineaaristen tavallisten differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen

Integroivat tekijät ovat hyödyllisiä ratkaisettaessa tavallisia differentiaaliyhtälöitä, jotka voidaan ilmaista muodossa

{\ displaystyle y '+P (x) y = Q (x)}

Perusajatuksena on löytää jokin funktio, esimerkiksi "integrointitekijä", jonka voimme kertoa differentiaaliyhtälöllämme saadaksemme vasemman puolen yhteisen johdannaisen alle. Edellä esitetyn kanonisen ensimmäisen kertaluvun lineaarisen differentiaaliyhtälön integrointikerroin on . ${\ displaystyle M (x)}$ ${\ displaystyle e^{\ int P (x) \, dx}}$

Huomaa, että mielivaltainen vakio ei ole tarpeen sisällyttää integraaliin tai absoluuttiset arvot, jos integraali sisältää logaritmin. Ensinnäkin tarvitsemme vain yhden integrointitekijän yhtälön ratkaisemiseksi, ei kaikkia mahdollisia; toiseksi tällaiset vakiot ja absoluuttiset arvot poistuvat, vaikka ne sisällytettäisiin. Absoluuttisille arvoille tämä voidaan nähdä kirjoittamalla , missä viitataan merkkitoimintoon , joka on vakio tietyltä aikaväliltä, jos se on jatkuva. Kuten määrittelemätön, kun ja logaritmi antiderivaatiossa näkyy vain, kun alkuperäiseen funktioon sisältyi logaritmi tai vastavuoroinen (kumpikaan ei ole määritetty 0: lle), tällainen aikaväli on ratkaisumme voimassaoloaika. ${\ displaystyle P (x)}$ ${\ displaystyle | f (x) | = f (x) \ operaattorinimi {sgn} f (x)}$ ${\ displaystyle \ operaattorinimi {sgn}}$ ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ displaystyle \ ln | f (x) |}$ ${\ displaystyle f (x) = 0}$

Tämän johtamiseksi olkoon ensimmäisen asteen lineaarisen differentiaaliyhtälön integrointikerroin siten, että kertominen muuntaa osittaisen derivaatan kokonaisjohdannaiseksi, sitten: ${\ displaystyle M (x)}$ ${\ displaystyle M (x)}$

${\ displaystyle M (x) {\ underet {\ text {partical derivative}} {(\ underbrace {y '+P (x) y})}}}$
${\ displaystyle M (x) y '+M (x) P (x) y}$
${\ displaystyle \ underbrace {M (x) y '+M' (x) y} _ {\ text {yhteensä johdannainen}}}$

Menee vaiheesta 2 vaiheen 3 edellyttää, että , joka on erotettavissa differentiaaliyhtälön , jonka ratkaisu saannot suhteen : ${\ displaystyle M (x) P (x) = M '(x)}$ ${\ displaystyle M (x)}$ ${\ displaystyle P (x)}$

${\ displaystyle M (x) P (x) = M '(x)}$
${\ displaystyle P (x) = {\ frac {M '(x)} {M (x)}}}$
${\ displaystyle \ int P (x) \, dx = \ ln M (x)+c}$
${\ displaystyle M (x) = Ce^{\ int P (x) \, dx}}$

Todentaa, kertomalla saadaan ${\ displaystyle M (x)}$

{\ displaystyle M (x) y '+P (x) M (x) y = Q (x) M (x)}

Soveltamalla tuotesääntöä päinvastoin näemme, että vasen puoli voidaan ilmaista yhtenä johdannaisena vuonna ${\ displaystyle x}$

{\ displaystyle M (x) y '+P (x) M (x) y = M (x) y'+M '(x) y = {\ frac {d} {dx}} (M (x) y )}

Käytämme tätä tosiasiaa yksinkertaistamaan ilmaisua

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (M (x) y \ right) = Q (x) M (x)}

Integroi molemmat puolet suhteessa ${\ displaystyle x}$

{\ displaystyle Ce^{\ int P (x) \, dx} y = \ int Q (x) Ce^{\ int P (x) \, dx} dx}

{\ displaystyle e^{\ int P (x) \, dx} y = (\ int Q (x) e^{\ int P (x) \, dx} \, dx)+C}

missä on vakio. ${\ displaystyle C}$

Eksponentiaalin siirtäminen oikealle puolelle yleinen ratkaisu tavalliseen differentiaaliyhtälöön on:

{\ displaystyle y = e^{-\ int P (x) \, dx} (\ int Q (x) e^{\ int P (x) \, dx} \, dx)+Ce^{-\ int P (x) \, dx}}

Kun kyseessä on homogeenisen differentiaaliyhtälön , ja yleinen ratkaisu tavallinen differentiaaliyhtälö on: ${\ displaystyle Q (x) = 0}$

{\ displaystyle y = Ce^{-\ int P (x) \, dx}}

.

harkitse esimerkiksi differentiaaliyhtälöä

{\ displaystyle y '-{\ frac {2y} {x}} = 0.}

Sen voimme nähdä tässä tapauksessa ${\ displaystyle P (x) = {\ frac {-2} {x}}}$

{\ displaystyle M (x) = e^{\ int _ {1}^{x} P (x) dx}}

{\ displaystyle M (x) = e^{\ int _ {1}^{x} {\ frac {-2} {x}} \, dx} = e^{-2 \ ln x} = {\ vasen (e^{\ ln x} \ oikea)}^{-2} = x^{-2}}

{\ displaystyle M (x) = {\ frac {1} {x^{2}}}.}

Kertomalla molemmat puolet saamme ${\ displaystyle M (x)}$

{\ displaystyle {\ frac {y '} {x^{2}}}-{\ frac {2y} {x^{3}}} = 0}

Yllä oleva yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon

{\ displaystyle {\ frac {d (x^{-2} y)} {dx}} = 0}

Integroimalla molemmat puolet x: n suhteen saadaan

{\ displaystyle x^{-2} y = C}

tai

{\ displaystyle y = Cx^{2}}

Sama tulos voidaan saavuttaa käyttämällä seuraavaa lähestymistapaa

{\ displaystyle {\ frac {y '} {x^{2}}}-{\ frac {2y} {x^{3}}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {y'x^{3} -2x^{2} y} {x^{5}}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {x (y'x^{2} -2xy)} {x^{5}}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {y'x^{2} -2xy} {x^{4}}} = 0.}

Käännetään osamäärä sääntö on antanut

{\ displaystyle \ left ({\ frac {y} {x^{2}}} \ right) '= 0}

tai

{\ displaystyle {\ frac {y} {x^{2}}} = C,}

tai

{\ displaystyle y = Cx^{2}.}

missä on vakio. ${\ displaystyle C}$

Toisen asteen lineaaristen tavallisten differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen

Menetelmää kertoimien integroimiseksi ensimmäisen asteen yhtälöille voidaan luonnollisesti laajentaa myös toisen asteen yhtälöihin. Päätavoite ensimmäisen asteen yhtälöiden ratkaisemisessa oli löytää integroiva tekijä siten, että kertomalla siitä saadaan , minkä jälkeen myöhempi integrointi ja jakaminen tuottavat . Toisen asteen lineaariset differentiaaliyhtälöt, jos haluamme toimia integroivana tekijänä, niin ${\ displaystyle M (x)}$ ${\ displaystyle y '+p (x) y = h (x)}$ ${\ displaystyle (M (x) y) '= M (x) h (x)}$ ${\ displaystyle M (x)}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle M (x) = e^{\ int p (x) \, dx}}$

{\ displaystyle (M (x) y) '' = M (x) \ vasen (y ''+2p (x) y '+\ vasen (p (x)^{2}+p' (x) \ oikea) ) y \ oikea) = M (x) h (x)}

Tämä merkitsee sitä, että toisen kertaluvun yhtälön on oltava täsmälleen siinä muodossa , että integrointikerrointa voidaan käyttää. ${\ displaystyle y ''+2p (x) y '+\ left (p (x)^{2}+p' (x) \ right) y = h (x)}$

Esimerkki 1

Esimerkiksi differentiaaliyhtälö

{\ displaystyle y ''+2xy '+\ left (x^{2} +1 \ right) y = 0}

voidaan ratkaista tarkasti integroivilla tekijöillä. Sopiva voidaan päätellä tutkimalla termiä. Tässä tapauksessa , niin . Tutkittuaan termiä näemme, että meillä todella on , joten kerromme kaikki termit integroivalla tekijällä . Tämä antaa meille ${\ displaystyle p (x)}$ ${\ displaystyle y '}$ ${\ displaystyle 2p (x) = 2x}$ ${\ displaystyle p (x) = x}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle p (x)^{2}+p '(x) = x^{2} +1}$ ${\ displaystyle e^{\ int x \, dx} = e^{x^{2}/2}}$

{\ displaystyle e^{x^{2}/2} y ''+2e^{x^{2}/2} p (x) y '+e^{x^{2}/2} \ left ( p (x)^{2}+p '(x) \ oikea) y = 0}

joka voidaan järjestää uudelleen antamaan

{\ displaystyle \ left (e^{x^{2}/2} y \ right) '' = 0}

Integrointi tuottaa kaksi kertaa tuottoa

{\ displaystyle e^{x^{2}/2} y = c_ {1} x+c_ {2}}

Jakamalla integrointikerroin saadaan:

{\ displaystyle y = {\ frac {c_ {1} x+c_ {2}} {e^{x^{2}/2}}}}

Esimerkki 2

Hieman vähemmän ilmeinen toisen asteen integrointitekijöiden soveltaminen sisältää seuraavan differentiaaliyhtälön:

{\ displaystyle y ''+2 \ cot (x) y'-y = 1}

Ensi silmäyksellä tämä ei selvästikään ole siinä muodossa, jota tarvitaan toisen asteen integroiviin tekijöihin. Meillä on termi edessä, mutta ei edessä . Kuitenkin, ${\ displaystyle 2p (x)}$ ${\ displaystyle y '}$ ${\ displaystyle p (x)^{2}+p '(x)}$ ${\ displaystyle y}$

{\ displaystyle p (x) ^{2}+p '(x) = \ cot ^{2} (x)-\ csc ^{2} (x)}

ja pythagoralaisesta identiteetistä, joka liittyy kotangenttiin ja kosekanttiin,

{\ displaystyle \ pinnasänky ^{2} (x)-\ csc ^{2} (x) =-1}

joten meillä todella on vaadittu termi edessä ja voimme käyttää integroivia tekijöitä. ${\ displaystyle y}$

{\ displaystyle e^{\ int \ cot (x) \, dx} = e^{\ ln (\ sin (x))} = \ sin (x)}

Kunkin termin kertomiseksi antaa ${\ displaystyle \ sin (x)}$

{\ displaystyle \ sin (x) y ''+2 \ cot (x) \ sin (x) y '-\ sin (x) y = \ sin (x)}

joka on järjestetty uudelleen

{\ displaystyle (\ sin (x) y) '' = \ sin (x)}

Integrointi kahdesti antaa

{\ displaystyle \ sin (x) y =-\ sin (x)+c_ {1} x+c_ {2}}

Lopuksi jakaminen integrointitekijällä antaa

{\ displaystyle y = c_ {1} x \ csc (x)+c_ {2} \ csc (x) -1}

N: nnen kertaluvun lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen

Integroivat tekijät voidaan laajentaa mihin tahansa järjestykseen, vaikka niiden soveltamiseen tarvittavan yhtälön muoto muuttuu yhä tarkemmaksi tilauksen kasvaessa, mikä tekee niistä vähemmän hyödyllisiä tilauksille 3 ja uudemmille. Yleinen ajatus on erottaa funktio kertaa varten kertaluvun differentiaaliyhtälö ja yhdistää niiden kaltaiset termit. Tämä antaa yhtälön muodossa ${\ displaystyle M (x) y}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n}$

{\ displaystyle M (x) F \! \ vasen (y, y ', y' ', \ ldots, y^{(n)} \ right)}

Jos kolmannen kertaluvun yhtälö vastaa muotoa, joka saadaan eriytysaikojen jälkeen , voidaan kertoa kaikki termit integrointikertoimella ja integrointiajoilla jakamalla integrointikerroin molemmilla puolilla lopullisen tuloksen saavuttamiseksi. ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle F \! \ vasen (y, y ', y' ', \ ldots, y^{(n)} \ oikea)}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle h (x) M (x)}$ ${\ displaystyle n}$