Yksisormus - Monoid ring

In abstraktin algebran , eli monoidi rengas on rengas valmistettu rengas ja monoidi , aivan kuten ryhmä rengas on valmistettu rengas ja ryhmä .

Määritelmä

Olkoon R rengas ja G: n on monoidi. Monoidi rengas tai monoidi algebran ja G yli R , jota merkitään R [ G ] tai RG , on muodollisia summia , jossa kunkin ja r _g = 0 kaikille mutta äärellinen määrä g , varustettu kerroin-viisasta lisäksi, ja kertolasku, jossa R : n elementit kulkeutuvat G: n elementtien kanssa . Muodollisemmin R [ G ] on funktiojoukko φ: G → R siten, että { g  : φ ( g ) ≠ 0 } on äärellinen, varustettu funktioiden lisäyksellä ja kertomalla ${\displaystyle \sum _{g\in G}r_{g}g}$${\displaystyle r_{g}\in R}$${\displaystyle g\in G}$

${\displaystyle (\phi \psi )(g)=\sum _{k\ell =g}\phi (k)\psi (\ell )}$.

Jos G on ryhmä , niin R [ G ] kutsutaan myös ryhmän rengas on G yli R .

Universaali omaisuus

Kun R ja G , esiintyy rengashomorfismi α: R → R [ G ], joka lähettää jokaisen r : n rl: lle (missä 1 on G: n identiteettielementti ), ja monoidisen homomorfismin β: G → R [ G ] (missä jälkimmäistä pidetään monoidina kertolaskuna), joka lähettää jokaisen g : n 1 g: ksi (missä 1 on R: n kertova identiteetti ). Meillä on, että α ( r ) työntyy β ( g ): n kanssa kaikille r : lle R: ssä ja g : lle G: ssä .

Yleinen ominaisuus monoidi renkaan todetaan, että koska renkaan S , rengas homomorfismi α ': R → S , ja monoidi homomorfismi β': G → S on multiplikatiivinen monoidi on S , siten, että α ( r ) kommutoi β '( g ) kaikille r : lle R: ssä ja g : lle G: ssä on ainutlaatuinen renkaan homomorfismi γ: R [ G ] → S siten, että a: n ja β: n yhdistäminen y: n kanssa tuottaa α' ja β '.

lisääminen

Lisääminen on rengas homomorfismi η : R [ G ] → R määritellään

${\displaystyle \eta (\sum _{g\in G}r_{g}g)=\sum _{g\in G}r_{g}.}$

Ydin on η kutsutaan vahvistukseksi ihanteellinen . Se on ilmainen R - moduuli, jonka perusta koostuu 1 - g kaikille g : n grammoille, ei yhtä kuin 1.

esimerkit

Kun rengas R ja (lisäaine) monoidi, jolla on luonnolliset numerot N (tai { x ⁿ }, kerrottuna tarkasteltuna), saadaan rengas R [{ x ⁿ }] =: R [ x ] polynomeista R: n yli . Monoidi N ⁿ (johon on lisätty) antaa polynomin rengas n muuttujat: R [ n ⁿ ] =: R [X ₁ , ..., X _n ].

Yleistys

Jos G on puoliryhmä , sama rakenne antaa puoliryhmän renkaan R [ G ].

Katso myös

• Vapaa algebra
• Puiseux-sarja

Viitteet

• Lang, Serge (2002). Algebra . Matematiikan tutkinnot . 211 (Rev. 3. painos). New York: Springer-Verlag . ISBN  0-387-95385-X .

Lisätietoja

• R.Gilmer. Kommutatiiviset puoliryhmien renkaat . University of Chicago Press, Chicago – Lontoo, 1984