GCD-verkkotunnus - GCD domain

Matematiikassa GCD-alue on kiinteä alue R, jolla on ominaisuus, että kahdella elementillä on suurin yhteinen jakaja (GCD); ts. on olemassa ainutlaatuinen minimaalinen pääideaali, joka sisältää kahden annetun elementin tuottaman ihanteen. Vastaavasti kaikilla kahdella R: n elementillä on vähiten yhteinen moninkertainen (LCM).

GCD-toimialue yleistää yksilöllisen faktorointialueen (UFD) ei- eetteriläiseen asetukseen seuraavassa mielessä: integraalialue on UFD vain ja vain, jos se on GCD-toimialue, joka täyttää nousevien ketjuehtojen pääideaaleille (ja erityisesti jos se on Noetherian ).

GCD-verkkotunnukset esiintyvät seuraavassa luokan sulkeumien ketjussa :

rngs ⊃ renkaat ⊃ kommutatiiviset renkaat ⊃ integraalialueet ⊃ integraalisesti suljetut verkkotunnukset ⊃ GCD-verkkotunnukset ⊃ yksilölliset factoring-alueet ⊃ tärkeimmät ihanteelliset verkkotunnukset ⊃ euklidiset domeenit ⊃ kentät ⊃ algebrallisesti suljetut kentät

Ominaisuudet

Jokainen GCD-domeenin pelkistämätön elementti on ensisijainen. GCD-toimialue on kiinteästi suljettu , ja jokainen nollaton elementti on primaali . Toisin sanoen jokainen GCD-toimialue on Schreier-toimialue .

Jokaisen parin elementtien x , y on GCD domeenin R , joka on GCD d on x ja y ja LCM m on x ja y voidaan valita siten, että dm = xy , tai toisin mainita, jos x ja y eivät ole nollia elementtejä ja d on jokin GCD d ja x ja y , sitten xy / d on LCM on x ja y , ja päinvastoin. Tästä seuraa , että GCD: n ja LCM: n toiminnot tekevät osamäärästä R / ~ jakautuvaksi ristikoksi , jossa "~" merkitsee assosioituneiden elementtien ekvivalenttisuhdetta . Välisestä vastaavuudesta olemassaolon GCDs ja olemassaolon LCMS ei ole seuraus samanlainen tulos täydellinen ristikoita , kuten osamäärä R / ~ ei tarvitse olla täydellinen ristikko varten GCD verkkotunnuksen R .

Jos R on GCD domeeni, sitten polynomin rengas R [ X ₁ , ..., X _n ] on myös GCD verkkotunnuksen.

R on GCD-verkkotunnus vain ja vain, jos sen tärkeimpien ihanteiden rajalliset risteykset ovat tärkeimpiä. Erityisesti, missä on LCM ja . ${\ displaystyle (a) \ cap (b) = (c)}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$

X: n polynomille GCD-toimialueella voidaan määritellä sen sisältö kaikkien kertoimien GCD: ksi. Sitten polynomituotteen sisältö on niiden sisällön tulo , joka ilmaistaan Gaussin lemmassa , joka pätee GCD-verkkotunnuksiin.

Esimerkkejä

• Ainutlaatuinen tekijöihinjakoalgoritmi verkkotunnus on GCD verkkotunnuksen. Joukossa GCD domeenit, ainutlaatuinen tekijöihinjako domeenit ovat juuri niitä, jotka ovat myös atomien domeeneja (joka tarkoittaa, että ainakin yhdellä tavalla osaksi redusoitumattoman elementtejä olemassa mitään nollasta poikkeava nonunit).
• Bézout verkkotunnuksen (ts kokonaisalue jossa jokainen äärellisesti luotu ihanne on pääasiallinen) on GCD verkkotunnuksen. Toisin kuin tärkeimmät ihanteelliset verkkotunnukset (joissa jokainen ideaali on pää), Bézout-toimialueen ei tarvitse olla ainutlaatuinen tekijäalue; esimerkiksi kaikkien toimintojen rengas on ei-atominen Bézout-alue, ja on monia muita esimerkkejä. Integraali toimialue on Prüfer GCD -verkkotunnus vain ja vain, jos se on Bézout-toimialue.
• Jos R on ei-atominen GCD-domeeni, niin R [ X ] on esimerkki GCD-domeenista, joka ei ole ainutlaatuinen tekijädomeeni (koska se ei ole atominen) eikä Bézout-domeeni (koska X ja ei-inverttinen ja nollasta elementti ja R tuottaa ihanteellisen ei sisällä 1, mutta 1 on kuitenkin GCD on X ja ); yleisemmin mikä tahansa rengas R [ X ₁ , ..., X _n ] on nämä ominaisuudet.
• Kommutatiivinen monoidi rengas on GCD domeeni joss on GCD domeeni ja on vääntöä vapaa cancellative GCD-puoliryhmä. GCD-puoliryhmä on puoliryhmä, jolla on lisäominaisuus, jonka kenelle tahansa ja puoliryhmässä on sellainen , että . Erityisesti, jos se on abelin ryhmä , niin onko GCD-domeeni, se on GCD-domeeni ja on vääntymätön. ${\ displaystyle R [X; S]}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle (a + S) \ cap (b + S) = c + S}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle R [X; G]}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle G}$
• Rengas ei ole GCD-toimialue kaikille neliötön kokonaisluvuille . ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [{\ sqrt {-d}}]}$ ${\ displaystyle d \ geq 3}$

Viitteet