Ryhmien suora summa - Direct sum of groups

On matematiikka , joka on ryhmä G on nimeltään suora summa kahdesta normaali aliryhmä kanssa vähäpätöinen leikkauspiste , jos se on tuotettu , että alaryhmien. In abstraktin algebran , tämä menetelmä rakentamisen ryhmiä voidaan yleistää suoraan summia vektoriavaruuksia , moduulit , ja muut rakenteet; katso lisätietoja artikkelista Suora moduulien summa . Ryhmä, joka voidaan ilmaista suoraan summa ei-triviaali alaryhmiä kutsutaan hajoavia , ja jos ryhmä ei voi ilmaista, koska tällainen suora summa niin sitä kutsutaan indecomposable .

Määritelmä

Ryhmä G on nimeltään suora summa kahdesta alaryhmään H ₁ ja H- ₂ , jos

kukin H ₁ ja H- ₂ ovat normaaleja alaryhmiä G ,
alaryhmiin H ₁ ja H- ₂ on triviaali risteys (toisin sanoen se on vain neutraalialkio ja G yhteistä), ${\ displaystyle e}$
G = < H ₁ , H ₂ >; toisin sanoen G muodostetaan alaryhmien H ₁ ja H _{2 avulla} .

Yleisemmin G: tä kutsutaan äärellisen alaryhmän { H _i } joukon suorana summana, jos

kukin H _i on normaali alaryhmä on G ,
jokaisella H _{i: llä} on triviaali leikkaus alaryhmään <{ H _j : j ≠ i }> ,
G = <{ H _i }>; toisin sanoen, G on tuotettu , että alaryhmien { H- _i }.

Jos G on alaryhmien H ja K suora summa, kirjoitamme G = H + K ja jos G on alaryhmien joukon { H _i } suora summa, kirjoitamme usein G = Σ H _i . Löysästi sanottuna suora summa on isomorfinen alaryhmien heikoille suorille tuotteille.

Ominaisuudet

Jos G = H + K , voidaan todistaa, että:

kaikille h : lle H: lle , k : lle K: lle , meillä on h ∗ k = k ∗ h
Kaikkien g kohteessa G , on olemassa ainutlaatuinen h on H , k on K siten, että g = h * k
Osamäärässä oleva summa on peruutettu; niin että ( H + K )/ K on isomorfinen H: lle

Yllä olevat väitteet voidaan yleistää tapaukseen G = Σ H _i , jossa { H _i } on äärellinen alaryhmien joukko:

jos i ≠ j , niin kaikilla h _i in H _i , h _j in H _j meillä on tämä h _i ∗ h _j = h _j ∗ h _i
kullekin G: lle g : lle on olemassa yksilöllinen joukko elementtejä h _i in H _i niin, että

g = h ₁ ∗ h ₂ ∗ ... ∗ h _i ∗ ... ∗ h _n

Osamäärässä oleva summa on peruutettu; niin että ((Σ H _i ) + K )/ K on isomorfinen Σ H _{i: lle} .

Huomaa samankaltaisuus suoran tuotteen kanssa , jossa jokainen g voidaan ilmaista yksilöllisesti muodossa

g = ( h ₁ , h ₂ , ..., h _i , ..., h _n ).

Koska h _i ∗ h _j = h _j ∗ h _i kaikille i ≠ j , tästä seuraa, että elementtien kertominen suorassa summassa on isomorfista suoran tulon vastaavien alkuaineiden kertomiseen; näin ollen äärellisille alaryhmien ryhmille Σ H _i on isomorfinen suoratulolle × { H _i }.

Suora kutsu

Annetaan ryhmä , sanomme, että alaryhmä on suora yhteenlaskettava on , jos on olemassa toinen alaryhmä on sellainen, että . ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle G = H+K}$

In Abelin ryhmä, jos on jaollinen alaryhmä on , niin on suora yhteenlaskettava on . ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle G}$

Esimerkkejä

Jos otamme huomioon, on selvää, että se on alaryhmien suora tuote . ${\ displaystyle G = \ prod _ {i \ in I} H_ {i}}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle H_ {i_ {0}} \ times \ prod _ {i \ not = i_ {0}} H_ {i}}$

Jos on jaettavissa alaryhmä , joka Abelin ryhmä niin on olemassa toinen alaryhmä on sellainen, että . ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle G = K+H}$
Jos on myös vektori tilaa rakenteella voidaan kirjoittaa suoraan summana ja toisen aliavaruuden , joka on isomorfinen osamäärä . ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle G/K}$

Hajoamisen vastaavuus suorina summina

Kun äärellinen ryhmä hajoaa hajoamattomien alaryhmien suorana summana, alaryhmien upottaminen ei ole ainutlaatuista. Esimerkiksi Klein -ryhmässä meillä on se ${\ displaystyle V_ {4} \ cong C_ {2} \ times C_ {2}}$

{\ displaystyle V_ {4} = \ langle (0,1) \ rangle +\ langle (1,0) \ rangle,}

ja

{\ displaystyle V_ {4} = \ langle (1,1) \ rangle +\ langle (1,0) \ rangle.}

Kuitenkin Remak-Krull-Schmidt lause , että annetaan rajallinen ryhmä G = Σ _i = Σ B _j , jossa kukin _i ja kukin B- _j on ei-triviaali ja indecomposable, kahden summan on tasavertaisesti jopa uudelleenjärjestämisen ja isomorfismi.

Remak-Krull-Schmidt-lause epäonnistuu äärettömille ryhmille; joten äärettömän G = H + K = L + M tapauksessa , vaikka kaikki alaryhmät olisivat ei-triviaaleja ja hajoamattomia, emme voi päätellä, että H on isomorfinen joko L: lle tai M: lle .

Yleistäminen loputtomien joukkojen summiin

Edellä mainittujen ominaisuuksien kuvaamiseksi siinä tapauksessa, että G on ääretön (ehkä lukematon) alaryhmien suora summa, tarvitaan enemmän varovaisuutta.

Jos g on osa karteesisen tuotteen Π { H _i } joukko ryhmiä, anna g _i on i : nnen elementin g tuotteen. Ulkoinen suora summa joukko ryhmiä { H _i } (kirjoitetaan Σ _E { H _i }) on osajoukko Π { H _i }, jossa, kullekin elementille g ja Σ _E { H _i }, g _i on identiteetti kaikille lukuun ottamatta äärellistä määrää g _i (vastaavasti vain rajallinen määrä g _i ei ole identiteetti). Ryhmätoiminta ulkoisessa suorassa summassa on pistekertointa, kuten tavallisessa suorassa tulossa. ${\ displaystyle e_ {H_ {i}}}$

Tämä osajoukko muodostaa todellakin ryhmän, ja äärellisellä ryhmäjoukolla { H _i } ulkoinen suora summa on yhtä suuri kuin suora tuote.

Jos G = Σ H _i , niin G on isomorfinen Σ _E { H _i }: lle. Suora summa on siis tietyssä mielessä "sisäinen" ulkoinen suora summa. Jokaiselle elementille g on G , on ainutlaatuinen äärellinen joukko S ja ainutlaatuinen joukko { h _i ∈ H _i : i ∈ S } siten, että g = Π { h _i : i in S }.

Languages

In other projects