Factor integrador - Integrating factor

En matemáticas , un factor integrador es una función que se elige para facilitar la resolución de una ecuación dada que involucra diferenciales . Se usa comúnmente para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias , pero también se usa dentro del cálculo multivariable cuando la multiplicación por un factor integrador permite convertir un diferencial inexacto en un diferencial exacto (que luego se puede integrar para dar un campo escalar ). Esto es especialmente útil en termodinámica, donde la temperatura se convierte en el factor integrador que hace que la entropía sea un diferencial exacto.

Usar

Un factor integrador es cualquier expresión por la que se multiplica una ecuación diferencial para facilitar la integración. Por ejemplo, la ecuación de segundo orden no lineal

{\ Displaystyle {\ frac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}}} = Ay ^ {2/3}}

admite como factor integrador: ${\ textstyle {\ frac {dy} {dt}}}$

{\ Displaystyle {\ frac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}}} {\ frac {dy} {dt}} = Ay ^ {2/3} {\ frac {dy} {dt}} .}

Para integrar, tenga en cuenta que ambos lados de la ecuación se pueden expresar como derivadas retrocediendo con la regla de la cadena :

{\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ left ({\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {dy} {dt}} \ right) ^ {2} \ right) = {\ frac {d} {dt}} \ left (A {\ frac {3} {5}} y ^ {5/3} \ right).}

Por lo tanto,

{\ Displaystyle \ left ({\ frac {dy} {dt}} \ right) ^ {2} = {\ frac {6A} {5}} y ^ {5/3} + C_ {0}.}

donde es una constante. ${\ Displaystyle C_ {0}}$

Este formulario puede ser más útil, según la aplicación. Realizar una separación de variables dará

{\ Displaystyle \ int _ {y (0)} ^ {y (t)} {\ frac {dy} {\ sqrt {{\ frac {6A} {5}} y ^ {5/3} + C_ {0 }}}} = t}

Esta es una solución implícita que involucra una integral no elemental . Este mismo método se utiliza para resolver el período de un péndulo simple .

Resolver ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primer orden

Los factores integradores son útiles para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias que se pueden expresar en la forma

{\ Displaystyle y '+ P (x) y = Q (x)}

La idea básica es encontrar alguna función, digamos , llamada "factor de integración", que podemos multiplicar a través de nuestra ecuación diferencial para traer el lado izquierdo bajo una derivada común. Para la ecuación diferencial lineal canónica de primer orden que se muestra arriba, el factor de integración es . ${\ Displaystyle M (x)}$ ${\ Displaystyle e ^ {\ int P (x) \, dx}}$

Tenga en cuenta que no es necesario incluir la constante arbitraria en la integral, o valores absolutos en caso de que la integral de involucre un logaritmo. En primer lugar, solo necesitamos un factor integrador para resolver la ecuación, no todos los posibles; en segundo lugar, tales constantes y valores absolutos se cancelarán incluso si se incluyen. Para valores absolutos, esto se puede ver escribiendo , donde se refiere a la función de signo , que será constante en un intervalo si es continua. Como no está definido cuando , y un logaritmo en la antiderivada solo aparece cuando la función original involucró un logaritmo o un recíproco (ninguno de los cuales está definido para 0), dicho intervalo será el intervalo de validez de nuestra solución. ${\ Displaystyle P (x)}$ ${\ Displaystyle | f (x) | = f (x) \ operatorname {sgn} f (x)}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {sgn}}$ ${\ Displaystyle f (x)}$ ${\ Displaystyle \ ln | f (x) |}$ ${\ Displaystyle f (x) = 0}$

Para derivar esto, sea el factor integrador de una ecuación diferencial lineal de primer orden tal que la multiplicación por transforma una derivada parcial en una derivada total, entonces: ${\ Displaystyle M (x)}$ ${\ Displaystyle M (x)}$

${\ Displaystyle M (x) {\ underset {\ text {derivada parcial}} {(\ underbrace {y '+ P (x) y})}}}$
${\ Displaystyle M (x) y '+ M (x) P (x) y}$
${\ Displaystyle \ underbrace {M (x) y '+ M' (x) y} _ {\ text {derivada total}}}$

Pasar del paso 2 al paso 3 requiere eso , que es una ecuación diferencial separable , cuya solución produce en términos de : ${\ Displaystyle M (x) P (x) = M '(x)}$ ${\ Displaystyle M (x)}$ ${\ Displaystyle P (x)}$

${\ Displaystyle M (x) P (x) = M '(x)}$
${\ Displaystyle P (x) = {\ frac {M '(x)} {M (x)}}}$
${\ Displaystyle \ int P (x) \, dx = \ ln M (x) + c}$
${\ Displaystyle M (x) = Ce ^ {\ int P (x) \, dx}}$

Para verificar, multiplicar por da ${\ Displaystyle M (x)}$

{\ Displaystyle M (x) y '+ P (x) M (x) y = Q (x) M (x)}

Al aplicar la regla del producto a la inversa, vemos que el lado izquierdo se puede expresar como una única derivada en ${\ Displaystyle x}$

{\ Displaystyle M (x) y '+ P (x) M (x) y = M (x) y' + M '(x) y = {\ frac {d} {dx}} (M (x) y )}

Usamos este hecho para simplificar nuestra expresión a

{\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (M (x) y \ right) = Q (x) M (x)}

Integrando ambos lados con respecto a ${\ Displaystyle x}$

{\ Displaystyle Ce ^ {\ int P (x) \, dx} y = \ int Q (x) Ce ^ {\ int P (x) \, dx} dx}

{\ Displaystyle e ^ {\ int P (x) \, dx} y = (\ int Q (x) e ^ {\ int P (x) \, dx} \, dx) + C}

donde es una constante. ${\ Displaystyle C}$

Moviendo el exponencial al lado derecho, la solución general de la Ecuación Diferencial Ordinaria es:

{\ Displaystyle y = e ^ {- \ int P (x) \, dx} (\ int Q (x) e ^ {\ int P (x) \, dx} \, dx) + Ce ^ {- \ int P (x) \, dx}}

En el caso de una ecuación diferencial homogénea , y la solución general de la Ecuación Diferencial Ordinaria es: ${\ Displaystyle Q (x) = 0}$

{\ Displaystyle y = Ce ^ {- \ int P (x) \, dx}}

.

por ejemplo, considere la ecuación diferencial

{\ Displaystyle y '- {\ frac {2y} {x}} = 0.}

Podemos ver que en este caso ${\ Displaystyle P (x) = {\ frac {-2} {x}}}$

{\ Displaystyle M (x) = e ^ {\ int _ {1} ^ {x} P (x) dx}}

{\ Displaystyle M (x) = e ^ {\ int _ {1} ^ {x} {\ frac {-2} {x}} \, dx} = e ^ {- 2 \ ln x} = {\ left (e ^ {\ ln x} \ right)} ^ {- 2} = x ^ {- 2}}

{\ Displaystyle M (x) = {\ frac {1} {x ^ {2}}}.}

Multiplicando ambos lados por obtenemos ${\ Displaystyle M (x)}$

{\ Displaystyle {\ frac {y '} {x ^ {2}}} - {\ frac {2y} {x ^ {3}}} = 0}

La ecuación anterior se puede reescribir como

{\ displaystyle {\ frac {d (x ^ {- 2} y)} {dx}} = 0}

Integrando ambos lados con respecto ax obtenemos

{\ Displaystyle x ^ {- 2} y = C}

o

{\ Displaystyle y = Cx ^ {2}}

Se puede lograr el mismo resultado utilizando el siguiente enfoque

{\ Displaystyle {\ frac {y '} {x ^ {2}}} - {\ frac {2y} {x ^ {3}}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {y'x ^ {3} -2x ^ {2} y} {x ^ {5}}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {x (y'x ^ {2} -2xy)} {x ^ {5}}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {y'x ^ {2} -2xy} {x ^ {4}}} = 0.}

Invertir la regla del cociente da

{\ Displaystyle \ left ({\ frac {y} {x ^ {2}}} \ right) '= 0}

o

{\ Displaystyle {\ frac {y} {x ^ {2}}} = C,}

o

{\ Displaystyle y = Cx ^ {2}.}

donde es una constante. ${\ Displaystyle C}$

Resolver ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo orden

El método de integración de factores para ecuaciones de primer orden se puede extender naturalmente también a ecuaciones de segundo orden. El objetivo principal en la resolución de ecuaciones de primer orden era encontrar un factor integrador tal que multiplicar por él daría como resultado , después de lo cual la integración y división subsiguientes daría como resultado . Para ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden, si queremos trabajar como factor integrador, entonces ${\ Displaystyle M (x)}$ ${\ Displaystyle y '+ p (x) y = h (x)}$ ${\ Displaystyle (M (x) y) '= M (x) h (x)}$ ${\ Displaystyle M (x)}$ ${\ Displaystyle y}$ ${\ Displaystyle M (x) = e ^ {\ int p (x) \, dx}}$

{\ Displaystyle (M (x) y) '' = M (x) \ left (y '' + 2p (x) y '+ \ left (p (x) ^ {2} + p' (x) \ right ) y \ derecha) = M (x) h (x)}

Esto implica que una ecuación de segundo orden debe estar exactamente en la forma para que el factor de integración sea utilizable. ${\ Displaystyle y '' + 2p (x) y '+ \ left (p (x) ^ {2} + p' (x) \ right) y = h (x)}$

Ejemplo 1

Por ejemplo, la ecuación diferencial

{\ displaystyle y '' + 2xy '+ \ left (x ^ {2} +1 \ right) y = 0}

se puede resolver exactamente con factores integradores. Lo apropiado se puede deducir examinando el término. En este caso , entonces . Después de examinar el término, vemos que de hecho lo hemos hecho , así que multiplicaremos todos los términos por el factor integrador . Esto nos da ${\ Displaystyle p (x)}$ ${\ Displaystyle y '}$ ${\ Displaystyle 2p (x) = 2x}$ ${\ Displaystyle p (x) = x}$ ${\ Displaystyle y}$ ${\ Displaystyle p (x) ^ {2} + p '(x) = x ^ {2} +1}$ ${\ Displaystyle e ^ {\ int x \, dx} = e ^ {x ^ {2} / 2}}$

{\ displaystyle e ^ {x ^ {2} / 2} y '' + 2e ^ {x ^ {2} / 2} p (x) y '+ e ^ {x ^ {2} / 2} \ left ( p (x) ^ {2} + p '(x) \ right) y = 0}

que se puede reorganizar para dar

{\ Displaystyle \ left (e ^ {x ^ {2} / 2} y \ right) '' = 0}

Integrando el doble de rendimientos

{\ Displaystyle e ^ {x ^ {2} / 2} y = c_ {1} x + c_ {2}}

Dividiendo por el factor de integración se obtiene:

{\ Displaystyle y = {\ frac {c_ {1} x + c_ {2}} {e ^ {x ^ {2} / 2}}}}

Ejemplo 2

Una aplicación un poco menos obvia de los factores de integración de segundo orden implica la siguiente ecuación diferencial:

{\ Displaystyle y '' + 2 \ cot (x) y'-y = 1}

A primera vista, esto claramente no está en la forma necesaria para los factores de integración de segundo orden. Tenemos un término por delante pero no por delante . Sin embargo, ${\ Displaystyle 2p (x)}$ ${\ Displaystyle y '}$ ${\ Displaystyle p (x) ^ {2} + p '(x)}$ ${\ Displaystyle y}$

{\ Displaystyle p (x) ^ {2} + p '(x) = \ cot ^ {2} (x) - \ csc ^ {2} (x)}

y de la identidad pitagórica que relaciona cotangente y cosecante,

{\ Displaystyle \ cot ^ {2} (x) - \ csc ^ {2} (x) = - 1}

por lo que en realidad tenemos el término requerido delante y podemos usar factores de integración. ${\ Displaystyle y}$

{\ Displaystyle e ^ {\ int \ cot (x) \, dx} = e ^ {\ ln (\ sin (x))} = \ sin (x)}

Multiplicando cada término por da ${\ Displaystyle \ sin (x)}$

{\ Displaystyle \ sin (x) y '' + 2 \ cot (x) \ sin (x) y '- \ sin (x) y = \ sin (x)}

que reordenado es

{\ Displaystyle (\ sin (x) y) '' = \ sin (x)}

Integrar dos veces da

{\ Displaystyle \ sin (x) y = - \ sin (x) + c_ {1} x + c_ {2}}

Finalmente, dividir por el factor integrador da

{\ Displaystyle y = c_ {1} x \ csc (x) + c_ {2} \ csc (x) -1}

Resolver ecuaciones diferenciales lineales de enésimo orden

Los factores de integración se pueden extender a cualquier orden, aunque la forma de la ecuación necesaria para aplicarlos se vuelve cada vez más específica a medida que aumenta el orden, haciéndolos menos útiles para los órdenes 3 y superiores. La idea general es diferenciar los tiempos de la función para una ecuación diferencial de tercer orden y combinar términos semejantes. Esto producirá una ecuación en la forma ${\ Displaystyle M (x) y}$ ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle n}$

{\ Displaystyle M (x) F \! \ left (y, y ', y' ', \ ldots, y ^ {(n)} \ right)}

Si una ecuación de orden de th coincide con la forma que se obtiene después de diferenciar tiempos, se pueden multiplicar todos los términos por el factor de integración e integrar los tiempos, dividiendo por el factor de integración en ambos lados para lograr el resultado final. ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle F \! \ left (y, y ', y' ', \ ldots, y ^ {(n)} \ right)}$ ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle h (x) M (x)}$ ${\ Displaystyle n}$