Yleinen kvantifiointi - Universal quantification

In matemaattinen logiikka , eli universaalikvanttori on eräänlainen kvantisointi , joka on looginen vakio , joka on tulkittava niin "annettu mitään" tai "kaikki". Se ilmaisee, että predikaatti voidaan tyydyttää jokaisen jäsenen on toimialueen diskurssi . Toisin sanoen, se on predication on kiinteistön tai suhteessa jokaiselle jäsenelle verkkotunnuksen. Se väittää , että predikaatin sisällä soveltamisalaan universaalin kvanttoreilla pätee jokaisen arvon on predikaatti muuttuja .

Se on yleensä merkitty kääntyi (∀) looginen operaattori symboli , joka, kun sitä käytetään yhdessä predikaatti muuttuja, kutsutaan yleinen kvantisointi ( " ∀ x ", ' ∀ ( x ) ', tai joskus " ( x ) "yksin". Yleinen kvantifiointi eroaa eksistentiaalisesta kvantifikaatiosta ("on olemassa"), joka vain väittää, että ominaisuus tai suhde koskee ainakin yhtä toimialueen jäsentä.

Kvantifiointia yleensä käsitellään kvantifiointia (logiikkaa) koskevassa artikkelissa . Yleinen kvantisointi on koodattu U + 2200 ∀ FOR ALL on Unicode , ja kuten \forallon LaTeX ja niihin liittyvät kaava toimittajat,

Perusasiat

Oletetaan, että sille annetaan niin

2 · 0 = 0 + 0 ja 2 · 1 = 1 + 1 ja 2 · 2 = 2 + 2 jne.

Tämä näyttäisi olevan looginen yhteys, koska "ja" käytetään toistuvasti. "Jne." ei voida tulkita yhdistelmänä muodollisessa logiikassa . Sen sijaan lauseke on muotoiltava uudelleen:

Kaikilla luonnollisilla numeroilla n yhdellä on 2 · n = n + n .

Tämä on yksi lause, joka käyttää yleistä kvantifiointia.

Tämän lausunnon voidaan sanoa olevan alkuperäistä tarkempi. Vaikka "jne." epävirallisesti sisältää luonnollisia lukuja , eikä mitään muuta, tätä ei annettu tarkasti. Sen sijaan universaalissa kvantifioinnissa luonnolliset luvut mainitaan nimenomaisesti.

Tämä erityinen esimerkki on totta , koska mikä tahansa luonnollinen luku voitaisiin korvata n: llä ja lause "2 · n = n + n " olisi totta. Verrattuna,

Kaikilla luonnollisilla numeroilla n yhdellä on 2 · n > 2 + n

on väärä , koska jos n korvataan esimerkiksi 1: llä, lause "2 · 1> 2 + 1" on väärä. Ei ole merkitystä, että "2 · n > 2 + n " on totta useimmille luonnollisille luvuille n : jopa yhden vasta- esimerkin olemassaolo riittää todistamaan universaalin kvantifioinnin vääräksi.

Toisaalta kaikilla yhdistelmäluvuilla n on 2 · n > 2 + n on totta, koska mikään vastanäyteistä ei ole yhdistetty numero. Tämä osoittaa diskurssialueen tärkeyden , joka määrittää, mitkä arvot n voivat ottaa. Huomaa erityisesti, että jos diskurssialue on rajoitettu koostumaan vain objekteista, jotka täyttävät tietyn predikaatin, universaalin kvantifioinnin kannalta tämä edellyttää loogista ehdollisuutta . Esimerkiksi,

Kaikkien yhdistettyjen numeroiden n kohdalla yhdellä on 2 · n > 2 + n

on loogisesti sama kuin

Kaikille luonnollisille numeroille n , jos n on komposiitti, niin 2 · n > 2 + n .

Tässä "jos ... sitten" -rakenne osoittaa loogisen ehdollisen.

Merkintä

On symbolinen logiikka , universaali kvantisointi symboli (käännetyn " " on groteski fontti, Unicode U + 2200) käytetään ilmaisemaan universaalikvanttori. Sitä käytettiin ensimmäisen kerran tällä tavalla Gerhard Gentzen vuonna 1935, analogisesti Giuseppe Peano n (käännetty E) merkintätapa eksistenssikvanttori ja myöhempi käyttö Peanon merkinnöillä jonka Bertrand Russell . ${\ displaystyle \ forall}$${\ displaystyle \ olemassa}$

Esimerkiksi, jos P ( n ) on predikaatti "2 · n > 2 + n " ja N on joukko luonnolliset luvut, sitten

${\ displaystyle \ forall n \! \ in \! \ mathbb {N} \; P (n)}$

on (väärä) lausunto

"kaikkien luonnollisten numeroiden n kohdalla yhdellä on 2 · n > 2 + n ".

Vastaavasti, jos Q ( n ) on predikaatti " n on komposiitti", niin

${\ displaystyle \ forall n \! \ in \! \ mathbb {N} \; {\ bigl (} Q (n) \ rightarrow P (n) {\ bigr)}}$

on (tosi) lause

"kaikille luonnollisille numeroille n , jos n on komposiitti, niin 2 · n > 2 + n ".

Kvantifiointiartikkelista löytyy useita muunnelmia kvantitoinnin merkinnöistä (joita sovelletaan kaikkiin muotoihin) .

Ominaisuudet

Negation

Universaalisti kvantifioidun funktion negaatio saadaan muuttamalla universaali kvantifikaattori eksistentiaaliseksi kvantifikaattoriksi ja hylkäämällä kvantifioitu kaava. Tuo on,

${\ displaystyle \ lnot \ forall x \; P (x) \ quad {\ text {vastaa}} \ quad \ olemassa x \; \ lnot P (x)}$

missä tarkoittaa kieltämistä . ${\ displaystyle \ lnot}$

Esimerkiksi, jos P ( x ) on ehdotustoiminto " x on naimisissa", niin kaikkien elävien ihmisten joukolle X universaali kvantifiointi

Kun otetaan huomioon mikä tahansa elävä henkilö x , hän on naimisissa

on kirjoitettu

${\ displaystyle \ forall x \ X: ssä, P (x)}$

Tämä väite on väärä. Todellakin sanotaan, että

Ei ole niin, että kun otetaan huomioon elävä henkilö x , hän on naimisissa

tai symbolisesti:

${\ displaystyle \ lnot \ \ kaikki x \ X: ssä, P (x)}$.

Jos funktio P ( x ) ei ole totta X : n jokaiselle elementille , täytyy olla ainakin yksi elementti, jolle lause on väärä. Toisin sanoen kielteinen lauseke vastaa loogisesti "On olemassa elävä henkilö x, joka ei ole naimisissa", tai: ${\ displaystyle \ forall x \ X: ssä, P (x)}$

${\ displaystyle \ on olemassa x \ X: ssä, \ ei P (x)}$

On virheellistä sekoittaa "kaikki henkilöt eivät ole naimisissa" (eli "ei ole naimisissa olevaa henkilöä") ja "kaikki henkilöt eivät ole naimisissa" (eli "ei ole naimisissa olevaa henkilöä"):

${\ displaystyle \ lnot \ \ on olemassa x \ X: ssä \, P (x) \ equiv \ \ kaikki x \ X: ssä \ \ Lnot P (x) \ not \ equiv \ \ lnot \ \ kaikki x \ X: ssä \ , P (x) \ equiv \ \ on olemassa x \ X: ssä, \ ei P (x)}$

Muut liitännät

Universaalinen (ja eksistentiaalinen) kvanttori liikkuu muuttumattomana loogisten liitoskohtien ∧ , ∨ , → ja across yli , kunhan se ei vaikuta toiseen operandiin; tuo on:

${\ displaystyle {\ begin {tasattu} P (x) \ land (\ olemassa {y} {\ in} \ mathbf {Y} \, Q (y)) & \ equiv \ \ on olemassa {y} {\ in} \ mathbf {Y} \, (P (x) \ maa Q (y)) \\ P (x) \ lor (\ on olemassa {y} {\ in} \ mathbf {Y} \, Q (y)) & \ equiv \ \ on olemassa {y} {\ in} \ mathbf {Y} \, (P (x) \ lor Q (y)) ja {\ text {edellyttäen että}} \ mathbf {Y} \ neq \ emptyyset \\ P (x) \ - (\ olemassa {y} {\ in} \ mathbf {Y} \, Q (y)) ja \ equiv \ \ olemassa {y} {\ in} \ mathbf {Y} \, (P (x) \ - Q (y)), ja {\ text {edellyttäen, että}} \ mathbf {Y} \ neq \ emptyyset \\ P (x) \ nlearparrow (\ olemassa {y} {\ in} \ mathbf {Y} \, Q (y)) & \ equiv \ \ on olemassa {y} {\ in} \ mathbf {Y} \, (P (x) \ nvasen QQ (y)) \\ P (x) \ maa (\ forall {y} {\ in} \ mathbf {Y} \, Q (y)) & \ equiv \ \ forall {y} {\ in} \ mathbf {Y} \, (P (x) \ land Q (y)), ja {\ text {edellyttäen, että}} \ mathbf {Y} \ neq \ tyhjensetti \\ P (x) \ lor (\ forall {y} {\ in} \ mathbf {Y} \, Q (y)) & \ equiv \ \ kaikki {y} {\ in} \ mathbf {Y} \, (P (x) \ lor Q (y)) \\ P (x) \ to (\ kaikki {y} {\ in} \ mathbf {Y} \, Q (y)) ja \ equiv \ \ kaikki {y} {\ in} \ mathbf {Y} \, (P (x) \ - Q (y)) \\ P (x) \ nlearrow (\ forall {y} {\ in} \ mathbf {Y} \, Q (y)) ja \ equiv \ \ kaikki {y} {\ in} \ mathbf {Y} \, (P (x) \ nvasen nuoli Q (y)) ja {\ text {edellyttäen että}} \ mathbf {Y} \ neq \ tyhjentys \ end {tasattu} }}$

Vastaavasti loogisten liitoskohtien ↑ , ↓ , ↛ ja ← kvantifikaattorit kääntyvät:

${\ displaystyle {\ begin {tasattu} P (x) \ ylöspäin (\ on olemassa {y} {\ in} \ mathbf {Y} \, Q (y)) & \ equiv \ \ kaikki {y} {\ in} \ mathbf {Y} \, (P (x) \ ylöspäin Q (y)) \\ P (x) \ alaspäin (\ on olemassa {y} {\ in} \ mathbf {Y} \, Q (y)) & \ equiv \ \ kaikki {y} {\ in} \ mathbf {Y} \, (P (x) \ alaspäin Q (y)) ja {\ text {edellyttäen että}} \ mathbf {Y} \ neq \ emptyyset \\ P (x) \ noarrow (\ olemassa {y} {\ in} \ mathbf {Y} \, Q (y)) & \ equiv \ \ kaikki {y} {\ in} \ mathbf {Y} \, (P (x) \ nrympyrä Q (y)), ja {\ teksti {edellyttäen, että}} \ mathbf {Y} \ neq \ tyhjentys \\ P (x) \ saa (\ on olemassa {y} {\ in} \ mathbf {Y} \, Q (y)) ja \ equiv \ \ kaikki {y} {\ in} \ mathbf {Y} \, (P (x) \ saa Q (y)) \\ P (x) \ ylöspäin (\ kaikki {y} {\ sisään} \ mathbf {Y} \, Q (y)) ja \ equiv \ \ olemassa {y} {\ in} \ mathbf {Y} \, (P (x) \ ylöspäin Q (y)) ja {\ text {edellyttäen, että}} \ mathbf {Y} \ neq \ emptyyset \\ P (x) \ alaspäin (\ forall {y} {\ in} \ mathbf {Y} \, Q (y)) & \ equiv \ \ on olemassa {y} {\ in} \ mathbf {Y} \, (P (x) \ alaspäin Q (y)) \\ P (x) \ noightarrow (\ forall {y} {\ in} \ mathbf {Y} \, Q (y)) ja \ equiv \ \ on olemassa {y} {\ in} \ mathbf {Y} \, (P (x) \ noightarrow Q (y)) \\ P (x) \ saa ( \ forall {y} {\ in} \ mathbf {Y} \, Q (y)) & \ equiv \ \ olemassa {y} {\ in} \ mathbf {Y} \, (P (x) \ saa Q ( y)), ja {\ text {edellyttäen, että}} \ mathbf {Y} \ neq \ emptyyset \\\ end {tasattu}}}$

Päätössäännöt

Sääntö päättely on sääntö oikeuttaa loogista hypoteesi päätökseen. On olemassa useita päätelmäsääntöjä, jotka käyttävät yleistä kvantifikaattoria.

Universaalin ennakoinnin perusteella voidaan päätellä, että jos propositiofunktion tiedetään olevan yleisesti totta, niin sen on oltava totta minkä tahansa diskurssin universumin mielivaltaisen elementin suhteen. Symbolisesti tämä on esitetty

${\ displaystyle \ forall {x} {\ in} \ mathbf {X} \, P (x) \ - P (c)}$

missä c on täysin mielivaltainen elementti keskustelun universumissa.

Yleismaailmallisen yleistyksen perusteella ehdotustoiminnon on oltava yleisesti totta, jos se pätee diskurssin universumin mihin tahansa mielivaltaiseen elementtiin. Symbolisesti mielivaltaiselle c : lle

${\ displaystyle P (c) \ to \ \ all {x} {\ in} \ mathbf {X} \, P (x).}$

Elementin  c on oltava täysin mielivaltainen; muuten logiikka ei seuraa: jos c ei ole mielivaltainen ja on sen sijaan spesifinen elementti diskurssin universumissa, P ( c ) merkitsee vain ehdotustoiminnon eksistentiaalista kvantifiointia.

Tyhjä sarja

Yleisesti kaava on totta riippumatta kaavasta P ( x ); nähdä tyhjää totuutta . ${\ displaystyle \ forall {x} {\ in} \ emptyyset \, P (x)}$

Universaali suljin

Yleinen sulkeminen on kaava φ on kaava, jossa ei ole vapaata muuttujaa saada lisäämällä yleisen kvantisointi varten jokainen vapaa muuttuja φ. Esimerkiksi yleinen sulkeminen

${\ displaystyle P (y) \ land \ olemassa xQ (x, z)}$

On

${\ displaystyle \ forall y \ forall z (P (y) \ land \ olemassa xQ (x, z))}$.

Kuten vieressä

Vuonna luokka teoria ja teoria alkeis topoi , universaali kvanttoreilla voidaan ymmärretään väärin adjungoitu on functor välillä valtaa vahvistetaan , The käänteinen kuva functor funktion välillä vahvistetaan; samoin eksistentiaalinen määrittelijä on vasen liitos .

Joukolle , anna merkitsevät sen Powerset . Minkä tahansa funktion joukon ja välillä on käänteinen kuvafunktori moottorien välillä, joka vie f: n koodiverkon osajoukot takaisin toimialueelleen. Tämän funktorin vasen liitos on eksistentiaalinen kvantifikaattori ja oikea liitos on universaali kvantifikaattori . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}} X}$${\ displaystyle f: X \ - Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f ^ {*}: {\ mathcal {P}} Y \ - {\ mathcal {P}} X}$${\ displaystyle \ olemassa _ {f}}$${\ displaystyle \ forall _ {f}}$

Eli on functor, että kustakin seikasta , antaa osajoukko antama ${\ displaystyle \ olemassa _ {f} \ kaksoispiste {\ mathcal {P}} X \ - {\ mathcal {P}} Y}$${\ displaystyle S \ osajoukko X}$${\ displaystyle \ olemassa _ {f} S \ osajoukko Y}$

${\ displaystyle \ olemassa _ {f} S = \ {y \ Y: ssä; | \; \ on olemassa x \ X: ssä. \ f (x) = y \ quad \ land \ quad x \ in S \},}$

ne , jotka ovat kuvan alla . Vastaavasti yleinen kvantisointi on functor, että kukin osajoukko , antaa osajoukko antama ${\ displaystyle y}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ forall _ {f} \ kaksoispiste {\ mathcal {P}} X \ - {\ mathcal {P}} Y}$${\ displaystyle S \ osajoukko X}$${\ displaystyle \ forall _ {f} S \ osajoukko Y}$

${\ displaystyle \ forall _ {f} S = \ {y \ Y: ssä; | \; \ kaikki x \ X: ssä. \ f (x) = y \ quad \ tarkoittaa \ quad x \ in S \},}$

ne, joiden ennakkokuva alla on . ${\ displaystyle y}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle S}$

Tutumpi muoto kvanttorien käytetty ensimmäisen kertaluvun logiikka saadaan ottamalla funktion f on ainutlaatuinen toiminta niin, että on kahden elementin sarja, jolla arvot oikean ja väärän, osajoukko S on, että osajoukko, joiden predikaatti pitää, ja ${\ displaystyle!: X \ - 1}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (1) = \ {T, F \}}$ ${\ displaystyle S (x)}$

${\ displaystyle {\ begin {array} {rl} {\ mathcal {P}} (!) \ kaksoispiste {\ mathcal {P}} (1) & \ - {\ mathcal {P}} (X) \\ T & \ mapsto X \\ F & \ mapsto \ {\} \ end {array}}}$

${\ displaystyle \ olemassa _ {!} S = \ olemassa xS (x),}$

mikä on totta, jos se ei ole tyhjä, ja ${\ displaystyle S}$

${\ displaystyle \ forall _ {!} S = \ forall xS (x),}$

mikä on väärä, jos S ei ole X.

Edellä esitetyt universaalit ja eksistentiaaliset määrittelijät yleistävät presheaf-luokan .

Katso myös

• Eksistentiaalinen kvantifiointi
• Ensiluokkainen logiikka
• Loogisten symbolien luettelo - Unicode-symbolille ∀

Huomautuksia

Viitteet

• Hinman, P. (2005). Matemaattisen logiikan perusteet . AK Peters . ISBN 1-56881-262-0.
• Franklin, J. ja Daoud, A. (2011). Matematiikan todistus: Johdanto . Kew Books. ISBN 978-0-646-54509-7.CS1 maint: useita nimiä: tekijäluettelo ( linkki ) (luku 2)

Ulkoiset linkit

• Sanakirjan määritelmä jokaisen klo Wikisanakirja